Vật lý thống kê - P2

Tài liệu tham khảo về đề thi môn Vật lý thống kê...

Chương 1 Thống kê cho hệ nhiệt cân bằng

1.1- Đặt vấn đề

• Các hệ nhiều hạt cổ điển (NA lớn): không thể

áp dụng các phương trình Newton (cho từng hạt) vì hệ có quá nhiều phương trình

• Các hệ lượng tử (N lớn): Không thể dùng

phương trình Schrodinger để giải tìm trạng thái

và mức năng lượng vì :

- Số hàm sóng quá nhiều

- Toán tử Hamilton quá phức tạp

 PHƯƠNG PHÁP mới cho hệ nhiều hạt

PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

Ý nghĩa

1 Hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng Nếu năng lượng là không đổi

2 PT Schodinger không phụ thuộc t

Giải được:- Trị riêng là mức năng lượng

) t , z , y , x ( E

) t , z , y , x (

) z , y , x ( )

iEt exp(

A )

r ( )

iEt exp(

A )

z , y , x ( Hˆ )

r (

)z,y,x(.E)

z,y,x()]

z,y,x(

Um

Mô tả bài toán hạt trong hố thế

1.1.1 - Mục đích vật lý thống kê

• Áp dụng phương pháp thống kê toán học cho hệ cơ học ,

(tập trung vào chuyển động của hạt khi bị tác dụng một

• Tùy theo các trạng thái vi mô được mô tả theo cổ điển

hay lượng tử mà ta gọi là Vật lý thống kê cổ điển hay Vật

lý thống kê lượng tử

Vật lý thống kê mô tả hệ động lực học với số lượng rất lớn các hạt trong điều kiện cân bằng

Khái niệm Hạt

• Hạt nói ở đây có thể là

nguyên tử, phân tử, ion, hạt

nhân, electron, phôton,

Bài tập 1.1

• Chứng minh bậc tự do của hệ lớn (N hạt) gồm 2 hệ nhỏ (n hạt) và (N-n)hạt thì có

tính cộng được

f = 3N = 3n +(3)(N-n) = f 1 + f 2

1.1.2- Cân bằng nhiệt và thống kê

• Cân bằng nhiệt: Xảy ra khi các hạt va chạm

nhau nhiều lần và truyền động năng cho

nhau, cuối cùng hạt có vận tốc như nhau & nhiệt độ của hệ xem như không đổi

• Trạng thái cân bằng nhiệt có mức độ hỗn

loạn trong sự phân bố và chuyển động của các hạt rất cao nên có số trạng thái vi mô lớn nhất (cực đại)

1.1.2- Cân bằng nhiệt và thống kê

• Trong tự nhiên mọi hệ kín đều tiến

dần về trạng thái cân bằng nhiệt

• Nghiên cứu về cân bằng nhiệt có

tầm quan trọng đặc biệt vì tất cả

các thể vật chất (khí, lỏng, rắn,

bán lỏng, ) và tất cả các

hiện tượng vật lý (cơ, điện - từ,

quang, ) đều có thể nghiên cứu

trên sự cân bằng nhiệt của các hệ

lớn

Mô tả các thể vật chất

Tóm lại

• Nhiệt động học, (đồng nhất với vật lý

thống kê), là xét trạng thái cân bằng nhiệt của một hệ vĩ mô trên phương diện năng lượng.

• Khi hệ cân bằng: Năng lượng của phần tỏa ra bằng năng lượng của phần nhận vào

• Nếu không sinh công: Nhiệt của phần tỏa

ra bằng nhiệt của phần nhận vào

Bài tập 1.2

• Bỏ thanh đồng 300 g (570C) vào 1 lít

nước (170C) tạo hệ kín, hỏi nhiệt độ khi

hệ cần bằng là bao nhiêu ? (Bỏ qua mất nhiệt với thành bình)

• Cho Cn = 1kcal/kg độ

• Ccu = 8,9 1kcal/kg độ

1.1.3- Ba Định luật cân bằng

• Định Luật 0 : Nếu hai hệ cân bằng nhiệt động với với

hệ thứ ba thì chúng cũng cân bằng nhiệt động với nhau 

Cân bằng nhiệt động bao hàm cân bằng nhiệt (nhiệt độ), cân bằng cơ học (áp suất) và cân bằng hoá học

3

2 1

– Nhiệt năng truyền vào một hệ bằng thay đổi

nội năng của hệ và công năng mà hệ sinh ra cho môi trường

• ĐL 2 : Entropy (số trạng thái hỗn loạn) của một

hệ kín chỉ có hai khả năng, hoặc là tăng lên,

hoặc giữ nguyên

Nội năng của hệ

• Nội năng : Tất cả các năng lượng chuyển động nhiệt bên trong vật.

