ôn tập hè toán 7

Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông thì hai đường thẳng đó được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là ' ' yy xx⊥ 3.* Hai đường

ƠN TẬP KIẾN THỨC TỐN 7

2 Với hai số hữu tỉ bất kì ta luơn cĩ : x = y hoặc x < y hoặc x > y

* Để so sánh hai số hữu tỉ ta cĩ thể viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh Số hữu

tỉ dương là số hữu tỉ lớn hơn 0 ; số hữu tỉ âm là số hữ tỉ nhỏ hơn 0 ; Số 0 khơng là hữu

tỉ dương cũng khơng là hữu tỉ âm

3.* Để cộng hay trừ hai số hữu tỉ x , y ta cĩ thể viết chúng dưới dạng hai phân số cĩ

cùng một mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng , trừ phân số

* Phép cộng ( trừ ) các số hữu tỉ cĩ các tính chất của phép cộng ( trừ ) các phân số

4 * Trong tập hợp Q cũng cĩ các tổng đại số được áp dụng các phép biến đổi như các

tổng đại số trong Z

* Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức , ta phải đổi dấu

số hạng đĩ

5 * Để nhân , chia hai số hữu tỉ x , y ta viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy

tắc nhân chia phân số Phép nhân số hữu tỉ cĩ các tính chất : giao hốn , kết hợp , nhân với số 1 ,nhân với số nghịch đảo , tính chất phân phối phép nhân với phép cơng

* Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y≠ 0) gọi là tỉ số của x và y ; kí hiệu y x hay x : y

6 * Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x , kí hiệu | x | là khoảng cách từ điểm x đến gốc O

) 0 (

|

|

x x

x x x

7 * Lũy thừa : Cho n là số tự nhiên khác 0 , x là số hữu tỉ bất kì , Lũy thừa bậc n của

x kí hiệu xn là tích của n thừa số x ; x n =x. x.x x(x∈Q;n∈N)

số thừa

n xn được gọi là lũy thừa , x là cơ số , n là số mũ

* Khi n = 1 , n = 0 ta quy ước : x1 = x ; x0 = 1 (x≠ 0)

a b

- Lũy thừa của lũy thừa : ( xm)n = xm.n

- Lũy thừa của một tích : ( x y )n = xn.yn

- Lũy thừa của một thương :   = y (y≠ 0 )

x y

x

n

n n

8.* Tỉ lệ thức : Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

d

c b

a = hay a : b = c : d ; Các số

a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức , a và d gọi là ngoại tỉ ( số hạng

ngoài ) , b và c gọi là trung tỉ ( số hạng trong )

* Tính chất của tỉ lệ thức :

- Nếu a d b c

d

c b

a

=

d a

c b

d d

b c

a d

c b

a = ; = ; = ; =

- Từ dãy tỉ số bằng nhau b a = d c = e f ⇒ b a = d c = e f =b a++d c++e f =b a−−d c++e f

- Khi có dãy tỉ số

5 3 2

c b

a = = , ta nói các số a , b , c tỉ lệ với các số 2 , 3 , 5

9 Số vô tỉ : là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn Tập hợp

số vô tỉ kí hiệu là I

10 Khái niệm về căn bậc hai :

* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a ; Số dương a có hai căn bậc hai là a và − a

* Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực Tập hợp số thực kí hiệu là R So

sánh các số thực như so sánh các số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân Trục số biểu diễn các số thực nên được gọi là trục số thực

5 5 , 0 23

7 27

5

8

3 5

1 51 5

1 27 8

1 2 5

1 45 5

4 : 6

4 1 4

1 3

5 1 3

1+x= −

; b)

9

4 4

5 + =

− x ; c)

5

4 2

1 1 4 3

1 x+ = − ;

d) 0

8

1 7

1 4

3 Tính :

a)

1 5 2

1 5

2 6

5 1 3

7 6

5 2

1 4

3 2

5 3 1

1 5

4 : 3

5 4

3 3

5 4

3 5

4 3

1 5

4 3 1

−

− +

a = hãy suy ra các tỉ lệ thức :

a)

d

d c b

b

a+ = +

; d)

d c

c b a

a

+

= +

7 Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 90m và tỉ số giữa hai cạnh là

