Qui tắc cộng: Một cơng việc nào đĩ cĩ thể được thực hiện theo một trong hai hành động A hoặc B.. Nếu hành động A cĩ m cách thực hiện, hành động B cĩ n cách thực hiện và khơng trùng với
Trang 1TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I Quy tắc đếm
1 Qui tắc cộng:
Một cơng việc nào đĩ cĩ thể được thực hiện theo một trong hai hành động A hoặc B Nếu hành
động A cĩ m cách thực hiện, hành động B cĩ n cách thực hiện và khơng trùng với bất kì cách nào trong hành động A thì cơng việc đĩ cĩ m + n cách thực hiện.
VD1 Cĩ 2 cuốn sách tốn A và B khác nhau, hai cuốn sách C và D khác nhau Cần chọn đúng 2 cuốn
sách, hỏi cĩ bao nhiêu cách
Giải:
+ Trường hợp 1: chọn 2 cuốn sách tốn cĩ 1 cách
+ Trường hợp 2: chọn 2 cuốn sách vật lý cĩ 1 cách
+ Trường hợp 3 : chọn 1 cuốn sách tốn và 1 cuốn sách vật lý cĩ 4 cách ( A và C, A và D, B và C, B
và D)
Vậy cĩ 1 + 1 + 4 =6 cách chọn
VD2 Từ tập hợp X = {a, b, c} chọn ra 1 tập hợp con của A Hỏi cĩ mấy cách.
Giải
+ Trường hợp 1: chọn tập hợp khơng chứa phần tử nào cả cĩ một cách là tập rỗng
+ Trường hợp 2: chọn tập hợp cĩ 1 phần tử của A cĩ 3 cách, đĩ là {a}, {b}và {c}
+ Trường hợp 3: chọn tập hợp cĩ 2 phần tử của A cĩ 3 cách, đĩ là {a, b}, {b, c}và {c, a}
+ Trường hợp 4: chọn tập hợp cĩ 3 phần tử của A cĩ 1 cách, đĩ là {a, b, c }
Vậy cĩ 1 + 3 + 3 +1 = 8 cách chọn
2 Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai hành động A và B Nếu hành động A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động B thì công việc đó có m.n cách
thực hiện.
VD3 Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7 lập được mấy số tự nhiên cĩ 3 chữ số phân biệt.
+ Bước 1 : chọn chữ số hàng trăm cĩ 7 cách ( trừ chữ số 0)
+ Bước 2 : chọn chữ số hàng chục cĩ 7 cách ( trừ chữ số đã chọn ở hang trăm)
+ Bước 3 : chọn chữ số đơn vị cĩ 6 cách ( trừ 2 chữ số đã chọn)
Vậy cĩ 7.7.6 = 294 số
VD4 Từ các phần tử của A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẳn gồm 3 chữ
số khác nhau
Giải
Gọi A=a1a2a3 với a1 ≠0 và a1,a2,a3∈A là số cần lập.
+ Trường hợp 1: A=a1a20(a3 ≠0)
-Bước 1: chọn a1 cĩ 5 cách, đĩ là a1 = 1 hoặc 2, 3, 4, 5
-Bước 2: chọn a2 cĩ 4 cách ( trừ chữ số 0 và chữ số a1 đã chọn)
Suy ra cĩ 5.4 = 20 số A=a1a20 + Trường hợp 2: A=a1a2a3 (a3 ≠0)
- Bước 1 : chọn a3 cĩ 2 cách , đĩ là a3 = 2 hoặc bằng 4
- Bước 2 : chọn a1 cĩ 4 cách ( trừ số 0 và số a3 đã chọn)
- Bước 3 : chọn a2 cĩ 4 cách từ 4 chữ số cịn lại
Suy ra cĩ 2 4 4 = 32 số A=a1a2a3 (a3 ≠0)
Vậy cĩ 20 + 32 = 52 số
VD5 Từ các chữ số 1, 2, 3 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 2 chữ số.
Giải
Gọi A=a1a2 với a1 , a2 khơng biêt là số cần lập
Trang 2+ Bước 1 : chọn 1 chữ số để xệp vào a1 cĩ 3 cách.
+ Bước 2 : chọn 1 chữ số để xệp vào a2 cĩ 3 cách( do các chữ số khơng phân biệt)
VD6 cần sắp xếp 3 người A, B , C lên 2 toa tàu ( mỗi toa cĩ thể chứa được 3 người) Hỏi cĩ bao nhiêu
cách sắp xếp
+ Bước 1 : người A cĩ 2 sự lựa chọn toa tàu
+ Bước 2 : người B cĩ 2 sự lựa chọn toa tàu
+ Bước 3 : người C cĩ 2 sự lựa chọn tao tàu
Vậy cĩ 2.2.2 = 8 cách sắp xếp
Nhận xét : Chỉ dùng các quy tắc đếm , cộng và nhân thì ưu điểm là ít sai sĩt nhưng nhược điểm lời
giải dài dịng.