• Nội năng bao gồm:

1- Năng lượng chuyển động nhiệt của các phân tử.

2- Thế năng tương tác giữa các phân tử.

3- Thế năng tương tác giữa các nguyên tử trong từng phân tử 4- Động năng và thế năng tương tác của các hạt cấu tạo nên

nguyên tử (hạt nhân và các electron).

Biểu diễn nội năng

Hai dạng năng lượng cuối (3 & 4) gọi chung là năng lượng bên trong các phân tử Đối với một mol vật chất ta gọi.

• E là năng lượng chuyển động nhiệt.

• Et là tổng thế năng tương tác giữa các phân

tử.

• Ep là tổng năng lượng bên trong các phân tử

Nội năng U của một mol vật chất được viết là:

U = E + Et + Ep

Bài tập 1.3

Tính độ bíến thiên

nội năng của 1 mol

khí trong điều kiện

1.2 Đại lượng mở rộng & đại lượng bổ sung

Extensive or intensive

• Các đại lượng vật lý chi phối trạng thái nhiệt

động của một hệ được chia thành hai loại:

• Các đại lượng mở rộng và các đại lượng bổ

sung.

• Đại lượng mở rộng khi giá trị của nó trong hệ

bằng tổng giá trị của nó trong từng phần của

hệ đó

• Thí dụ: Thể tích

• Khối lượng

1.2 Đại lượng mở rộng & đại lượng bổ sung

Extensive or intensive

• Đại lượng bổ sung khi trong hệ

đồng nhất, giá trị của nó trong

toàn hệ bằng với giá trị của nó

trong từng phần của hệ

• Thí dụ: Áp suất - Nhiệt độ

Một đại lượng có thể không là đại

lượng mở rộng cũng không là

đại lượng bổ sung, chẳng hạn

đại lượng "bình phương

thể tích ".

Bài tập 1.4

• Cho biết đâu đại lượng mở rộng và

đâu đại lượng bổ sung?

1- Số lượng các hạt cùng loại.

2- Khối lượng riêng

3- Năng lượng và entropy

4- Tổng đại số Điện tích (gồm cả điện tích âm và điện tích dương)

1.3 Phân loại các hệ nhiệt

Denoted System

Hệ cô lập (Isolating systems) : Có vật chất và

năng lượng không di chuyển vào ra với hệ đó (fixed energy and particle number).

Hệ đóng (Closed systems) : vật chất không di

chuyển vào ra với hệ nhưng năng lượng có thể vào ra với hệ

Thí dụ khí lý tưởng bị nhốt trong xy lanh và

đung nóng ở nhiệt độ không đổi

Hệ mở (Opened systems) : Có vật chất và năng lượng di chuyển vào ra tự do với hệ Thí dụ khí

1.3 Phân loại các hệ nhiệt

Bài tập 1.5

• Hệ động cơ gồm một pitton + xylanh và khí bên trong, xét quá trình làm việc thì

hệ đó là hệ gì ? Giải thích?

1.3 Phân loại các hệ nhiệt

Denoted System

Phương trình trạng thái (Equation of State) :

Quan hệ giữa các biến trạng thái của hệ theo thời gian (relationship between the state

variables)

Thí dụ : Khí Lý tưởng ( an ideal gas) , phương

trình có dạng PV = nRT;

Cân bằng (Equilibrium) : Khi các thông số vĩ mô

(macroscopic properties) như nhiệt độ áp suất

1.4 Trạng thái vĩ mô và vi mô

1.4.1- Trạng thái Vi mô

Microstates

Mỗi trạng thái vi mô có

xác suất xảy ra như

Bài tập 1.6

• Tính xác suất trúng lô đặc biệt có 5 chữ

số (Lưu ý: mỗi ô có khả năng chứa 10 chữ số khác nhau)

Xác suất trúng vé số đặc biệt 5 chữ

số là :

Lưu ý: Xác suất khách quan

Objective probabilities

• Xác suất có từ thực nghiệm

( experimentally) , thực hiện nhiêu lần

( many tests) để có một kết quả định

lượng của các biến cố ngẫu nhiên

(random variable)

• Nếu thực hiện thí nghiệm N lần và biến

cố A ( event A ) xuất hiện N A lần, khi đó

xác suất khách quan đo A là:

Bài tập 1.7

Một chuổi ném xúc xắc (100 , 200, 300 lần) cho kết quả:

số lần xuất hiện mặt (có ký hiệu 2) lần lượt là 19, 30, 48

Tính xác suất ném và có được mặt 2 ở các trường hợp trên ?

