Đề thi thử môn toán 2016 trường thpt chuyên lào cai lần 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh b ng 2a.. Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA và BD.. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm... Mà SM CD nên CD SMN.

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI

T TOÁN – TIN –––––––

THI TH THPT QU C GIA L N 1

N M H C 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN

Th i gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (2.0 đi m) Cho hàm s 3 2

yx  x  a) Kh o sát s bi n thiên và và v đ th (C) c a hàm s đã cho

b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) bi t ti p tuy n song song v i đ ng th ng

24x  y 5 0

Câu 2 (1,0 đi m) Gi i ph ng trình sinx2sinx 1 cosx2 cosx 3

C âu 3 (1,0 đi m) Cho s ph c z th a mãn h th c   2  

i



ph c w z i

Câu 4 (1.0 đi m) Trong c m thi xét công nh n t t nghi p THPT thí sinh phái thi 4 môn trong

đó có 3 môn bu c Toán, V n Ngo i ng và 1 môn do thi tinh t ch n trong s các môn: V t li Hóa h c Sinh h c, L ch s v a lý M t tr ng THPT có 90 h c sinh đ ng ki d thi trong đó

30 h c sinh ch n m n V t l v 20 h c sinh ch n môn Hóa h c Ch n ng u nhiên 3 h c sinh b t

k c a tr ng đó Tính x c su t đ trong 3 h c sinh đó luôn có c h c sinh ch n môn V t lí và

h c sinh ch n môn Hóa h c

Câu 5 (1,0 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh b ng 2a Hình

chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (ABCD) là trung đi m H c a c nh AB Góc gi a m t

ph ng (SCD) và m t ph ng (ABCD) b ng 60o Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA và BD

Câu 6 (1,0 đi m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho m t c u

    2  2 2

x y z

m t ph ng (P) đi qua M(4;3;4), song song v i đ ng th ng ∆ và ti p xúc v i m t c u (S)

Câu 7 (1,0 đi m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình vuông ABCD có đ nh C thu c đ ng

th ng d: x + 2y – 6 = 0, đi m M(1;1) thu c c nh BD Bi t r ng hình chi u vuông góc c a đi m

M trên c nh AB và AD đ u n m trên đ ng th ng ∆: x + y – 1 = 0 Tìm t a đ đ nh C

Câu 9 (1,0 đi m) Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn  2 2 2  

5 x y z 9 xy2yzzx Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

1 x

P

H t

Thí sinh không đ c s d ng tài li u Cán b coi thi không gi i thích gì thêm

ÁP ÁN Câu 1

a) yx33x22

+TX : D =

+S bi n thiên:

–Chi u bi n thiên:

2

y  x  x; y’ = 0 x = 0 ho c x = 2

Các kho ng đ ng bi n: (–∞;0) và (2;+∞); kho ng ngh ch bi n (0;2)

–C c tr : Hàm s đ t c c đ i t i x = 0; yC = 2; đ t c c ti u t i x = 2; yCT = –2

–Gi i h n t i vô c c: lim ; lim

+B ng bi n thiên

y

+ th

b) Ta có: y'3x26x

Ph ng trình ti p tuy n v i đ th (C) t i đi m M(a;b) (C) có d ng

y a  a x a b d

ng th ng (d) song song v i đ ng th ng y = 24x – 5 nên suy ra

3a 6a24a 2a 8 0 a = 4 ho c a = –2

Th l i:

a = 4 M(4;18); (d): y = 24x – 78 (th a mãn)

a = –2 M(–2;–18); (d): y = 24x + 30 (th a mãn)

V y ph ng trình ti p tuy n c n tìm là y = 24x – 78 và y = 24x + 30

Câu 2

sin 2 sin 1 cos 2 cos 3

2 sin sin 2 cos 3 cos

sin 3 cos 2 cos sin

sin cos cos 2

3

5

6

5

6

5

6





   



 



5

2 6

5

2 18

   



 



V y

5

2 6

5

2 18

   







(k )

G i z = a + bi (a, b )

Suy ra z  a bi

Ta có:

2

2

1

1

4

5

i

i

i i

a

b







 





  



V y môđun c a s ph c w là  2 1 2 26

1

w      

Câu 4

G i A là bi n c “Trong 3 h c sinh đ c ch n có c h c sinh ch n môn V t lí và h c sinh ch n môn Hóa h c.”

+Tính s ph n t c a không gian m u:

S cách ch n 3 h c sinh t 90 h c sinh là 3

90

C

+Tính s k t qu có l i cho A:

–TH1: Trong 3 h c sinh đ c ch n, ch có 1 h c sinh ch n môn V t lí và 1 h c sinh ch n môn Hóa h c:

