Tìm hiểu độ phức tạp một số thuật toán

Độ phức tạp của thuật toánĐể đánh giá hiệu quả của một thuật toán, ta có thể đánh giá độ phức tạp củathuật toán về mặt thời gian, tức là thời gian máy tính làm việc và về không gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-Nguyễn Thế Quyền

TÌM HIỂU ĐỘ PHỨC TẠP MỘT SỐ THUẬT TOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-Nguyễn Thế Quyền

TÌM HIỂU ĐỘ PHỨC TẠP MỘT SỐ THUẬTTOÁN

Chuyên ngành: Bảo đảm toán học cho máy tính và hệ thống tính toán Mã số: 60.46.35

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN HỮU NGỰ

Hà Nội - 2013

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Máy Turing 4

1.1.1 Máy Turing 4

1.1.2 Máy Turing tất định 5

1.1.3 Máy Turing không tất định 7

1.2 Khái niệm thuật toán 8

1.2.1 Khái niệm thuật toán 8

1.2.2 Ví dụ về thuật toán 9

1.2.3 Luận đề Church-Turing 10

1.3 Độ phức tạp của thuật toán 11

1.3.1 Độ phức tạp về thời gian 11

1.3.2 Ví dụ cách tính độ phức tạp 12

CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP CỦA BÀI TOÁN 14

2.1 Bài toán là gì? 14

2.2 Một số bài toán quan trọng 15

2.3 Độ phức tạp của bài toán 20

CHƯƠNG 3 PHÂN LỚP CÁC BÀI TOÁN THEO ĐỘ PHỨC TẠP 21

3.1 Lớp các bài toán P, NP và mối quan hệ giữa lớp P và lớp NP 21

3.1.1 Lớp P 21

3.1.2 Lớp NP 21

3.1.3 Mối quan hệ giữa lớp P và NP 21

3.2 Lớp các bài toán NPC 21

3.2.1 Phép dẫn với thời gian đa thức 21

3.2.2 Lớp các bài toán NPC 22

3.2.3 Mối quan hệ giữa các lớp bài toán P, NP và NPC 22

3.2.4 Một số bài toán lớp NPC 23

1) Bài toán SAT Định lý Cook 23

2) Bài toán 3SATIFIABILITY (3SAT) 30

3) Bài toán 3-DIMENSIONAL MATCHING (3DM) 33

4) Bài toán VERTEX COVER (VC) 37

5) Bài toán CLIQUE 39

6) Bài toán HAMILTON CIRCUIL (HC) 39

7) Bài toán PARTITION 39

8) Bài toán TRAVELING SALEMAN (TSP) 39

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

Lý thuyết độ phức tạp là một lĩnh vực trung tâm của khoa học máy tính với cáckết quả liên quan chặt chẽ với sự phát triển và sử dụng các thuật toán Nghiên cứu về lýthuyết độ phức tạp sẽ giúp chúng ta hiểu biết sâu sắc và khám phá ra ranh giới củanhững vấn để “có thể” tính toán với các nguồn tài nguyên hợp lý

Trong bản luận văn này, trước hết chúng tôi tìm hiểu một số khái niệm quantrọng của lý thuyết thuật toán như thuật toán và độ phức tạp của thuật toán Trên cơ sở

đó, chúng tôi bước đầu tìm hiểu một số khái niệm quan trọng của lý thuyết độ phức tạpnhư khái niệm bài toán, độ phức tạp của bài toán Cuối cùng là chúng tôi tìm hiểu vềcác lớp phức tạp của bài toán và mối quan hệ giữa các lớp phức tạp đó Trong đó đặcbiệt quan tâm đến lớp phức tạp NP-đầy đủ

Nội dung của bản luận văn bao gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày tóm tắt những kiến thức cơ bản và trọng tâm về lý thuyết

thuật toán như máy Turing đơn định, máy Turing không đơn định, thuật toán, độ phứctạp thuật toán

