Một số thuật toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ --- NGÔ XUÂN PHƯƠNG MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM ĐIỂM CHUNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ TẬP ĐIỂ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ

-

NGÔ XUÂN PHƯƠNG

MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM ĐIỂM CHUNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Cơ sở toán học cho tin học

Mã số: 9460110

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2018

Công trình được hoàn thành tại:

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ

BỘ QUỐC PHÒNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 PGS.TS Phạm Ngọc Anh

2 TS Nguyễn Mạnh Linh

Phản biện 1: GS TS Lê Dũng Mưu

Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Bá Minh

Trường Đại học Thương mại

Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Viện tại Viện Khoa học và Công nghệ Quân sự Vào hồi giờ ngày tháng năm 2018

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Viện Khoa học và Công nghệ Quân sự

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

Tính cấp thiết của đề tài:

Cho C là một tập con đóng khác rỗng của một không gian Hilbertthực H và một ánh xạ F : C → H, bài toán bất đẳng thức biến phân,được viết tắt bởi V I(F, C), có dạng:

Ánh xạ F thường được gọi là ánh xạ giá của bài toán V I(F, C) Dễ thấy

nó bao hàm được nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khácnhau, chẳng hạn như bài toán bù phi tuyến, bài toán tối ưu lồi khả vi, môhình cân bằng mạng giao thông, v.v; nó hợp nhất các bài toán này theomột phương pháp nghiên cứu chung rất tiện lợi

Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vàonăm 1966 bởi Hartman và Stampacchia Những nghiên cứu đầu tiên vềbất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các bài toán bù phi tuyến,bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng phương trình đạohàm riêng Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạnchiều và các ứng dụng của nó được giới thiệu trong cuốn sách “An intro-duction to variational inequalities and their applications” của Kinderlehrer

và Stampacchia xuất bản năm 1980 và trong cuốn sách “Variational andquasivarational inequalities: Application to free boundary problems” củaBaiocchi và Capelo xuất bản năm 1984 Năm 1979, Michael J Smith đưa

ra bài toán cân bằng mạng giao thông và năm 1980 Defermos chỉ ra rằng:Điểm cân bằng của bài toán này là nghiệm của bài toán bất đẳng thức

biến phân Từ đó, bài toán bất đẳng thức biến phân được phát triển vàtrở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài toán cânbằng trong kinh tế, vận tải, lý thuyết trò chơi và nhiều mô hình toán khác.Chính điều đó mà bài toán bất đẳng thức biến phân được nhiều người quantâm nghiên cứu cả về các hướng tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm vàcác thuật toán giải

Thông thường các phương pháp giải bài toán tìm một điểm chung củatập nghiệm các bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động củacác ánh xạ không giãn nói riêng hoặc các ánh xạ nói chung trong khônggian Hilbert H, được xấp xỉ qua các phương pháp giải trong không giãn

động chung của các ánh xạ, hoặc các phương pháp tìm nghiệm chung củacác bài toán bất đẳng thức biên phân Theo hiểu biết của chúng tôi, một

số phương pháp tiếp cận chính đề xuất các thuật toán thường gặp để giảibài toán tìm nghiệm chung của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biếnphân và tập điểm bất động được chia ra các loại như sau:

- Loại thứ nhất là kết hợp giữa phương pháp một phép chiếu và phươngpháp lặp Mann

- Loại thứ hai là kết hợp giữa phương pháp một phép chiếu và phương pháplặp Halpern

- Loại thứ ba là phương pháp lặp ẩn

Trên cơ sở các thuật toán để giải bài toán tìm điểm chung của tậpnghiệm các bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động củacác ánh xạ không giãn, một vấn đề đặt ra là cần xây dựng các thuật toánmới với mục tiêu không chỉ mở rộng và cải tiến mà cần tính toán hiệu quảtrên máy tính các phương pháp đã có để giải bài toán này Đặc biệt là cácbài toán có các giả thiết nhẹ hơn tính đơn điệu và liên tục Lipschitz củacác ánh xạ giá, như giả đơn điệu, tựa đơn điệu, thậm chí không đơn điệu

và lớp các ánh xạ mở rộng của ánh xạ không giãn như ánh xạ giả co chặt,

ánh xạ tựa không giãn Rất nhiều các thuật toán đề xuất, rất khó có thểcho ta biết tính hiệu quả thực sự với các ứng dụng vào các mô hình thực tếvới các tính toán cụ thể Vì vậy, chúng tôi chọn những vấn đề trên để làm

đề tài của luận án: "Một số thuật toán tìm điểm chung của tập nghiệm bàitoán bất đẳng thức phân và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn"

