Tài liệu hay aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Trang 1SỞ GD&ĐT TRƯƠNG
QUANG AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH CHUYÊN NĂM
HỌC 2016-2017 Khóa ngày 3 tháng 6 năm 2016
Môn thi: TOÁN
Họ và tên:………
SỐ BÁO DANH:………
LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề gồm có 01 trang
Câu 1 (2.0 điểm)
Cho biểu thức: 2 2 2( 1)
P
+ + − với 0< ≠x 1.
a Rút gọn biểu thức P
b Tìm x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 2 (3.0 điểm)
a Cho phương trình: 2x2 +2mx m+ 2 − =2 0 (tham số m) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn 1 2 | 2x x1 2 + +x1 x2 − =4 | 6
b Giải hệ phương trình: { 3 2 3 2
2
Câu 3 (2.5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I), AI cắt (O) tại M (khác A), J là điểm đối xứng với I qua M Gọi N là điểm chính giữa của
cung ¼ABM , NI và NJ lần lượt cắt (O) tại E và F
a Chứng minh MI MB= Từ đó suy ra BIJ và CIJ là các tam giác vuông
b Chứng minh , , , I J E F cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 4 (1.5 điểm) Cho a b, >0 thỏa mãn a b+ ≥2016 Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức sau: = +
M
Câu 5 (1.0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương m và n thỏa mãn điều kiện:
-hÕt -SỞ GD&ĐT TRƯƠNG
QUANG AN
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN VÀO CHUYÊN NĂM HỌC
2016-2017 Khóa ngày 3 tháng 6 năm 2016
Môn thi: TOÁN
Trang 2LỚP 9
Đáp án này gồm có 04 trang
YÊU CẦU CHUNG
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài
1
Cho biểu thức:
P
+ + − với 0< ≠x 1.
a Rút gọn biểu thức P.
1,0
Với 0< ≠x 1 ta có:
( 1)
0,25
x
0,25 2( 1) 2( 1)( 1)
2( 1)
x
b Tìm x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất 1,0
Với 0< ≠x 1 ta có:
2
Dấu ‘=’ xãy ra khi và chỉ khi 1 0 1
Kết luận: P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 1
4
2 a Cho phương trình: 2x2 +2mx m+ 2 − =2 0 (tham số m) Tìm m để
phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn 1 2 | 2x x1 2 + +x1 x2 − =4 | 6 1,50
Ta có: ∆’=m2 −2(m2 −2) 4= −m2 0,25
Trang 3Phương trình có hai nghiệm x , x1 2 ⇔∆’≥ ⇔ −0 4 m2 ≥0
2 m 2
Theo định lý Viet ta có: 1 2 ; 1 2 2 2
2
m
x +x = −m x x = − Theo bài ra:
2
1 2 1 2
2
2
m
2 2
|m m 6 | 6 m m − − =m m 6 6
2
2
4 (lo¹i) hoÆc 3 (lo¹i)
12 0
0 hoÆc 1 0
0 hoÆc 1
Kết luận: m= 0 ; m =1
0,50
b Giải hệ phương trình: { 3 2 3 2
2
x− + =x y− x+
4x− ≥ ⇔ ≤ ≤− ≥x 0 x
{ 3 2 3 2
2
x x y x y xy y
x− + =x −y x+
0,25
Từ (1) ta có:
3 3
x x y x y xy y
x y x xy y
x y
0,50
Thay x = y vào (2) ta có: x− +2 4− =x x2 −6x+11 (3)
2 6 11 ( 3)2 2 2, [2; 4]
VP= x − x + = x− + ≥ x∀ ∈
Dấu ‘=’ xãy ra ⇔ =x 3
0,25
VT = x− + − =x x− + −x
( 2) 1 (4 ) 1 2, [2; 4]
x
Dấu ‘=’ xãy ra khi x =3
0,25
6 11 2
x− +x − =
Do x =3 nên y =3
Kết luận: ( ; ) (3; 3)x y =
0,25
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn
(I), AI cắt (O) tại M (khác A), J là điểm đối xứng với I qua M Gọi
N là điểm chính giữa của cung ¼ ABM , NI và NJ lần lượt cắt (O) tại
E và F
1,50
Trang 4a Chứng minh MI MB= Từ đó suy ra BIJ và CIJ là các tam giác
vuụng
0,25
Ta có: ã =ã = à
2
A MBC MAC (AM là phõn giác góc ãBAC )
2 2
A B
0,25
ã = ã +ã = +à à
2 2
A B MIB IAB IBA (2) (tớnh chṍt góc ngoài tam giác) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra tam giác MBI cõn tại M, do đó MI = MB
Xét tam giác BIJ ta có: 1
2
MB =MI = IJ ⇒tam giác BIJ vuụng tại B Tương tự: tam giác CIJ vuụng tại C
Vậy BIJ và CIJ là các tam giác vuụng tại B và C.