Chương 2: Gồm có ba phần chính trình bày về khái niệm bài toán, danh sách

các bài toán quan trọng và khái niệm độ phức tạp của bài toán

Chương 3: Gồm có hai phần chính trình bày lớp các bài toán P, NP và lớp bài

toán NP-đầy đủ

Để hoàn thành bản luận văn này, chúng tôi đã nhận được sự giúp đỡ tận tình củathầy hướng dẫn – PGS.TS Nguyễn Hữu Ngự và sự chỉ bảo góp ý của các thầy cô trongBộ môn Tin học, Khoa Toán – Cơ – Tin học và các bạn đồng nghiệp Nhân đây, chúngtôi cũng xin cảm ơn các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ chúng tôi trong quátrình làm luận văn

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trước khi nói về thuật toán, chúng ta hãy xem xét một mô hình tính toán thểhiện khá tốt về các thuật toán

1.1 Máy Turing (Turing machine)

1.1.1 Máy Turing

Gồm có:

1) Tập trạng thái trong hữu hạn

2) Băng vô hạn hai phía (về lý thuyết có thể kéo dài tuỳ ý cả hai phía)

3) Bảng tín hiệu vào, bảng tín hiệu trên băng và một đầu đọc-ghi

4) Bảng chuyển trạng thái

q

↓

B B B B a1 a2 ai an B B B

Một bước làm việc của máy gồm:

- Đầu đọc-ghi đọc tín hiệu trên băng

- Căn cứ vào trạng thái trong và tín hiệu đọc trên băng, đầu đọc-ghi sẽ ghi mộttín hiệu trên băng, dịch chuyển sang phải hoặc sang trái một ô và chuyển sang mộttrạng thái trong nào đó

Quy ước khi máy bắt đầu làm việc thì trạng thái là trạng thái đầu của máy, vớiinput hữu hạn trên băng, đầu đọc-ghi nằm ở ký tự bên trái nhất của input Các kết quảtrung gian trong khi tính toán có thể lưu trên băng hoặc có thể tổ chức lưu vào trạngthái trong (nhưng chú ý là số trạng thái trong của một máy phải hữu hạn)

- Γ: là bảng tín hiệu trên băng (hữu hạn)

- Σ: là bảng tín hiệu vào (hữu hạn), Σ ⊂ Γ

- Q: là tập trạng thái (trong) (hữu hạn)

- F: là hàm chuyển F: Q x Γ → Q x Γ x {L,R}

- q0: trạng thái ban đầu (q0 ∈ Q)

- t1: trạng thái kết thúc (t1 ∈ Q)

- B: ký tự trắng, B ∈ Γ, B ∉ Σ

Ý nghĩa:

- Σ là các tín hiệu vào để ghi input

- Γ là các tín hiệu đọc và ghi trên băng

Hàm chuyển F(q, a) = (q', a', D) có thể cho bằng bảng như sau:

Xâu a1a2 qai ak được gọi là một hình trạng của máy, trong đó các ak∈ Γ, q∈Q,

có nghĩa là đầu đọc-ghi đang đọc ô thứ i, tín hiệu đang được đọc là ai

Tại mỗi bước, máy ở trạng thái q, đầu đọc-ghi đọc tín hiệu ai tại ô trên băng,hình trạng của máy có dạng a1a2 ai-1qai ak Theo hàm chuyển F(q, ai) = (q', c, D), máy

sẽ chuyển sang trạng thái q', ghi c lên băng (thay cho ai), đầu đọc-ghi chuyển sang phảihay sang trái một ô tùy theo D là R hoặc L Ta nói rằng máy M chuyển từ hình trạng:

H = a1a2 ai-1qai ak

Các bài toán có thể có nhiều loại:

- Đoán nhận một tính chất của input

- Tính toán một giá trị

-

Chú ý: Hàm chuyển F có thể không xác định khắp nơi Máy sẽ dừng khi gặp

trạng thái t1 kết thúc (cho trả lời "yes") hoặc dừng ở trạng thái khác t1 (cho trả lời "no")hoặc gặp bộ (s, a) tại đó F(s, a) không xác định (cũng cho trả lời "no") Tuy nhiên cóthể làm cho hàm chuyển F trở thành xác định khắp nơi nếu thêm một trạng thái kết

thúc phủ định qp, và với mọi bộ (s, a) tại đó F(s, a) không xác định cho máy chuyểnsang trạng thái qp