Bố cục của luận án:

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình khoa học của tácgiả liên quan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4chương:

• Chương 1 Bất đẳng thức biến phân và ánh xạ không giãn

• Chương 2 Phương pháp điểm bất động

• Chương 3 Thuật toán đạo hàm tăng cường mở rộng

• Chương 4 Thuật toán một phép chiếu

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 04 bài báo Cụ thể,

có 02 bài đã được xuất bản trong các tạp chí quốc tế có uy tín trong danhmục xếp hạng ISI và SCOPUS, và 02 bài đã được gửi đăng Các kết quả

đã được báo cáo tại:

• Hội thảo Việt Nam-Hàn Quốc, Đà Nẵng, 2017;

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 12, Ba Vì, 2016;

• Hội nghị Toán ứng dụng toàn quốc, Trường Đại học Kinh tế Quốcdân, 2015;

• Hội nghị toán ứng dụng miền Trung và Tây nguyên, 2015;

• Xêmina của Lab Toán ứng dụng và Tính toán, Học viện Công nghệBưu chính Viễn thông;

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h·, ·i và chuẩn

mọi u ∈ H) khi k → ∞

Cho C 6= ∅, C ⊂ H Ánh xạ S : C → H được gọi là nửa đóng tại 0,

Định nghĩa 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H và

F : C → H là một ánh xạ đơn trị Bài toán bất đẳng thức biến phân xácđịnh bởi C và F , được ký hiệu bởi V I(F, C), là bài toán tìm một véc tơ

Tập nghiệm của bài toán được ký hiệu bởi Sol(C, F ) Ánh xạ F thườngđược gọi là ánh xạ giá

biến phân V I(F, C) khi và chỉ khi

x∗ = P rC(x∗ − λF (x∗)),

trong đó λ là một hằng số dương bất kỳ

Cho C là một tập con khác rỗng của H Ánh xạ S : C → C được gọi

là giả co chặt, nếu tồn tại hằng số L ∈ [0, 1) sao cho

không giãn trên C Tập các điểm bất động của S được ký hiệu bởi F ix(S),nghĩa là

F ix(S) := {x ∈ C : S(x) = x}

Ánh xạ S được gọi là tựa giả co chặt, nếu tồn tại L ∈ [0, 1) sao cho

Trong trường hợp L = 0, ánh xạ S được gọi là ánh xạ tựa không giãn trên

C Như vậy, ánh xạ giả co chặt và ánh xạ tựa không giãn trên C là mộtdạng mở rộng của ánh xạ không giãn

phân và ánh xạ không giãn

nó, ánh xạ không giãn và các dạng ánh xạ không giãn mở rộng như ánh

xạ giả co chặt, ánh xạ tựa không giãn Đồng thời trình bày một số bổ đề

sẽ được dùng cho các chương sau và các phương pháp cơ bản giải bài toántìm nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểmbất động của ánh xạ không giãn, làm cơ sở xây dựng các thuật toán mớitrong các chương sau

Chương 2 THUẬT TOÁN CHIẾU ARMIJO

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một thuật toán lặp mới, được

gọi là thuật toán chiếu-Armijo, để giải bài toán tìm một điểm chung của

tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) và tập

tích và chứng minh chi tiết với giả thiết ánh xạ giá F giả đơn điệu và không

cần đơn điệu mạnh ngược Các kết quả tính toán được áp dụng cho một

ví dụ minh họa về mô hình cân bằng Walrasian được lấy ra từ ví dụ của

Mathiesen Các kết quả này được lấy từ công trình [1]

Ngược lại, chuyển tới Bước 2

Bước 2: Tìm một số nguyên không âm nhỏ nhất m sao cho

không phải là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) hay

(i) Tồn tại một số nguyên dương nhỏ nhất m;

(ii) hF (tk), xk − tki > 0 với mọi k ∈ N

sau:

(i) F là giả đơn điệu trên C;

(ii) F là liên tục trên C;

(iii) ∩pi=1F ix(Si) ∩ Sol(C, F ) 6= ∅

k→∞P r∩p

i=1 Fix(Si,C)∩Sol(C,F )(xk)

Để minh họa Thuật toán 2.1, ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân

C = {(x1, x2, x3)T ∈ R3+ : x1 + x2 + x3 = 1, x1 − x2 − x3 ≤ 0, x1 ≥ 0.1, x2 ≥ 0.1},

Khi đó, ánh xạ giá F là giả đơn điệu và không đơn điệu trên C.