3

2 Tính diện tích của mảnh vườn

8 Ba lớp 7A , 7B , 7C có 117 bạn đi trồng cây Biết rằng số cây mỗi bạn học sinh lớp

7A , 7B, 7C trồng được theo thứ tự là 2, 3, 4 cây và số cây mỗi lớp trồng được bằng nhau Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh đi trồng cây

9 Ba tấm vải có chiều dài tổng cộng 145m Nếu cắt tấm thứ nhất đi

10 Tìm hai số x , y biết : a)

4 2

y

x = và x2y2 = 2 b) 4x = 7y và x2 + y2 = 260

11 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : a) A=|x2012|+2013 b)

1 Tỉ lệ thuận :* Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = k.x ( với

k là hằng số khác 0 ) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k ( khi đó x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ

k

1)

* Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì :

+ Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận luôn luôn không đổi ( bằng hệ số tỉ lệ )

+ Tỉ số gữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia

2 Tỉ lệ nghịch : * Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức

x

a

y= hay x.y = a ( Với a là một hằng số khác 0 ) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ

a Khi đó x cũng tỉ lệ nghịch với y

* Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì :

+ Tích của một giá trị bất kì của đại lượng này với giá trị tương ứng của đại lượng kia

là một hằng số ( = a)

+ Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia

3 Hàm số : Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi sao cho : Với mỗi giá

trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm

số của x và x gọi là biến số

4 Mặt phẳng tọa độ : Trên mặt phẳng , hai trục số Ox , Oy vuông góc với nhau và cắt

nhau tại gốc của mỗi trục số lập thành hệ trục tọa độ Oxy Các trục Ox , Oy gọi là các trục tọa độ Trục ngang Ox là trục hoành , Trục đứng Oy gọi là trục tung Giao điểm

) Ngược lại mỗi cặp số ( x0 , y0 ) xác định một điểm M Cặp số ( x0 , y0 ) gọi là tọa độ của điểm M ; x0 là hoành độ , y0 là tung độ của M Điểm M có tọa độ ( x0 , y0 ) kí hiệu

là M( x0 , y0 )

5 Đồ thị hàm số y=ax(a≠ 0 )là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ

B -Bài tập :

1 Hai thanh nhôm và chì có khối lượng bằng nhau Hỏi thanh nào có thể tích lớn

hơn và lớn hơn bao nhiêu lần biết rằng khối lượng riêng của nhômlà 2,7(g/cm3) và của chì là 11,3(g/cm3)

2 Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 48(km/h) Lúc về xe đi quãng đường BA với

vận tốc 42(km/h) Biết thời gian cả đi lẫn về là 7 giờ 30 phút Tính thời gian lúc đi , thời gian lúc về và chiều dài quãng đường AB

3 Đội I có 10 công nhân , mỗi người làm 18 ngày đào đắp được 648 m3 đất Hỏi 8 công nhân đội II , mỗi người làm trong 25 ngày đào đắp được bao nhiêu m3 đất ( Biết rằng năng suất mỗi công nhân như nhau )

4 Để làm xong một công việc trong 5 giờ cần 12 công nhân Nếu số công nhân tăng

thêm 8 người thì thời gian hoàn thành công việc giảm được mấy giờ ( Biết rằng năng suất mỗi công nhân như nhau )

5 Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B Xe thứ nhất đi từ A đến B

mất 3 giờ , xe thứ hai đi từ B về A mất 2 giờ Đến chổ gặp nhau , xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn quãng đường xe thứ nhất đã đi là 27 km Tính quãng đường AB

; 3

1 (

C

THỐNG KÊ

( Học sinh tự ôn tập )

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

A- Kiến thức cần nhớ :

1.* Một biểu thức đại số có thể chứa các chữ , các số … Các chữ có thể nhận những

giá trị bằng số tùy ý của một tập hợp số nào đó gọi là biến số ( gọi tắt là biến ) Khi thực hiện các phép toán trên các chữ , ta có thể áp dụng các tính chất của phép toán tương tự như trên các số

* Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại các giá trị cho trước của các biến , ta có thể thay các giá trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính

2 Đơn thức : Đơn thức là một biểu thức đại số chỉ gồm một tích các số với các biến

* Đơn thức thu gọn là đơn thức gồm tích của hệ số với các biến đã được nâng lên thành lũy thừa với số mũ nguyên dương Một số hoặc một chữ cũng là một đơn thức thu gọn

* Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó

* Nhân hai đơn thức : Ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau

Trong phép nhân các chữ ta có thể sử dung tính chất giao hoán , kết hợp tương tự như trên các số

*Đơn thức đồng dạng: là các đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến Mọi số

thực được coi là ĐTĐD

*Cộng , trừ đơn thức đồng dạng : Để cộng, ( trừ ) các đơn thức đồng dạng , ta cộng

( hay trừ ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến

3 Đa thức là tổng của các đơn thức Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của

đa thức

* Thu gọn đa thức là thực hiện cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng có trong đa thức

* Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức

đó

* Cộng hai đa thức : Ta thực hiện thứ tự các bước sau :

+ Viết liên tiếp các số hạng của hai đa thức đó cùng với dấu của chúng

+ Thu gọn các đơn thức đồng dạng ( Nếu có )

* Trừ hai đa thức : Ta thực hiện lần lượt các bước sau :

+ Viết các số hạng của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng

+ Viết tiếp các số hạng của đa thức thứ hai với dấu ngược lại

+ Thu gọn các đơn thức đồng dạng nếu có

* Đa thức một biến : là một đa thức chỉ chứa một biến Ví dụ : A(x) = 3x + 5 Ta có

thể sắp xếp đa thức một biến ( đã thu gọn ) theo lũy thừa giảm ( hoặc tăng ) của biến

* Hệ số ( đa thức đã thu gọn ) là hệ số tương ứng theo số mũ của biến Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất Hệ số tự do là hệ số của biến bậc 0

+ Cách 1 : Tương tự như cộng , trừ đa thức đã học

+Cách 2 :/Sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm (tăng) của biến và đặt phép tính như trường hợp cộng và trừ các số (Lưu ý:đặt các đơn thức đồng dạng trong cùng một cột )

* Nghiệm của đa thức một biến : là giá trị của biến làm cho đa thức có giá trị bằng

0 ( Nếu tại x = a , đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói x = a là một nghiệm của đa thức đó

Một đa thức ( khác đa thức 0 ) có thể có một , hai , … hoặc không có nghiệm nào

Số nghiệm của một đa thức ( khác đa thức 0 ) không vượt quá bậc của nó

y x

y z y x

2 3 2 2

2

1 : +

1 3

2

7

3 3

1

10 3

1 3 3 3

1 9x f(x) = 3 − + 2 − + 2 − 3 − 2 − + +

a) Thu gọn đa thức trên

c) Chứng tỏ rằng đa thức f(x) không có nghiệm

6 Tính giá trị biểu thức : A = 3x2 – 3xy + 2y2 với | x | = 1 ; | y | = 3

7 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức : a ) A = (x – 2)2 – 1 ;

* Tính chất : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

2 Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông

thì hai đường thẳng đó được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là

'

' yy

xx⊥

3.* Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung Hai đường

thẳng phân biệt thì cắt nhau hoặc song song

* Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a , b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau ( hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau ) thì a song song với

b Kí hiệu a // b

* (TĐề Ơclít) Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song

song với đường thẳng đó

* Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì :

+ Hai góc so le trong bằng nhau

+ Hai góc đồng vị bằng nhau

+ Hai góc trong cùng phía bù nhau

* Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

* Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia

* Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

4 Định lí : Một tính chất được khẳng định là đúng bằng suy luận là một định lý Mỗi

định lí thường đước phát biểu dưới dạng “Nếu … thì …” Phần nằm giữa từ “nếu “ và

từ “ thì” là phần giả thiết (GT) ; phần nằm sau từ “ thì” là phần kết luận ( KL )

Chứng minh định lí là dùng suy luận để từ GT khẳng định được KL là

đúng

B-Bài tập :

Bµi tËp 1.Cho hình vẽ

a) Đường thẳng a có song song với b không ? vì sao ?

b) Tính số đo góc x ? Giải thích vì sao tính được ?