F(s, a) = (qp, , )

Nếu không có gì khác thì ngầm định bảng tín hiệu vào là Σ = {0,1}, và chủ yếu

ta chỉ xét ví dụ trên các bài toán đoán nhận

Ký hiệu q0 là trạng thái đầu, t1 là trạng thái kết thúc khẳng định

Ví dụ: Máy Turing đoán nhận ngôn ngữ {x | x có độ dài chẵn}

q0 (q1, 0, R) (q1, 0, R) (t1, B, ' ')

q1 (q0, 0, R) (q0, 0, R) Với input 010110 ta có dãy hình trạng:

-(q0)010110 − 0(q1)10110 − 01(q0)0110 − 010(q1)110 −

0101(q0)10 − 01011(q1)0 − 010110(q0) − 010110(t1)

trạng thái cuối cùng là trạng thái kết thúc đoán nhận t1

1.1.3 Máy Turing không tất định (NTDM)

Định nghĩa như máy Turing tất định, trong đó hàm chuyển F là hàm đa trị nghĩalà F: Q x Σ → 2Q x Γ x {L,R}

Tại mỗi bước, có thể chuyển sang bước sau bằng một trong các khả năng tùytheo hàm chuyển F Nếu có một nhánh đoán nhận input x thì xem như máy đoán nhậninput đó

Giả sử F(s, a) = {(si1, ai1, Di1), (si2, ai2, Di2), , (sim, aim, Dim)} là một tập (có thểrỗng) Với hình trạng H với trạng thái s và tín hiệu a được đọc máy có thể chuyển đếnmột trong các hình trạng:

H − Hi1, H − Hi2, , H − Him

trong đó Hik có trạng thái sik và tín hiệu được ghi là aik

Có thể biểu diễn các bước làm việc của máy bằng hàng đợi hoặc bằng cây

Ví dụ:

q0

(q0,1,R)(q1,1,R)

1.2 Khái niệm thuật toán (algorithm)

Bài toán xử lý thông tin:

Input → Công cụ → OutputVới dữ liệu vào (input) công cụ sẽ tính toán và cho kết quả theo yêu cầu của bàitoán Nói chung ta phân biệt một số loại bài toán:

- Những bài toán đoán nhận một tính chất (xét số nguyên n có phải nguyên tốhay không, )

- Những bài toán tính giá trị một hàm

- Những bài toán tìm một lời giải (tìm đường đi trên đồ thị, tìm chu trìnhHamilton, )

Để giải quyết bài toán cần thuật toán Thuật toán là công cụ xử lý thông tin

1.2.1 Khái niệm

Một cách không hình thức thì thuật toán là việc mô tả một cách chính xác quátrình thực hiện trên các đối tượng để nhằm đạt được một kết quả nào đó theo một yêucầu cho trước

Cần chú ý đặc trưng hữu hạn trong thuật toán:

- Đối tượng hữu hạn, thao tác hữu hạn

- Cho kết quả qua một số hữu hạn bước.

Ta phân biệt hai loại thuật toán: tất định và không tất định Đối với thuật toán tấtđịnh tại mỗi thời điểm chỉ có không quá một bước tiếp theo Đối với thuật toán khôngtất định tại mỗi thời điểm có thể có một số khả năng để lựa chọn bước tiếp theo

Thông thường để mô tả thuật toán (tức là chỉ dẫn ở mỗi bước cần thực hiệnnhững công việc gì) ta dùng một văn bản hướng dẫn các bước, một sơ đồ khối, mộtngôn ngữ lập trình nào đó, hoặc một ngôn ngữ tựa Pascal,

1.2.2 Ví dụ về thuật toán

Ví dụ: Thuật toán sắp dãy số tăng bằng đổi chỗ trực tiếp

Input: n và dãy số n phần tử a1, a2, , an

Output: Dãy số a1, a2, , an được sắp xếp tăng

Sơ đồ khối:

1.2.3 Luận đề Church-Turing

Một vấn đề được đặt ra là: liệu có bài toán nào giải được bằng một cách nào đó(được biết cho đến nay) mà không thực hiện được trên máy Turing (hoặc trên các môhình thuật toán tương đương)?