lặp là (see Table 1):

cách chọn các tham số chính qui trong thuật toán phù hợp, chúng tôi đã

của chương trình bày một ví dụ minh họa của các thuật toán mới với sốliệu tính toán cụ thể trên phần mềm Matlab

Chương 3 THUẬT TOÁN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG MỞ RỘNG

Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H và các ánh xạ giá

một ánh xạ tựa không giãn S như sau:

i∈I

các điều kiện sau:

Bổ đề 3.1 Cho F : H → H là giả đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng

số L > 0 trên C, τ > 0 và Sol(C, F ) 6= ∅ Cho x ∈ H, đặt

Thuật toán 3.1

Bước 1: Với i ∈ I, tính toán song song các hình chiếu:

Định lý 3.1 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H Giả sử

thức biến phân tương đối được xét lần đầu tiên bởi Censor và đồng nghiệp

có dạng:

đẳng thức biến phân:

Với mỗi i ∈ I, bài toán tìm một điểm chung của một họ hữu hạn các

Ký hiệu Sol(V I) là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

bài toán (3.3) Mục đích của phần này là đề xuất thuật toán mới để giảibài toán tìm một nghiệm chung của hai bài toán (3.2) và (3.3) Chi tiết,bài toán được phát biểu dưới dạng:

(iv) Sol(V I) ∩ Sol(F ix) 6= ∅

Thuật toán 3.2

Bổ đề 3.4 Giả sử rằng giả thiết 3.1 được thỏa mãn (không cần thiết đơn

ktki−x∗k2 ≤ kxk−x∗k2−(1−αk,i)(1−λk,iLi)kxk−yikk2−(1−αk,i)(1−λk,iLi)kyik−zikk2

được xác định bởi Thuật toán 3.2 Khi đó, ta có

các điều kiện sau:

y ∈ C

S1(x) := x, S2(x) := 1

2

3.

Bảng 3.2: Thuật toán 3.2 với các tham số khác nhau được chọn dựa trên

điều kiện: a = 13, c = 16, 0 < αk,i ≤ 1

6 < λk,i < 13, 0 < lim inf γk,i ≤ γk,i ≤ 1

Một bài toán mới được xét trong chương này là bài toán tìm một điểmchung của tập nghiệm một họ hữu hạn các bài toán bất đẳng thức biếnphân và tập điểm bất đông của một họ các ánh xạ không giãn với các miềnràng buộc khác nhau Bằng cách kết hợp kỹ thuật lặp điểm bất động Mann

và phương pháp đạo hàm tăng cường, chúng tôi đã đề xuất một thuật toánlặp mới để giải bài toán này Đầu tiên, ta sử dụng phương pháp đạo hàmtằng cường cho một họ hữu hạn các bài toán bất đẳng thức biến phân và

kỹ thuật lặp Mann áp dụng cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn.Tiếp theo, nếu điểm lặp hiện tại không là điểm chung cần tìm, ta xây dựngcác nửa không gian thích hợp tách các điểm lặp hiện tại khỏi tập nghiệmchung Khi đó, điểm lặp tiếp theo được xây dựng là hình chiếu của điểmlặp ban đầu lên giao của các nửa không gian chứa tập nghiệm Bằng cáchxây dựng này, nếu dãy lặp không dừng tại một bước lặp, thì dãy lặp sẽhội tới một nghiệm chung Hơn nữa, điểm lặp chung này là hình chiếu củađiểm xuất phát tới tập nghiệm chung Bằng cách chọn các tham số phùhợp, sự hội tụ của thuật toán đề xuất chỉ đòi hỏi giả thiết giả đơn điệu vàliên tục Lipschitz các ánh xạ giá và tính không giãn của các ánh xạ điểmbất động

Chương 4 THUẬT TOÁN MỘT PHÉP CHIẾU

Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của một không gian Hilbertthực H, ánh xạ F : C → H và một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn

nghiệm chung của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F )

Cụ thể,

i∈I

Để giải Bài toán (4.1), ta giả thiết rằng ánh xạ giá F , các ánh xạ

F liên tục, và giả đơn điệu trên C ứng với mọi nghiệm của Bài toán(4.1) và thỏa mãn tính chất tiền đơn điệu chặt, hay

{x ∈ Sol(C, F ), y ∈ C, hF (y), x − yi = 0} ⇒ y ∈ Sol(C, F );

i∈I

Thuật toán một phép chiếu được viết chi tiết dưới dạng sau

Thuật toán 4.1 (Thuật toán một phép chiếu)

lim inf

k→∞ kxk − ¯xk < lim inf

được thỏa mãn Khi đó,

Định lý 4.1 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H Giả sử các

Bảng 4.1: Kết quả của Thuật toán 4.1 với các sai số và điểm khởi tạo khácnhau.