Kết quả:

1- 0.19 (19/100), 2- 0.15, 3 - 0.16

Lưu ý- Xác suất chủ quan Subjective probabilities

• Cung cấp một phép ước lượng lý thuyến

( a theoretical estimate ) dựa trên sự thiếu các thông tin chính xác giữa các quan hệ, nên xem xác suất cho các trường hợp là đồng nhất

• Ví dụ: Xác suất gieo xúc xắc có một mặt nào đó là như nhau và P=1/6, thực tế có thể khác nhau do cấu trúc xúc xắc và các phương pháp đánh dấu các mặt

1.4.2- Trạng thái vĩ mô

- Mô hình Ising “Macrostate”

Nếu đếm có bao nhiều hạt Spin

dương (green) và bao nhiều hạt

Spin âm (blue) trong hệ mà

không phân biệt vị trí của chúng

ở đâu, khi đó trạng thái vĩ mô

``macrostate'' được xác định bởi

tổng số n (green) và tổng [N – n]

(blue); N là tổng số ô của kệ

1.4.2- Trạng thái vĩ mô

“Macrostate”

Rõ ràng, mỗi trạng thái vĩ mô

tương ứng với nhiều trạng

thái vi mô và hệ vĩ mô không

thể tồn tại lâu trong bất kỳ

trạng thái vi mô khả vĩ nào (ở

T >0 K)

Giả sử trạng thái vĩ mô xác

định bằng n = 15 (green), ta có

thể tính được có bao nhiêu

trạng thí vi mô tương ứng với

Tổng trạng thái vi mô của một trạng thái vĩ mô

(Total microstates)

Sử dụng công thức tổ hợp chập tính phân bố spin electron (nhị phân)

Bài tập 1.8

Áp dụng tính cho n=15? Cho n=16, 17, 18, 19, 20… Giá trị cực đại của số trạng thái vi mô ứng với n là bao nhiêu?

1.5 Hệ nhị phân – ISING -Bio

binomial system

• Quay lại thí nghiệm 36 kệ với các giá trị n khác nhau:

• Nếu chỉ xét electro với spin dương và âm ta có phân bố

nhị phân:

Khi, N=36 và n=15, tổng số trạng thái vi mô là 5,59.10 9 Khi n=10, tổng chỉ còn 2,54.10 8

Khi n=18, tổng là 5,59.10 9 Đây là cực đại

Số lượng: N!/ (n!)(N-n)! Gọi là hệ số nhị phân (binomial coefficients) và được ký hiệu là

Bài tập 1.9 Liên quan đại lượng entropy của một hệ

• Theo thuyết nhiệt động học:

Entropy liên quan đến số lượng

các trạng thái vi mô (mức độ hỗn

loạn) ứng với một trạng thái vĩ mô

và được định nghĩa:

• S = ln(j) với j là số trạng thái vi mô

của trạng thái vĩ mô s

1.6 - Nguyên lý 2

Sự tăng entropy trong các quá trình CB

• Khi Hệ là cô lập thì entropy của nó không bao giờ giảm.

(The entropy of an isolated system can never decrease)

Bài tập 1.10

Dựa theo nguyên lý trên, cho biết ở bài tập trong slide

trước thì diển biến các quá trình vĩ mô (dựa theo giá trị

n bao nhiêu) xảy ra theo các khả năng nào ?

Khi Entropy của hệ đạt cực đại thì hệ đạt trạng thái cân

bằng.

Cho biết trong bài toán trên, entropy đạt cực đại khi n bằng bao nhiêu?

1.7- Phân bố Bernoulli – ISING-HEXA

(Bernoulli distribution)

• Phân bố mà biến rời rạc nhận trên 2 giá trị

khác nhau gọi là phân bố Bernoulli.