Luận đề Church-Turing phát biểu như sau: những bài toán có thể giải được trênmột mô hình tính toán nào đó được biết cho đến nay đều có thể tính được trên máyTuring

S

k<nĐ

S

i = i+1i<nĐ

Đưa ra dãy số a1, , an

S

k = k+1

S

1.3 Độ phức tạp của thuật toán

Để đánh giá hiệu quả của một thuật toán, ta có thể đánh giá độ phức tạp củathuật toán về mặt thời gian, tức là thời gian máy tính làm việc và về không gian, tức làdung lượng bộ nhớ của máy tính cần thiết để thực hiện thuật toán Trong luận văn này,khi nói đến độ phức tạp của thuật toán ta luôn hiểu là độ phức tạp về thời gian

1.3.1 Độ phức tạp về thời gian

Thời gian làm việc của máy tính khi chạy một thuật toán nào đó không chỉ phụthuộc vào thuật toán, mà còn phụ thuộc vào máy tính được sử dụng Vì thế, để có mộttiêu chuẩn chung, ta sẽ đo độ phức tạp của một thuật toán bằng số các phép tính phảithực hiện Khi thực hiện cùng một thuật toán, số các phép tính phải thực hiện còn phụthuộc vào cỡ của bài toán, tức là độ lớn của đầu vào Vì thế, độ phức tạp của thuật toán

sẽ là một hàm số phụ thuộc độ lớn của đầu vào Trong những ứng dụng thực tiễn,chúng ta không cần biết chính xác hàm này, mà chỉ cần biết “cỡ” của chúng, tức là cần

có một ước lượng đủ tốt của chúng

Giả sử A là một thuật toán Ký hiệu T(X) là thời gian tính toán với đầu vào X.Độ phức tạp của thuật tính trong trường hợp xấu nhất:

T(n) = max {T(X), X có độ dài bằng n}

Nếu A là thuật toán không tất định, thì T(n) là độ dài dài nhất trong các nhánhlàm việc với đầu vào X

Trên thực tế còn xét đến độ phức tạp trong trường hợp trung bình:

∑T(X), X có độ dài bằng n

Ttb(n) =

số các dữ liệu có thể với độ dài n

Để ước lượng độ phức tạp của thuật toán, ta dùng khái niệm bậc O-lớn và bậcΘ(bậc Theta)

Giả sử f(n) và g(n) là hai hàm xác định trên tập hợp các số nguyên dương Ta nói f(n) có bậc O-lớn của g(n), và viết f(n) = O(g(n)) hoặc f = O(g), nếu tồn tại n0 và

hằng số dương C sao cho với mọi n ≥ n0 luôn có f(n) ≤ C.g(n).

Nếu tồn tại n0 và các hằng số dương C1 và C2 sao cho với mọi n ≥ n0 luôn có

1.3.2 Ví dụ cách tính độ phức tạp

Ví dụ 1: Thuật toán tìm kiếm nhị phân

Input: dãy số tăng a1, , an; số x

Output: trả lời x có thuộc dãy hay không

Dùng thuật toán đệ quy DQ(a, b) (tìm trên đoạn con [d, c])

1 Nếu d = c và a(c) = x return "yes"

2 c = (a + b)/2

3 Nếu a(c) = x return "yes"

4 Nếu x < a(c) thì gọi DQ(a, c-1) else gọi DQ(c+1, b)

Ví dụ 2: (tính độ phức tạp trung bình)

Máy Turing đoán nhận ngôn ngữ {X | X ∈ {0,1}* có ít nhất một chữ số 1}

Số dữ liệu có thể với độ dài n là s = 2n

Số các X không có chữ số 1 (không được đoán nhận) là 1 (duy nhất "00 0"),thời gian T(X) = n, tỷ lệ không đoán nhận là T0(n) = n/s

Với i ≤ n thì số các X (được đoán nhận) có X(i) = '1', và X(k) = '0' với k < i, là

2n-i, với thời gian T(X) = i

Tổng thời gian tính với các X này là:

CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN VÀ ĐỘ PHỨC TẠP CỦA BÀI TOÁN

2.1 Bài toán là gì?

Trong giới hạn của chúng ta, sẽ chỉ xem xét các bài toán là một vấn đề phù hợpvới tính toán của máy tính và một tập hợp các kết quả chính xác Vấn đề về tìm kiếmmột bản án thích đáng dành cho bị cáo không phải là bài toán vì nó phụ thuộc vào tưpháp và do đó nó không thích hợp cho việc xử lý của máy tính Mặt khác, vấn đề vềviệc dịch một văn bản tiếng Đức sang một ngôn ngữ khác thì phù hợp với việc xử lýcủa phép tính, nhưng trong trường hợp này không rõ các kết quả có chính xác haykhông Vì vậy vấn đề dịch thuật cũng không phải là một bài toán Một ví dụ rõ ràng về

một bài toán là việc tính toán con đường ngắn nhất từ đỉnh s đến đỉnh t trong một đồ thị

mà trong đó mỗi cạnh được gắn với một chi phí dương (chúng ta có thể diễn giải nhưkhoảng cách hay thời gian di chuyển)

Một bài toán được xác định bởi:

• Một mô tả tập hợp đầu vào được phép, mỗi một đầu vào có thể được thể hiệnnhư là một chuỗi hữu hạn trên một bảng chữ cái hữu hạn (tập hợp ký hiệu củamáy tính)

• Một phát biểu về các tính chất mà câu trả lời (hoặc giải pháp) cần phải thoảmãn

Thông thường bài toán được mô tả như trong ví dụ sau:

Đầu vào: Một số nguyên dương n

Câu hỏi: n có nguyên tố không?

Trong mỗi trường hợp, khi chúng ta tìm kiếm một trong nhiều câu trả lời chính

xác tiềm năng, chúng ta coi bài toán như là một bài toán tìm kiếm Nếu chúng ta tìm kiếm một giải pháp tối ưu về mặt nào đó, chúng ta coi bài toán đó như là một bài toán

tối ưu (ví dụ như trường hợp tìm kiếm một đường đi ngắn nhất) Thông thường, tính

toán giá trị của một giải pháp tối ưu là đủ (ví dụ, độ dài của một con đường ngắn nhất)

Những biến thể này được gọi là các bài toán đánh giá Bài toán đánh giá luôn luôn có

giải pháp duy nhất Trong trường hợp đặc biệt, khi câu trả lời có thể chỉ là 0 (không) và

1 (có) và chúng ta phải quyết định khả năng nào trong hai khả năng này là chính xác,

thì lúc đó chúng ta nói về một bài toán quyết định Các bài toán quyết định phát sinh tự

nhiên trong nhiều tình huống: Từ một cấu hình cho trước của một bàn cờ, liệu quân cờmàu trắng có một chiến lược giành chiến thắng không? Có phải con số đưa ra là một sốnguyên tố không? Có thể thoả mãn các điều kiện đã quy định không?

Các bài toán bao gồm tất cả các vấn đề có thể xử lý được bởi máy tính và chúng ta có thể phân biệt một cách rõ ràng giữa các giải pháp chính xác và không chính xác Trong số này có các bài toán tối ưu và các bài toán với các giải pháp duy nhất như các bài toán đánh giá và các bài toán quyết định Các định dạng đầu vào khác nhau cho cùng một “bài toán” sẽ đưa đến các bài toán khác nhau, nhưng thông thường những bài toán này về mặt thuật toán rất giống nhau.

2.2 Một số bài toán quan trọng

1) Các bài toán về người bán hàng

Bài toán người bán hàng (TSP): là bài toán tìm kiếm một chu trình ngắn nhất

qua n thành phố, mỗi thành phố đúng một lần và quay trở lại điểm xuất phát của nó Các thành phố được ký hiệu bằng các nhãn là 1, , n và các khoảng cách giữa các thành phố là d i,j (1 ≤ i, j ≤ n) Các khoảng cách được chọn từ tập ∪ {∞}, và giá trị ∞

có nghĩa là không có sự kết nối trực tiếp giữa hai thành phố cụ thể Mỗi chu trình là