S cách ch n h c sinh ch n môn V t lí: 1

30

C

S cách ch n h c sinh ch n môn Hóa h c: 1

20

C

S cách ch n h c sinh còn l i (không ch n V t lí hay Hóa h c): 1

40

C

Theo quy t c nhân, s h c sinh TH này là: 1 1 1

30 20 40

C C C

–TH2: Có 2 h c sinh ch n môn V t lí, 1 h c sinh ch n môn Hóa h c

S cách ch n 2 h c sinh ch n V t lí: 2

30

C

S cách ch n 1 h c sinh ch n Hóa h c: 1

20

C

Theo quy t c nhân, s h c sinh TH này là: 2 1

30 20

C C

–TH3: Có 2 h c sinh ch n môn Hóa h c 1 h c sinh ch n môn V t lí

S cách ch n 2 h c sinh ch n Hóa h c: 2

20

C

S cách ch n 1 h c sinh ch n V t lí: 1

30

C

Theo quy t c nhân, s h c sinh TH này là: 2 1

20 30

C C

Theo quy t c c ng, s cách ch n b 3 h c sinh sao cho luôn có c h c sinh ch n môn V t lí và

h c sinh ch n môn Hóa h c là 1 1 1 2 1 2 1

30 20 40 30 20 20 30 38400

C C C C C C C 

Xác su t c n tính là: 3

90

38400 320

979

A

P C

Câu 5

+Tính th tích

G i N là trung đi m CD

Ta có SM (ABCD) nên (SMN) (ABCD)

MN // BC MN CD Mà SM CD nên CD (SMN)

Mà CD  (SCD) nên (SCD) (SMN)

V y m t ph ng (SMN) cùng vuông góc v i (ABCD) và (SCD)

(SMN)  (ABCD) = MN; (SMN)  (SCD) = SN

Góc gi a (SCD) và (ABCD) là SNM  60

Vì MNCB là hình ch nh t nên MN = BC = 2a

Tam giác SMN vuông t i M:

.tan 60 2 3

a

+Tính kho ng cách:

Qua A k đ ng th ng song song BD H là hình chi u vuông góc c a M trên đ ng th ng đó

V MI SH t i I

Vì AH  (SAH) nên BD // (SAH)

Do đó d(BD; SA) = d(BD; (SAH)) = d(B; (SAH)) = 2 d(M; (SAH))

Vì SM AH, MH AH nên (SMH) AH

Suy ra MI AH Mà MI SH nên MI (SAH)

Suy ra d(M; (SAH)) = MI

Tam giác AHM vuông cân t i H nên

Tam giác SMH vuông t i M:

5

; D 2

5

a MI

a

Câu 6

G i vect pháp tuy n c a (P) là n a b c  ; ; 

ng th ng ∆ có vect ch ph ng u  3; 2; 2, đi qua đi m N(6;2;2)

∆ // P 0 3 2 2 0 3

2

a

2

a

P a x b y  b z 

M t c u (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = 3

M t ph ng (P) ti p xúc v i m t c u (S) khi và ch khi

 

2

3

2

3 3

2

I P

a

a



Ch n b = 1 thì a = 1 ho c a = 2

a = 1 (P): 2x + 2y + z – 18 = 0 (lo i vì N (P) ∆  (P))

a = 2 (P): 2x + y + 2z – 19 = 0 (th a mãn ∆ // (P))

V y ph ng trình m t ph ng c n tìm là 2x + y + 2z – 19 = 0

Câu 7

G i H, K l n l t là hình chi u vuông góc c a M trên AB, AD

KM c t BC t i F, CM c t KH t i E

Tam giác KMD vuông t i K có góc MKD b ng 45onên là tam giác vuông cân

Suy ra KM = KD

KDCF là hình ch nh t nên KD = FC KM = FC (1)

Tam giác MBF vuông cân t i F nên MF = BF

MFBH là hình ch nh t nên BF = MH MF = MH (2)

T (1) và (2) suy ra ∆ MKH = ∆ MCF (hai tam giác vuông có 2 c nh góc vuông t ng ng b ng nhau)

90

Suy ra ∆ MKE vuông t i E MC HK

ng th ng HK có vect pháp tuy n nHK  1;1 uHK 1; 1 

Ph ng trình đ ng th ng MC đi qua M(1;1) và nh n uHK 1; 1  làm vect pháp tuy n:

(MC): x – y = 0

T a đ c a C là nghi m c a h :

 

0

2; 2

x y

C

 





   



V y t a đ đi m C là (2;2)

Câu 8

x x  x  x  x  (1)

K: x ≥ –1

t a  2x3;b x1 a1,b0, (1) tr thành

a – b – 1 = 0 (2) ho c 1 – ab = 0 ho c 1 0 (I)

a b ab

  



  

1 0 (II)

a b ab

  



  



Gi i (2):

x = –1 ho c x = 3 (th a mãn)

Gi i (3):

1 2x 5x  3 0 2x 5x  2 0

1

2

x

   (th a mãn) ho c x = –2 (lo i)

Gi i (I):

2

2

1

2

x

 

   



(lo i)

Gi i (II):

2

2

1

2

2

x

x

x

 



(TM K)

V y nghi m c a BPT (1) là x = –1 và 1 3

2 x

  

Câu 9

t t = y + z, t ≥ 0, ta có các b t đ ng th c sau:

;

Do đó t đi u ki n đ bài suy ra:

         

2

 

Do đó:

27 2

2

P

t

27

f t

  trên (0;+∞)

6

f   

  B ng bi n thiên:

x

C n c b ng biên thiên, ta có f(t) ≤ 16 t (0;+∞)

Suy ra P ≤ 16

D u b ng x y ra  

1 3 2

1 1

12 6

y z

y z









V y giá tr l n nh t c a P là 16