Bài tập làm thêm
Bài 1: Một bĩ hoa gồm cĩ: 5 bơng hồng trắng, 6 bơng hồng đỏ và 7 bơng hồng vàng Hỏi cĩ mấy cách chọn lấy 1 bơng hoa?
ĐS
: a/ 18.
Bài 2: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát Hỏi đội văn nghệ trên cĩ bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau?
ĐS: 36.
Bài 3: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số
b) gồm 6 chữ số khác nhau
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2
Bài 4: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số:
a/ cĩ 3 chữ số khác nhau?
c/ chia hết cho 5 cĩ 3 chữ số khác nhau?
d/ chẵn cĩ 3 chữ số khác nhau?
e/ lẻ cĩ 3 chữ số khác nhau ?
b/ lớn hơn 300 cĩ 3 chữ số khác nhau?
ĐS: a/ 100 c/ 36 d/ 52. e/ 48 b/ 60
Bài 5: Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số lẻ cĩ 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn
400?
ĐS: 35
Bài 6: Một người cĩ 7 cái áo trong đĩ cĩ 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đĩ cĩ hai cà vạt màu vàng Hỏi người đĩ cĩ bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
b/ Đã chọn áo trắng thì khơng chọn cà vạt màu vàng?
ĐS: a/ 35 b/ 29.
II Hốn vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
1.Hốn vị
Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử.
Số các hoán vị của n phần tử là: P n = n!= 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1.
VD7 Sắp xếp 5 người vào 1 băng ghế cĩ 5 chổ Hỏi cĩ bao nhiêu cách.
Giải
Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hốn vị
Vậy cĩ P5 = 5! = 120 cách sắp
Trang 3VD8 Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Giải
Gọi A=a1a2a3a4a5 (a1 ≠0) và a1 , a2 , a3, a4 ,a5 phân biệt là số cần lập
+Bước 1 : chữ số a1 ≠0 nên có 4 cách chọn
+Bước 2 : sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách
Vậy có 4.24 = 96 số
Bài tập làm thêm
Bài 1 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi trong các số đó
có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?
c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345?
Bài 2 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9 Hỏi trong các số đó
có bao nhiêu số:
a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1?
c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Không bắt đầu bởi 135?
ĐS: a/ 24 b/ 96 c/ 6 d/ 118.
Bài 3 Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vị của 6 chữ số 1, 2, 3, 4,
5, 6
ĐS: 279999720.
Bài 4 Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn Các quyển sách
đều khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn?
c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
Bài 5 Có 8 được xếp ngồi xung quanh một bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp
ĐS: Q 8 = 7!
Bài 6 Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng
9
ĐS: 18.
Bài 7 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi trong các số đã
thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
ĐS: 480.
Bài 8 Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho:
a/ Bạn C ngồi chính giữa?
b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
ĐS: a/ 24 b/ 12
Bài 9 Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a/ Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau?
b/ Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau?
ĐS: a/ 86400 b/ 2903040.
2.Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự
nào đóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
! ( 1)( 2) ( 1)
( )!
k
n k
−
• Khi k = n thì A = P n n n = n!
Trang 4VD9 Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ Hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7
Vậy có (7 5)! 2520
! 7
5
−
=
VD10.Từ tập X = {0,1,2,3,4,5} có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.
Giải
Gọi A=a1a2a3a4 (a1 ≠0) và a1 , a2 , a3 , a4 khác nhau là số cần lập
+Bước 1: chữ số a1 có 5 cách chọn ( không chọn số 0)
+Bước 2: chọn 3 số trong 5 số còn lại để sắp vào 3 vị trí có 3
5
A cách chọn.
Vậy có 5 A = 300 số.53
Bài tập:
Bài 1 Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3
cặp Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
ĐS: Có A A cách10 63 3
Bài 2 Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:
a) Các chữ số khác nhau?
b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
ĐS: a) 9.A94 b) Có 9 5 số
Bài 3 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu:
a) Số gồm 5 chữ số khác nhau?
b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?
ĐS: a) 6 A64 b) 6.A53+3.5A53
c) Số gồm 5 chữ số có dạng: abcde
• Nếu a = 5 thì có A số64
• Nếu a ≠ 5 thì a có 5 cách chọn Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e Þ có 4 cách chọn
vị trí cho số 5 3 vị trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại Þ có A cách chọn.53
Þ Có A64+4.5.A53 = 1560 số
Bài 4 Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả:
a/ Số chẵn b/ Bắt đầu bằng số 24 c/ Bắt đầu bằng số 345
d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1?
ĐS: a/ 312. b/ 24 c/ 6 d/ 120 ; 480
Bài 5 Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký Hỏi
có mấy cách chọn?
ĐS: 6840.
Bài 6 Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí Có
bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
c/ Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
Trang 53.Tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) được gọi là một
chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu C n k
( )!
!
!
k n k
n
C k
VD11.Có 100 cuốn sách toán khác nhau Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách.