một phép hoán vị π của {1, …, n}, do đó các thành phố đã đến được sắp xếp theo thứ tự

là π(1), π(2), …, π(n), π(1) Giá trị của một chu trình π được tính bởi:

dπ(1), π(2) + dπ(2), π(3) + … + dπ(n-1), π(n) + dπ(n), π(1)

và một chu trình có giá trị cực tiểu cần được tính toán Có nhiều biến thể đối với bàitoán này TSP (hoặc TSPOPT) là ký hiệu cho bài toán tối ưu nói chung TSPEVAL vàTSPDEC ký hiệu cho các bài toán ước lượng và bài toán quyết định có liên quan Đối vớibài toán quyết định, đầu vào bao gồm một giới hạn D và phải xác định có hay không

một chu trình có giá trị không vượt quá D Chúng ta cũng sẽ xem xét các biến thể bịgiới hạn sau đây:

• TSPSYM: các khoảng cách là đối xứng (di,j = dj,i)

• TSP∆: các khoảng cách thoả mãn bất đẳng thức tam giác, có nghĩa là di,j≤di,k+dk,j

• TSPd-Euclid: các thành phố là các điểm trong không gian Euclide d chiều Rd vàkhoảng cách tương ứng với khoảng cách Euclide (chuẩn L2)

• TSPN: các khoảng cách thuộc {1, …, N} (N là một số tự nhiên xác định)

• DHC (Chu trình Hamilton định hướng): khoảng cách thuộc {1, ∞}, và các địnhdạng đầu vào thông thường là một đồ thị định hướng chỉ chứa những cạnh cógiá trị bằng 1

• HC = DHCSYM: biến thể đối xứng của DHC, mà định dạng đầu vào thôngthường là một đồ thị vô hướng chỉ chứa những cạnh có giá trị bằng 1

2) Các bài toán về xếp ba lô

Làm thế nào để một hành khách thu xếp hành lý của mình trong giới hạn W∈

từ n đồ vật muốn mang theo với giả thiết rằng đồ vật thứ i (i = 1,n) có trọng lượng wi∈và có giá trị ui ∈ được gọi là bài toán xếp ba lô (KNAPSACK) Hành kháchkhông được phép mang các đồ vật có tổng trọng lượng vượt quá W Do hạn chế này,mục tiêu là tối đa hoá tổng giá trị của tất cả các đồ vật được chọn Ở đây, cũng có cácbiến thể mà trong đó các giá trị ui và/hoặc các trọng lượng wi đều bị chặn Trongtrường hợp tổng quát, các đồ vật có những giá trị khác nhau trên mỗi đơn vị trọnglượng

KNAPSACK* biểu thị trường hợp đặc biệt với ui = wi cho tất cả các đồ vật Mụctiêu chỉ là để đạt tới càng gần càng tốt giới hạn trọng lượng mà không bị vượt quá mứcquy định Hơn nữa, nếu W = (w1 + w2 + … + wn)/2, và chúng ta xem xét bài toán quyếtđịnh là liệu chúng ta có thể đạt được trọng lượng tối đa cho phép hay không, thì bàitoán sẽ tương đương với câu hỏi liệu tất cả các đồ vật có thể được chia thành hai nhóm

có tổng trọng lượng giống nhau không Trường hợp đặc biệt này được gọi là bài toán

phân hoạch (PARTITION).

3) Các bài toán về phân hoạch

Bài toán phân hoạch (PARTITION) cũng là một trường hợp đặc biệt của bài

toán đóng thùng (BINPACKING), trong đó các thùng có kích thước b có sẵn, chúng ta

phải đóng thùng n đồ vật với các kích cỡ u1, u2, , un vào càng ít thùng càng tốt Nhưng

chúng ta cũng có thể xem BINPACKING như là một trường hợp rất đặc biệt của bài

toán lập lịch Lớp của các bài toán lập lịch là gần như không thể đạt được về mặt tổng

quát Trong mỗi trường hợp, các nhiệm vụ phải được phân chia giữa con người hoặcmáy móc với những hạn chế ở các mặt khác nhau Không phải tất cả mọi người đềuthích hợp cho mọi nhiệm vụ, những người khác nhau có thể cần những khoảng thờigian khác nhau để hoàn thành cùng một nhiệm vụ, những nhiệm vụ nhất định có thểcần được hoàn thành theo một trình tự cụ thể, có thể xác định những thời điểm bắt đầusớm nhất hoặc những thời điểm hoàn thành chậm nhất (các thời hạn chót), và có thể sửdụng các điều kiện tối ưu khác nhau