• Xét trường hợp có 6 giá trị khác nhau của

phôton (ví dụ 6 bước sóng đơn – Đỏ, cam, vàng, lục, lam, tím ) trên kệ 5x5 ô trống Lúc

đó số trạng thái vi mô ứng với một trạng thái

vĩ mô có số phôton ứng các màu xác định

được tính là:

!

N )

n , n , n , n , n , n

(

Tính Entropy của trạng thái vĩ mô xác định như trên ?

Khi quá trình cân bằng xảy ra cho hệ trên, Entropy hệ

đạt cực đại với giá trị bằng bao nhiêu?

(Số cực đại xảy ra khi các phôton có cùng giá trị)

1.8- Hàm trạng thái của hệ lục phân

Six state functions

• Ở hệ vĩ mô (The macroscopic system), trạng thái cân

bằng được xác định bởi số lượng các biến số động lực (thermodynamic coordinates) hay các hàm trạng thái – thường là 6 biến (x, y, z, P x , P y , P z ) cho mỗi

hạt.

• Các biến số động lực khác cũng có thể dùng là áp

suất hay thể tích (cho chất lưu), Sức căng hay diện tích bề mặt (cho màng mỏng), sức căng và độ dài (cho một dây), Điện trường (electric field) hay độ

phân cực (polarization) cho một điện môi (a

dielectric)

Điểm pha và Quĩ đạo pha

• Điểm pha J: điểm của hệ N hạt được xác định

qua 6N biến là ((x 1 , y 1 , z 1 , P x1 , P y1 , P z1 ) … (x N ,

y N , z N , P xN , P yN , P zN ) )

• Để ngắn gọn người ta ký hiệu lại là :

• J(qN, pN) (q, p lần lượt là tọa độ và xung lượng suy rộng của các hạt)

• Quĩ đạo pha: theo thời gian, hệ thay đổi vị trí các hạt tức là các điểm pha di chuyển  J’(q’N, p’N) tạo đường gọi là quĩ đạo pha

• Lưu ý các đường này không cắt chính nó

Minh họa quỹ đạo pha

Không gian pha

• Vùng chứa tất cả các giá trị khả hữu của tất cả các biến tọa độ và xung lượng suy rộng (q,p)

• Thể tích pha nguyên tố:

)dvdv

dv(mdp

&

dydz

dxdq

)dvdv

dv(m.dzdy

.dxdp

.dqd

z y

x 3

zi yi

xi

3 i i

N

1 i

i i

Mô tả không gian pha nguyên tố

Bài tập 1.12

• Xác định thứ nguyên của thể tích pha với hệ N hạt có bậc tự do là f = 3N

N 3

f f

N 3

N 3 N

3 N

3 N

3

N z y

x N

] /[

s Joule [

] s Joule

[

] t [ ] L [ ] M [ ] L [ ]

dp dp

dp [ ] dz dy dx [ ]

Nguyên lý Ergodic và hàm phân bố

trạng thái vi mô ứng với một

trạng thái vĩ mô của hệ đang

Nguyên lý Ergodic và hàm phân bố

• Các hệ trong tập hợp Gibbs có mật độ xác

suất tuân theo hàm phân bố  (q,p,) xét trong không gian pha d

• Giá trị trung bình (theo thời gian) của một

thông số vĩ mô của hệ có thể tính qua giá trị

trung bình của đại lượng đó (tính theo biến tọa

độ và xung lượng suy rộng) với hàm phân bố

Tóm lại

• Trong vật lý thống kê, ta thay việc tính

trung bình (theo t) của một thống số vĩ

mô A bằng cách tính trung bình của

thông số đó qua hàm phân bố xác suất các trạng thái vi mô của tập gibbs tương ứng và xem thông số cần tính là hàm

theo tọa độ suy rộng A=A (q,p)

• Như vậy điều quan trọng là phải xác định

Độc lập thống kê Statistical Independence

Nếu các biến cho từng hạt là hoàn toàn độc lập với nhau (khí lý tưởng không tương tác) thì

Hàm mật độ phân bố kết hợp là tích của các hàm phân bố riêng (individual function) PDFs

i i

i n

N N

1 1

1

N i

N i

) p , q ( )

p , q ( )

p , q (

) p ,

p , q ,

q ( )

q , p (

Nói ngược lại: Nếu hệ vĩ mô phức tạp gồm nhiều hệ con ghép lại mà thỏa mản biểu thức trên thì các hệ con là