Bµi tËp 2 Chứng minh rằng : Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng mà trong

những góc tạo thành có một cặp góc trong cùng phía bù nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau

Bµi tËp 3 Cho góc AOB khác góc bẹt Tia OM là tia phân giác của góc AOB Vẽ các

tia OC , OD lần lượt là tia đối của tia OA và OM Chứng minh rằng C OˆD=M OˆB

Bµi tËp 4 Cho hai góc x ˆ O y và x'Oˆ'y' cùng nhọn có cạnh Ox // O’x’ ; Oy // O’y’ Chứng minh x Oˆy= x'Oˆ'y'

Bµi tËp 5 Cho góc xOy Qua điểm A trên tia Ox vẽ đường thẳng a ⊥ Ox , qua điểm

B trên tia Oy vẽ đường thẳng b⊥Oy Chứng minh rằng :

a) Nếu x Oˆy≠ 180 0 thì hai đường thẳng a và b cắt nhau

b) Nếu x Oˆy= 180 0 thì hai đường thẳng a và b song song

c) Nếu x Oˆy= 90 0 thì hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau

Bµi tËp 6-Cho h×nh vÏ, chøng minh a//b

Bµi tËp 7 - Cho h×nh vÏ, biÕt µA B C+ + = µ µ 360 0

CHƯƠNG II TAM GIÁC ( 2buổi )

A - Kiến thức cần nhớ :

1.* Tổng ba góc trong của một tam giác bằng 1800

* Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau

* Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó Góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó

2 Ba trường hợp bằng nhau của tam giác :

*TH1: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác

bằng nhau :

( Nếu ∆ABCvà ∆A ' C B' ' có AB= A'B;'AC =A'C;'BC= B'C' ⇒ ∆ABC = ∆A'B'C' (c.c.c))

* TH2: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen

giữa của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau ( Nếu ∆ABCvà ∆A ' C B' ' có

) ( ' ' ' '

ˆ ˆ

;' '

* TH3: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề

của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau ( Nếu ∆ABCvà ∆A ' C B' ' có

) ( ' ' ' '

ˆ ˆ

;' ˆ ˆ

+ Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền

và góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

3 * Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau Trong tam giác cân hai góc ở

đáy bằng nhau ngược lại nếu một tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác đó

là tam giác cân

* Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau Trong một tam giác đều mỗi góc

bằng 600 Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều hoặc nếu một tam giác cân có một góc bằng 600 thì tam giác đó là tam giác đều

4 * ( Định lý Pi – Ta – Go ) Trong một tam giác vuông bình phương cạnh huyền

bằng tổng bình phương các cạnh góc vuông ( ∆ABC vuông tai A ⇒ BC 2 = AB2 +AC2 )

* ( Định lý Pi – Ta – Go đảo ) Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh

bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông :

A tai vuông BC

:

ABC 2 = AB2 +AC2 ⇒ ∆ABC

∆

* Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền

và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

B - Bài tập

Bài 1 Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy

điểm E sao cho AD = AE Gọi M là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng : a) BE = CD

b) ∆BMD= ∆CME

c) AM là tia phân giác của góc BAC

Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai

điểm D và E sao cho BD = CE

a) Chứng minh DE // BC

b) Từ D kẻ DM vuông góc với BC , từ E kẻ EN vuông góc với BC Chứng minh

DM = EN

c) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân

d) Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I Chứng minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAC

Bài 3 Cho tam giác cân ABC có Â = 450 , AB = AC Từ trung điểm I của cạnh AC

kẻ đường vuông góc với AC cắt đường thẳng BC ở M Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM Chứng minh rằng :

a) A MˆC= A BˆC

b) ∆ABM = ∆CAN

c) Tam giác MNC vuông cân tại C

Bài 4 Cho tam giác ABC vuông ở A có

Bài 5 Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B Trên cùng một nửa mặt

phẳng bờ AB vẽ hai tam giác đều ACD và BCE Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD Chứng minh rằng :

a) AE = BD

b) ∆CME = ∆CNB

c) Tam giác MNC là tam giác đều

Bài 6 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D trên cạnh AC

lấy điểm E sao cho AD = AE Các đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E với CD cắt

BC ở G và H Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M Đường thẳng kẻ

từ A song song với BC cắt MH ở I Chứng minh :

a) ∆ACD= ∆AME

b) ∆AGB = ∆MIA

c) BG = GH

Bài 7 Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh BC lấy điểm D Trên tia đối của tia

CB lấy điểm E sao cho BD=CE Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở M Từ

E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N

a) Chứng minh MD = NE

b) MN cắt DE ở I Chứng minh I là trung điểm của DE

c) Từ C kẻ đường vuông góc với AC , từ B kẻ đường vuông góc với AN chúng cắt nhau tại O Chứng tỏ Ao là đường trung trực của BC