0,50
b Chứng minh , , , I J E F cựng nằm trờn một đường trũn. 1,0
Ta có: ã = 1(sđằ +sđằ )
2
NFE NA AE ; ã = 1(sđẳ +sđằ )
2
Mà ằsđNA = sđNM (N là điờ̉m chớnh giữa cung ẳẳ ABM )⇒NFE AIEã = ã 0,25 Mặt khác ãNFE EFJ+ã =1800 và ãAIE EIJ+ã =1800⇒ãEFJ EIJ = ã
Hơn nữa I và F nằm về cựng một phớa so với JE
Kờ́t luọ̃n: , , , I J E F cựng thuộc một đường trũn. 0,50
4
Cho a b, >0 thỏa món a b+ ≥2 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biờ̉u thức:
M
1,5
Trang 5Trước hết ta chứng minh với a >0 thì ( + )4 ≤ +( 4) ( + )
1 (*)
Thật vậy:
(*)⇔a +2ab b+ ≤ + +a a ab + ⇔b 2ab a ab ≤ + 2
1 0
a b (do a > 0)
0,50
Từ (*)⇒ + 4 ≤( ++ )4
Tương tự: 2 ( )2
+
≤
Cộng vế theo vế ta được: = + ≤ + +
(1)
a b M
0,25
Ta chứng minh với a b, >0 thỏa mãn a b+ ≥2 thì + + ≤
+ 4
2
1 (2)
a b
a b
Thật vậy:
2 (2)⇔ +(a b) ≥ + + ⇔ + +(a b) 2 (a b 1)(a b+ − ≥2) 0 (do a b+ ≥2)
0,50
5
Từ (1) và (2) suy ra M≤1
Dấu ‘=’ xãy ra khi a b= =1
Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 1 khi a b= =1
0,25
Tìm tất cả các số nguyên dương m và n thỏa mãn điều kiện
Từ điều kiện n4 + + =n 1 (m4 + −m 3) (m4 − + =m 5) m8 +m6 +8m−15
Xét phương trình bậc hai : n2 + −n (m4 +m2 +8m−16) 0 (1)= (ẩn số n)
0,25
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên dương thì
4 2
4m 4m 32m 63
∆ = + + − phải là một số chính phương
Ta có ∆ =(2m2 +2)2 −4(m−4)2 − <3 (2m2 +2 , )2 ∀ ∈m ¥*
0,25 Mặt khác ( 2 )2 ( )
2m 1 32 m 2
Do đó ∆ =(2m2 +1)2 +32(m− >2) (2m2 +1 , )2 ∀ >m 2
Khi đó: (2m2 +1)2 < ∆ <(2m2 +2 , )2 ∀ >m 2
Suy ra (1) chỉ có nghiệm nguyên dương n khi m=1 hoặc m=2
0,25
Nếu m=1 thì n2 + + =n 6 0 vô nghiệm
Nếu m=2 thì =
+ − = ⇔ = −
20 0
5 (lo¹i)
n
n
Thử lại m = 2 và n = 4 thỏa mãn điều kiện bài toán
Kết luận : m = 2 ; n = 4.
0,25