Các ứng dụng

)} p

, q ( {

log )

q , p ( log

) p , q ( )

q , p (

i i

i

N

1 i

N

1 i

i i

Hàm phân bố có điều kiện

(The conditional PDF)

Mô tả đặc tính của một hệ phụ các biến ngẫu nhiên, ứng với một số giá trị xác định đặc biệt (specifed values)

VD: Biến độc lập cho vận tốc của một hạt ở vị trí xác định

r o (x 0 , y o , z 0 ), ký hiệu là (v/r 0 ) thì tỉ lệ với hàm phân bố PDF theo công thức:

Hằng số tỉ lệ được xác định từ điều kiện chuẩn hóa:



 p ( v , r ) )

r / v (

v , r ( p v



1.9 Các hàm phân bố cổ điển

1.9.1 Phân bố vi chính tắc VCT

• Trong nhiệt học: người ta xét 2 loại hệ

• 1- Hệ đoạn nhiệt-cô lập (E 0 không đổi)

• 2- Hệ đẳng Nhiệt (Tiếp xúc bình nhiệt –T khổng đổi)

• Phân bố VCT xét cho hệ cô lập, thực tế E 0 được xem là

có biến đổi nhưng rất nhỏ (E)

• Hàm phân bố VCT được định nghĩa như sau:

Nếu năng lượng của hệ trong khoảng (E 0  E) thì hàm

1.9.2- Phân bố hạt theo vận tốc

Phân bố Maxwell

Đặt vấn đề

Với hệ nhiều hạt như chất lưu (khí

hoặc lỏng), e trong kim loại… không

cần tính vận tốc từng hạt vì số lượng

hạt quá lớn và chúng luôn thay đổi sau

mỗi va chạm  Cần thống kế số

lượng các hạt có vận tốc trung bình

gần nhau, số lượng đó thường không

đổi ở điều kiện cân bằng nhiệt (T =

const) Xác suất đó càng lớn khi

Hàm mật độ vận tốc

Gọi p(v) là hàm mật độ xác suất phụ thuộc

vận tốc v  xác suất tìm được hạt có vận tốc trong khoảng v + dv là: p(v).dv

1 dv

) v (

p

1 i







Điều kiện chuẩn hóa: Nếu hàm phân bố là rời rạc

Nếu biến vận tốc là liên tụcdương (possitive ontinuous random variable) thì tổng đó thành tích phân:

)0dv

)v(p(

1dv

)v(p1

dv)v(p

DẠNG TƯỜNG MINH của phân bố Maxwell

Nếu cho rằng ở nhiệt độ phòng (300 K) động năng một hạt bằng Năng lượng nhiệt của một bậc tự do là KT/2 ta viết:

Theo Maxwell hàm phân bố hạt theo vận tốc, nhiệt độ có dạng:

2

1 mv

) v v

v (

m exp

KT 2

m )

T , v v

, v

(

f

2 z

2 y

2 x

2 / 3 z

, y x

Bài tập 1.13

) s / m 298 300

( V

) s / m 455 450

( V

) s / m 202 200

( V

Z y X

Xác định trung bình của bình phương vận tốc và phương sai là sque(<V> 2 - < V 2 >)

Khi nhiệt độ tăng gấp đôi, sự phân bố sẽ thế nào?

Bài tập 1.14

• Biểu diễn hàm phân bố

Maxwell theo biến tọa độ

(dùng biến đổi Fourier)

• Tính trung bình tọa độ <x>

và phương sai là

sque(<x> 2 - < x 2 >)

• Khi nhiệt độ tăng gấp đôi,

sự phân bố theo tọa độ

sẽ thế nào?

1.9.3 Phân bố Boltzmann

trọng lực

Giới thiệu

• Phân bố Boltzmann xuất phát từ bài toán trọng

trường (gia tốc g) và hạt khí (khối lượng m) có thế năng U tính theo độ cao h là:

KT 2

1 mgh

Sử dụng Phân bố Maxwell với thế năng U thay cho động năng và sử dụng điều kiện chuẩn hóa ta tính được hàm phân bố số hạt theo độ cao h và nhiệt độ T là:

mg )

T , h ( f

Tính phương sai: sque(<x> 2 - < x 2 >)

Khi nhiệt độ tăng gấp đôi, Khoảng

độ cao h (50%) sẽ di chuyển như

thế nào?