Từ các kết qủa tính toán trên, ta có nhận xét sau:

(a) Như các phương pháp khác để giải bài toán bất đẳng thức biến phânnhư phương pháp điểm gần kề, phương pháp đạo hàm tăng cường,

phương pháp hàm khoảng cách, tốc độ tính toán của thuật toán 4.1

kỹ thuật tính toán song song Thuật toán một chiếu khá đơn giản, tại mỗibước lặp k, thuật toán chỉ đòi hỏi tính toán một phép chiếu và sự hội tụcủa dãy lặp chỉ đòi hỏi giả thiết giả đơn điệu không cần liên tục Lipschitzcủa ánh xạ giá Cuối chương trình bày kết quả tính toán minh họa sự hộicủa thuật toán một phép chiếu

KẾT LUẬN

Luận án đã đạt được các kết quả sau:

1 Ánh xạ giả co chặt là một dạng ánh xạ không giãn mở rộng Chúngtôi xét bài toán tìm một điểm chung của tập nghiệm bài toán bất đẳngthức biến phân V I(C, F ) và một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong

là, bằng cách chọn các tham số chính qui phù hợp, sự hội tụ của các dãylặp trong thuật toán đề xuất được chứng minh dưới các giả thiết giả đơnđiệu của ánh xạ F Khi đó, điểm tụ của các dãy lặp là giới hạn của hìnhchiếu điểm lặp trong dãy lên tập nghiệm nghiệm chung

2 Nghiên cứu mở rộng thuật toán đạo hàm tăng cường đã được ápdụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân, chúng tôi đề xuất hai thuậttoán mới cho bài toán bất đẳng thức và bài toán điểm bất động trong mộtkhông gian Hilbert thực H Thuật toán thứ nhất được xây dựng dựa trênphương pháp đạo hàm tăng cường kết hợp với kỹ thuật tính toán song song

để giải bài toán tìm một điểm chung của tập nghiệm các bài toán bất đẳngthức biến phân và tập điểm bất động của một ánh xạ tựa không giãn, vàđược gọi là thuật toán đạo hàm tăng cường song song Thuật toán thứ hai,

áp dụng giải bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm một hệ hữu hạn cácbài toán bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động chungcủa một hệ hữu hạn các ánh xạ không giãn với các miền ràng buộc khácnhau, được gọi là thuật toán đạo hàm tăng cường xấp xỉ Mann Bằng cáchchọn các tham số chính qui phù hợp, tính chất hội tụ mạnh của các dãylặp đề xuất tới một nghiệm chung được phân tích và chứng minh trongmột không gian Hilbert thực H

3 Nghiên cứu đề xuất thuật toán một phép chiếu để giải bài toán tìmđiểm chung của tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân

V I(C, F ) và tập điểm bất động của một họ hữu hạn các ánh xạ không

một thuật toán lặp mới Tại mỗi bước lặp k, thuật toán chỉ đòi hỏi tínhtoán một phép chiếu của một điểm lên tập chấp nhận được Vì vậy, so sánhvới các thuật toán hiện nay, thuật toán một phép chiếu là khá đơn giản

và hữu hiệu khi thực hiện tính toán trên máy tính với miền chấp nhận C

có cấu trúc quen thuộc như hình cầu, hình hộp, thậm chí là một đa diệnvới phân mềm Matlab Hơn nữa, dưới các điều kiện trên các tham số, sựhội tụ yếu của dãy lặp chỉ đòi hỏi giả thiết giả đơn điệu không cần liên tụcLipschitz của ánh xạ giá Cuối chương trình bày kết quả tính toán minhhọa sự hội của thuật toán một phép chiếu

Xây dựng một số phần mềm mô phỏng các thuật toán trên với các ví

dụ cụ thể để minh họa các kết quả của luận án

Hướng nghiên cứu tiếp theo:

a Mở rộng các thuật toán trong luận án để nghiên cứu giải bài toántìm điểm bất động chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tậpđiểm bất động của các ánh xạ không giãn

b Nghiên cứu sai số và đánh giá tốc độ hội của các thuật toán trongluận án là cần thiết và sẽ được đề xuất

c Các thuật toán đạo hàm tăng cường mở rộng cần hai phép chiếu vàchứng minh sự hội tụ yếu của các dãy lặp dưới các giả thiết đơn điệu vàliên tục Lipschitz của ánh xạ giá Vẫn dưới các giả thiết này, chỉ với mộtphép chiếu để giải bài toán tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến vàbài toán điểm bất động sẽ được nghiên cứu mở rộng