4) Các bài toán giám sát (hoặc phủ)

Một bài toán giám sát điển hình là bài toán triển lãm nghệ thuật Yêu cầu đưa ralà giám sát tất cả các bức tường của một phòng triển lãm với càng ít máy quay càng tốt.Chúng ta sẽ hạn chế trong các bài toán giám sát trên các đồ thị vô hướng, trong trường

hợp đó chúng thường được gọi là các bài toán phủ Trong bài toán phủ đỉnh

(VERTEXCOVER), mỗi đỉnh sẽ theo dõi tất cả các cạnh liên quan tới nó, và tất cả các

cạnh được theo dõi với càng ít đỉnh càng tốt Trong bài toán phủ cạnh

(EDGECOVER), các vai trò đảo ngược lại: mỗi cạnh theo dõi hai đỉnh liên quan đến

nó, các đỉnh sẽ được giám sát với càng ít cạnh càng tốt

5) Các bài toán clique

Các đỉnh của đồ thị có thể được sử dụng để biểu diễn con người, các cạnh sẽ

biểu diễn mối quan hệ giữa mọi người Một clique được định nghĩa là một nhóm trong

đó mỗi người thích những người khác trong nhóm Trong bài toán phủ clique

(CLIQUECOVER), các đỉnh của một đồ thị phải được phân chia thành càng ít tập hợp

càng tốt, theo cách như vậy mỗi tập hợp tạo thành một clique Trong bài toán clique (ký hiệu là CLIQUE), một clique lớn nhất có thể sẽ được tính toán Một anti-clique

(“không ai thích ai cả”, giữa hai đỉnh bất kỳ không có một cạnh nào) được gọi là một

tập hợp độc lập, và bài toán tính toán một tập hợp độc lập lớn nhất được gọi là

INDEPENTSET

6) Các bài toán xây dựng nhóm

Xây dựng nhóm có nghĩa là phân chia những người với khả năng khác nhau vàocác nhóm hợp tác, trong đó các thành viên của mỗi nhóm phải làm việc cùng nhau Đốivới bài toán k-DM (đối sánh k chiều, nghĩa là xây dựng các nhóm có kích thước k),chúng ta có sẵn k nhóm người (mỗi nhóm đại diện cho một trong k khả năng), và danhsách các nhóm k thành viên tiềm năng, trong đó mỗi người đến từ các nhóm khả năng.Mục đích là để hình thành nên càng nhiều nhóm càng tốt với hạn chế là mỗi người chỉ

có thể được tham gia vào một nhóm 2-DM cũng được biết đến như là bài toán hôn

nhân: hai “khả năng” được hiểu như là hai giới tính, một nhóm có tiềm năng được xem

như là một cuộc “hôn nhân bền vững”, và mục tiêu là tối đa hoá số lượng các cuộc hônnhân bền vững

7) Các bài toán luồng tối ưu trong các mạng

Trong bài toán luồng qua mạng (NETWORKFLOW), người ta tìm kiếm các

luồng tối đa trong các mạng Chúng ta chỉ quan tâm đến bài toán cơ bản mà trong đó

chúng ta tìm kiếm để tối đa hoá luồng từ s đến t trong một đồ thị có hướng Luồng f(e) chạy theo một cạnh e phải là số nguyên không âm bị chặn trên bởi khả năng c(e) của

cạnh đó Luồng tổng đạt đến một đỉnh v ∉ {s, t}, nghĩa là tổng số f(e) với e = (., v) phải

bằng luồng tổng rời khỏi v, tức là tổng số f(e) với e = {v, } Đỉnh nguồn s không có bất

kỳ cạnh nào đi vào và đỉnh đích t không có bất kỳ cạnh nào đi qua.