Bài 8 Cho tam giác ABC đường cao AH Gọi M là trung điểm của BC Biết AH ,

AM chia góc ở đỉnh A thành ba góc bằng nhau Tính các góc của tam giác ABC

QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIAC ( 2 buổi)

A - Kiến thức cần nhớ :

1.* Trong một tam giác , góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

* Trong một tam giác , cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn

2 * Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường

thẳng đến đường thẳng đó , đường vuông góc là đường ngắn nhất

* Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó

+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn;

+ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại

3 Trong một tam giác , tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh

còn lại

∆ABC⇒ AB+AC >BC;AB+BC> AC;AC+BC > AB ( Bất đẳng thức tam giác )

Hệ quả :

AC BC AB AC BC AC AB BC AC AB BC AB AC BC AB

ABC⇒ − < < + − < < + − < < +

4 * Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi

là đường trung tuyến ( xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC ) của tam giác

ABC Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến

* T/c : Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm đó cách

mỗi đỉnh một khoảng bằng

3 2

độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy Trong tam

giác ABC , các đường trung tuyến AD, BE , CF đồng quy tại điểm G và ta có

Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC

5 T/c tia phân giác : Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh

của góc đó Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó

* Ba tia phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó

* Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là tia phân giác thì tam giác

đó là một tam giác cân

* Trong một tam giác cân , đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng đồng thời là đường phân giác ứng với cạnh đáy

6.* T/c đường trung trực : Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì

cách đều hai mút của đoạn thẳng đó Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

* Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều

ba đỉnh của tam giác đó Giao điểm này là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ( đường tròn ngoại tiếp )

7 Trong một tam giác đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối

diện gọi là đường cao của tam giác đó Mỗi tam giác có ba đường cao

* Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm , điểm này gọi là trực tâm của tam giác đó

* Trong tam giác cân đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác , đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ đỉnh của tam giác đó Trong tam giác đều các điểm : Trọng tâm , trực tâm , điểm cách đều ba đỉnh , điểm cách đều ba cạnh là trùng nhau

* Trong một tam giác , nếu hai trong bốn loại đường : đường trung tuyến , đường phân giác , đường trung trực , đường cao trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

Bài 2 Cho tam giác đều ABC Tia phân giác góc B cắt cạnh AC ở M Từ A kẻ

đường thẳng vuông góc với AB cắt các tia BM và BC lần lượt ở N và E Chứng minh a) Tam giác ANC là tam giác cân

b) NC vuông góc với BC

c) Tam giác AEC là tam giác cân

Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao BM , CN Trên tia đối của tia BM lấy

điểm D sao cho BD = AC , trên tia đối của tia CN lấy điểm E sao cho CE = AB Chứng minh :

a) A CˆE= A BˆD

b) ∆ACE = ∆BDA

c) Tam giác AED là tam giác vuông cân

Bài 4 Cho tam giác ABC cân ở A Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam

giác Trên tia đối của các tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao cho AM

= CN

a) Chứng minh O AˆB=O CˆA

b) Chứng minh ∆AOM = ∆CON

c) Gọi I là giao điểm hai đường trung trực của OM và ON Chứng minh OI là tia phân giác của góc MON

Bài 5.Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) , đường cao AD G là trọng tâm của tam

giác ABC , trên tia đối của tia DG lấy điểm E sao cho DE = DG

= thì tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?

Bài 6 Cho tam giác ABC Đường phân giác ngoài tại đỉnh B và đỉnh C của tam giác

cắt nhau ở O Từ A lần lượt kẻ đường thẳng vuông góc với hai đường phân giác trên , cắt đường thẳng BC ở M và N Chứng minh rằng :

a) Chu vi tam giác ABC bằng MN;

b) Đường trung trực của MN đi qua O

c) AO là tia phân giác của góc BAC

Bài 7 Cho tam giác cân DEA ( DE = DC > EC ) Đường trung trực của DC cắt

đường thẳng EC tại A Trên tia đối của tia DA lấy điểm B sao cho DB = AE CMR a) A DˆC = A CˆD

b) Tam giác ABC là tam giác cân

Bài 8 Cho tam giác ABC có Bˆ = 45 0 ;Cˆ = 120 0 Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB Kẻ DE vuông góc với AC Chứng minh rằng

a) CE = CB

b) Tam giác AEB là tam giác cân

c) Tam giác AED là tam giác gì ? Vì sao ?