Giải
Mỗi cách chọn ra 4 trong cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.(Không quan tâm thứ tự)
Vậy có 4 210
10 =
VD12 Một nhóm có 5 nam và 3 nữ Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ Hỏi có bao
nhiêu cách chọn
+ Trường hợp 1: có 1 nữ 2 nam
- Bước 1: Chọn ra 1 trong 3 bạn nữ có 3 cách
- Bước 2: chọn ra hai trong 5 bạn nam có C52
Suy ra có 3C cách chọn52
+ Trường hợp 2: có 2 nữ 1 nam
- Bước 1: Chọn ra 2 trong 3 nữ có C cách.32
- Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam có 5 cách
Suy ra có 5C cách chọn32
+ Trường hợp 3: chọn 3 bạn nữ có 1 cách
Vậy có 3 2
5
C + 5 2
3
C +1 = 46 cách chọn.
Nhận xét :
i/ Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt
ii/ Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chổ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ
tự còn tổ hợp thì không.
Bài tập làm thêm
Bài 1 Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập Người ta cấu tạo thành các đề thi Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
ĐS: • Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập: C C42 1 6 =36
• Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập: C C14 6 2 =60
Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.
Bài 2 Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý b) Có 1 nam và 3 nữ c) Có 2 nam và 2 nữ
d) Có ít nhất 1 nam e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ
ĐS: a) C404 b) C C25 151 3 c) C C25 152 2 d) C C25 151 3 +C C25 152 2 +C C25 153 1 +C254
e) C404 −C254 −C154
Bài 3 Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy viên Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 4651200.
Bài 4 Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần
Trang 6ĐS: 544320 (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999)
Bài 5 Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số:
a/ Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2?
b/ Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ?
Bài 6 Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết
có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần Hỏi có bao nhiêu số như vậy?
Bài 7 Một đoàn tàu có 3 toa chở khác Toa I, II, III Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi tàu Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống Hỏi:
a/ Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa
b/ Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên
4 Phương pháp giải toán
a Phương pháp 1.
Bước 1: Đọc kỹ các yêu cầu và số liệu của đề bài Phân bài toán ra các trường hợp, trong mỗi trường
hợp lại phân thành các giai đoạn
Bước 2: Tùy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài toán để sử dụng quy tắc cộng , nhân, hoán vị, chỉnh
hợp hay tôt hợp
Bước 3: Đáp án là tổng kết kết quả các truòng hợp trên.
VD13 Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ Người ta muốn chọn ra từ nhóm ra 5 người lâp tổ
công tác có 1 tổ trưởng nam và có ít nhất 1 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác
+Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam
- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có 2
15
A cách.
- Bước 3 : Chọn ra 2 trong 13 nam còn lại có C cách.132
Suy ra có 5 2
15
A 2
13
C cách chọn trong trường hợp 1.
+Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam
- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có 2
5
C cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A cách.152
- Bước 3 : Chọn ra 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách
Suy ra có 13A 152 2
5
C cách chọn trong trường hợp 2.
+Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam
- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có 3
5
C cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A cách.152
Suy ra có 3
5
15
A cách chọn trong trường hợp 3.
Vậy có 5A 152 2
13
C +13 2
15
A 2 5
C + 3 5
15
A = 111300 cách.
Cách khác:
+Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trường và tổ phó có A cách.152
+Bước 2: Chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ
-Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có 5 2
13
C cách.
-Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có 13C cách.52
-Trường hợp 3: chọn 3 nữ có 3
5
C cách.
Vậy có A (5152 2
13
C +13 2
5
C + 3 5
C ) = 111300 cách.
b Phương pháp 2.
Trang 7Đối với nhiều bài toán , phương pháp 1 rất dài Do đó ta sữ dụng phương pháp lại trừ ( phần bù ) theo phép toán A∪A= X ⇒ A= X \A
Bước 1: chia yêu cầu bài toán thành 2 phần là yêu cầu chung X ( tổng quát) gọi loại 1 và yêu cầu riêng
A.Xét A là phủ định của A , nghĩa là không thỏa yêu cầu riêng gọi là loại 2.
Bước 2: tính số cách chọn loại 1 và loại 2.
Bước 3: đáp số là cách chọn loại 1 trừ số cách chọn loại 2.
Chú ý : cách phân loại loại 1 và loại hay có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan của người giải.
VD14 Từ các số 0,1,2,3,4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Giải
+ Loại 1: chữ số a1 tùy ý có 5! = 120 số
+ Loại 2: chữ số a1 = 0 ta có 4! = 24 số
Vậy có 120 – 24 = 96 số
VD15 : Một nhóm có 7 nam và 6 nữ chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ Hõi có bao
nhiêu cách
Giải
+ loại 1 : chọn 3 người tùy ý trong 13 người có C cách.133
+ Loại 2 : chọn 3 nam ( không có nữ) trong 7 nam có C cách73
Vậy có C -133 3
7
C = 251 cách chọn.
Chú ý : phương pháp phần bù có ưu điểm ngắn tuy nhiên nhược điểm là thường sai sót do phân loại
và tính số lượng từng loại.