8) Các bài toán vô địch trong các giải đấu thể thao

Bài toán vô địch (CHAMPIONSHIP) cơ bản là một bài toán quyết định Một cổ

động viên tự hỏi tại một thời điểm cụ thể trong mùa giải liệu có thể (ít nhất là về mặt lýthuyết) đội bóng yêu thích của mình sẽ vô địch trong giải đấu được không Cho biếtxếp hạng hiện tại của mỗi đội chơi và có một danh sách các trận đấu còn được chơi.Đội được chọn có thể trở thành nhà vô địch nếu có kết quả tiềm năng của các các trậnđấu còn lại sao cho đến cuối giải không đội nào khác có nhiều điểm hơn (nếu cần thiết,đội chơi có thể cũng cần phải có hiệu số bàn thắng thua tốt nhất) Ngoài ra, một trongnhững quy tắc sau đây phải chỉ rõ bao nhiêu điểm đạt được trong mỗi trận đấu:

• Quy tắc a-điểm: Sau mỗi trận đấu, a điểm được tính (a ∈ ), và mỗi phân chia

a thành b điểm cho đội chơi 1 và a – b điểm dành cho đội chơi 2 với 0 ≤ b ≤ a và

9) Các bài toán xác minh

Đối với lớp của các bài toán xác minh, chúng ta đề cập tới lĩnh vực phần cứng

Bài toán cơ bản là liệu đặc tả S và nhận dạng R của một chíp có mô tả cùng một hàm

số Boolean không Tức là, chúng ta có các mô tả S và R của các hàm Boolean f và g và

tự hỏi liệu f(a) = g(a) với tất cả các yếu tố đầu vào a không Vì chúng ta thực hiện cácthao tác bit xác minh, có thể giả sử rằng f, g: {0, 1}n → {0, 1} Tính chất f ≠ g tươngđương với tồn tại một a mà (f ⊕ g)(a) = 1 (⊕ = XOR) Vì vậy, chúng ta đặt ra câu hỏi

liệu h = f ⊕ g có thể thoả được không, tức là liệu h có thể cho ra giá trị 1 không Bài

toán quyết định này được gọi là bài toán thoả được.

• SATCIR: đầu vào được biểu diễn như một mạch logic

• SAT = CNF-SAT = SATCNF: đầu vào được biểu diễn như một hội của các mệnh

đề (là tuyển của các literal), nghĩa là ở dạng chuẩn tắc hội

• DNF-SAT = SATDNF: đầu vào được biểu diễn như là một tuyển của các đơn thức(là hội của các literal), nghĩa là ở dạng chuẩn tắc tuyển

10)Các bài toán lý thuyết số

Mật mã học hiện đại có kết nối chặt chẽ với các bài toán lý thuyết số, trong đócác số rất lớn được sử dụng Đã từng được học trong trường, hầu hết chúng ta học thuậttoán về cộng các phân số đòi hỏi chúng ta phải tính toán mẫu số chung và để làm được

điều đó, chúng ta sẽ phân chia các mẫu số thành các thừa số nguyên tố Đây là bài toán

tạo thừa số nguyên tố (FACT).

2.3 Độ phức tạp của bài toán

Đối với một bài toán có rất nhiều thuật toán để giải Ta ký hiệu:

TA(n) = max {T(X), X đầu vào có độ dài n}

là độ phức tạp của thuật toán A

Độ phức tạp của bài toán B được định nghĩa như sau:

TB(n) = inf {TA(n), A là thuật toán giải bải toán B}

Rất khó tính được TB(n), mà thường chỉ biết được cận dưới và cận trên của

TB(n) Nếu ta xây dựng được một thuật toán A giải bài toán B thì TB(n) ≤ TA(n), cónghĩa là độ phức tạp của bài toán B nhỏ hơn hoặc bằng độ phức tạp của thuật toán A(một cận trên) Để chứng tỏ TB(n) ≥ f(n) (một cận dưới) thì ta phải chứng minh rằng bất

kỳ thuật toán A nào giải bài toán B cũng đều có độ phức tạp lớn hơn hoặc bằng f(n)