d) Tính số đo góc ADB

Một số bài toán tổng hợp hình học

1 Cho ∆ABC, các trung tuyến BM, CN Trên tia đối của tia MB lấy điểm I sao cho

MB = MI Trên tia đối của tia NC lấy điểm K sao cho NC = NK Chứng minh rằng

a, ∆ AMI =∆ CMB b, AI // BC; AK // BC c, A là trung điểm của KI

2 Cho ∆ABC , điểm S nằm ngoài ∆ABC và thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

AC không chứa điểm B; trên các tia đối của các tia SA; SB; SC theo thứ tự lấy điểm D; E; F sao cho SD = SA; SE = SB;

SF = SC Nối D với E, E với F, F với D a, Chứng minh ∆ABC = ∆DEF

b, Gọi M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng BC; trên tia đối của tia SM lấy N sao cho

SN = SM Chứng minh ba điểm E, F, N thẳng hàng

3 Cho tam giác ABC , vẽ về phía ngoài tam giác các tam giác vuông cân đỉnh A là BAE và CAF

1) Nếu I là trung điểm của BC thì AI vuông góc với EF và ngược lại nếu I thuộc BC

và AI vuông góc với EF thì I là trung điểm của BC

2) chứng tỏ rằng AI = EF/ 2 ( với I là trung điểm của BC )

3) Gỉa sử H là trung điểm của EF ,hãy xét quan hệ của AH và BC

4 Cho Δ ABC, M là trung điểm của cạnh BC Từ A kẻ AD // BM sao cho AD = BM ( điểm D và điểm M nằm khác phía so với cạnh AB ) Gọi I là trung diểm của AB

a -CMR: DI=IM từ đó suy ra M,I,D thẳng hàng

b Chứng minh BD// AM

5 Cho tam giác ABC ( AB < AC) có AM là phân giác của góc A.(M thuộc BC).Trên

AC lấy D sao cho AD = AB a Chứng minh: BM = MD

b Gọi K là giao điểm của AB và DM Chứng minh: ∆DAK = ∆BAC

c Chứng minh : ∆AKC cân d So sánh : BM và CM

6: Cho ∆ ABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên Đường trung trực của AC cắt đường thẳng BC tạiM Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM

a/ Chứng minh rằng góc AMC = góc BAC b/ Chứng minh rằng CM = CN

c/ Muốn cho CM ⊥ CN thì tam giác cân ABC cho trước phải có thêm điều kiện gì?HD:c/ Ta có CM = CN ,để CM ⊥ CN thì tam giác CMN vuông cân tại C

Suy ra góc M = 450 Tam giác ACM cân tại M nên đường cao xuất phát từ M

(MK)cũng là đường phân giác

Nên góc CMK = 450 : 2 = 27,50.mà tam giác CMK vuông tại K suy ra góc KCM =

900-27,50=62,50

Vậy tam giác cân ABC phải có góc ở đáy = 62,50

7:Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M của BC vẽ một đường thẳng vuông

góc với tia phân giác của góc A, cắt tia phân giác tại H, cắt AB, AC lầm lượt tại E và

F Chứng minh rằng: a/ BE = CF

AC AB

AE= +

ACAB

BˆBCˆAE

Mˆ

8 Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ AH ⊥ BC Kẻ HP vuông góc với AB và kéo dài

để có PE = PH Kẻ HQ vuông góc với AC và kéo dài để có QF = QH

1/Chứng minh ∆APE = ∆APH, AQH∆ = ∆AQF

2/Chứng minh E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF

3/Chứng minh BE//CF 4/Cho AH = 3cm, AC = 4cm Tính HC, EF

PHẦN II:ĐỀ TỔNG HỢP

ĐỀ 1 Bài 1: Thực hiện phép tính:

Bài 4: Bốn đội máy cày có 36 máy ( có cùng năng suất) làm việc trên bốn cánh đồng

có diện tích bằng nhau Đội thứ I hoàn thành trong 4 ngày, đội II hoàn thành trong 6 ngày, đội III hoàn thành trong 10 ngày, đội còn lại hoàn thành trong 12 ngày Mỗi đội có bao nhiêu máy?

Bài 5: Cho ∆ABC vuông tại A có góc B = 300