giải chi tiết 20 đề ôn cuối kì

Các em có thể làm đơn giản bài toán ngay từ đầu bằng cách: Nhận xét S đối xứng qua oyz và hàm xy,z=y chẵn theo x và xy,z=2x lẻ theo x nên ta có: Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị đưa về

ĐỀ 11:

Câu 1: Vẽ khối  giới hạn bởi x2y2z2 2y, y x2z2

Câu 2: Trên mặt phẳng x y 2z0 tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó

3

06

27)

1(

)23)(

13

khi n, chuỗi phân kỳ

Câu 4: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

0.5 1 1.5 2

x y

Câu 6: Tính tích phân bội ba  

Đổi sang toạ độ trụ:

y D

S1: phía trước mp(0yz) 2

x zy và pháp vecto tạo với ox góc tù

S2: phía trước mp(0yz) 2

x  zy và pháp vecto tạo với ox góc nhọn

Các em có thể làm đơn giản bài toán ngay từ đầu bằng cách:

Nhận xét S đối xứng qua oyz và hàm x(y,z)=y chẵn theo x và x(y,z)=2x lẻ theo x nên ta có:

Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị đưa về tích phân đường loại 1

Cách 3: Thêm vào phần mặt z=4 rồi dùng công thức O-G

Cách 2 và 3 nhanh và hay hơn cách 1 Các em tự làm 2 cách sau nhé (dể thôi đừng lo)

2

x

f  Mặt phẳng y=1 cắt f x y( , ) tạo thành đồ thị C1

Tiếp tuyến của C1 tại điểm M(1,1,2 2) có hệ số góc là: ' (1,1) 1

f x y  x  y=0

2' ( , )y 3 3

Max f=13 đạt tại (2,-1), min f =-1 đạt tại (0,-1)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:

1

( 1)1

n n

Bài giải:

lim | n| 1 0

   => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần

Câu 4: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

 

0 0 4

0

4

3128

x

x

xdy dx ydy dx

Câu 6: Tính tích phân bội ba

I x dydzy dxdzz dxdy  x  y z dxdydz

Đổi sang toạ độ trụ:

max z =-4e4 đạt tại (u,v)=(-2,0) hay (x,y)=(-1,-1)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

( 1) ( 1)

n n

 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Các em nhận xét xem đúng hay sai?

Bài giải 2:

 

 phân kỳ do đó chuỗi phân kỳ

Câu 4: Tìm chuỗi Taylor của ( ) 22 3

n n

Bài giải

r(t)=sqrt(sin(2*t))

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Đổi sang toạ độ trụ:

cossin

t t

113

1os

Câu 7: Tính tích phân mặt loại một 2

S

I   xds với S là phần mặt phẳng x  y z 2nằm trong hình cầu 2 2 2

33

Câu 2: Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 12m bìa 2

carton Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp này

 

Vậy P là điểm cực đại

Và vì V liên tục trong góc phần tám thứ nhất và có duy nhất 1 điểm cực đại (P) nên đạt giá trị lớn nhất tại P: MaxV=V(P)=4

Cách 2: Thế

122

xy z

Nhận xét: Không nghi ngờ gì nữa cách 2 hay hơn và gọn hơn cách 1 Nhưng các

em nên nhớ đang học GT2 về cực trị và max-min Yêu cầu phải biết vận dụng kiến thức đã học vào những bài toán thực tế Bài này điển hình cho bài tìm max-min cho hàm 3 biến và miền không bị chặn rất hay

Câu 3: Tính tổng

1

1 ( 1)( 2)

1 0

*

3 2

Do đó chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh

Vậy: miền hội tụ là: [-1,1]

I  y dxdy y dxdy y dxdy

Vì E và C đối xứng qua Ox,Oy và hàm dưới dấu tích chẵn theo 2 biến x,y nên:

Vậy I=0

Thật ra bài này bằng không ngay từ đầu bằng cách nhận xét:

S đối xứng qua Oxz và hàm dưới dấu tích phân lẻ theo biến y

Đặt

23

  

   a=2,b=1 '' 4, '' 0

x

z y

1

n n

2 4 2

2 2 1

n n

Bài giải

2 2

n n n n

1

n n

n n

Dùng tiêu chuẩn D’Alembert dể thấy R=3

Câu 5: Tính tích phân max sin ,sin 

D

 với D là miền 0 x , 0 y .Bài giải:

Chia D làm 4 miền bởi 2 đường thẳng y=x và x+y=Pi

f(x)=0 f(x)=x f(x)=Pi x(t)=0 , y(t)=t x(t)=Pi , y(t)=t f(x)=Pi-x

Pi

Xét sin sin 2 cos sin

I   ydxdy ydxdy xdxdy ydxdy

Câu 6: Tính tích phân đường  2  2  2

C

I   yz dx zx dy xy dz, với C là giao của mặt phẳng x  y z 1 và mặt cầu x2y2z2 4 ngược chiều kim đồng

hồ theo hướng trục Oz

9

y D

Bài giải

Gọi M(a,b,c) thuộc mặt phẳng x2y3z  6 a 2b3c6

2 2

b c

   điểm dừng: P(1,2/3)

Bài này dùng bất đẳng thức cosi nhanh hơn nhưng không liên quan đến bài học

Câu 3: Tính tổng 1

1

( 2)( 2) 7

n n

2 2

2 1

Bài giải

2 1

2 1 1

1

2 1 1

n

n n

n

n n

n

n

n x

n n

x

n n

        , trong đó D là miền phẳng giới hạn

bởi x  0, y  0, x  4sin , t y  3cos , t t   0, / 2  

Pháp véc tơ đơn vị của S: ( 1 , 0, 1 )

x y

0 0 0

4085

Câu 2: Tìm cực trị có điều kiện: f x y( , )e xy; x3y3 16

xy

xy x xy x

'' 2

4 '' 2

4 ''

6

26

51

xy xx

xy yy

xy xy

Thế vào trên ta được: d L P2   6dx2 0

Vậy P là điểm cực đại

1 2 1

e n







0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Với D=9

2 2

7 3 2

y z x và mặt cầu x2y2z24 ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox

I x dydzy dzdxz dxdy, với S là mặt trong

ĐỀ 18

Câu 1: Cho

2 2, ( , ) (0, 0)( , )

Câu này không giải được Em nào can đảm thì cứ việc

Câu 4: Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính 1

f(x)=0

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Trên là diện tích cần tìm:

Đổi sang toạ độ cực mở rộng:

cos

3 1

0 3

0 2

00

d L P

d L P



Vậy hàm f đạt cực đại tại P2(1,3,5) và cực tiểu tại P1(-1,-3,-5)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

2

1( 1)n

Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint của

0

ln(1 3 )( )

0 1

1 2 0

(3 )( 1)

( 1)

13

( ) ( 1)

( 1)

n n

n

n

n n

2 0

n n

f(x)=x*sqrt(3)

1 2 3 4 5 6

-3 -2 -1

1 2 3

x y

28

2 3 43

xa t t ya  t  t 

Bài giải

x(t)=(t-sin(t)) , y(t)=(1-cos(t))

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x y

Ta có:

'2 '2

2 sin2

(1 ost) 2 sin

2256

11

2 2

Các em cần hiểu rõ vi phân, Chú ý giữa hàm và biến mới làm được cách 2

Câu 2: Tìm cực trị của hàm f x y z ( , , )   x 2 y  3 z với hai điều kiện x  y z 1

' ' '

00

n n

 hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz

Vậy miền hội tụ: M(x)=[-3,1]

sin 3 sin cossin

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

4

2 '2 4

Ghi chú: Các em có thắt mắc gì mail cho Thầy: nguyenhuuhiep47@yahoo.com

Đặt 3 (33 1)!3 2

n

n n

Bài giải:

f(x)=0 f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x^2 f(x)=1

0.5 1 1.5 2

x y

Câu 6: Tính tích phân bội ba  

y D

S1: phía trước mp(0yz) 2

x zy và pháp vecto tạo với ox góc tù

S2: phía trước mp(0yz) 2

x  zy và pháp vecto tạo với ox góc nhọn

Các em có thể làm đơn giản bài toán ngay từ đầu bằng cách:

Nhận xét S đối xứng qua oyz và hàm x(y,z)=y chẵn theo x và x(y,z)=2x lẻ theo x nên ta có:

Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị đưa về tích phân đường loại 1

Cách 3: Thêm vào phần mặt z=4 rồi dùng công thức O-G

Cách 2 và 3 nhanh và hay hơn cách 1 Các em tự làm 2 cách sau nhé (dể thôi đừng lo)

đạo hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến

2

x

f  Mặt phẳng y=1 cắt f x y( , ) tạo thành đồ thị C1

Tiếp tuyến của C1 tại điểm M(1,1,2 2) có hệ số góc là: ' (1,1) 1

f x y  x  y=0

2' ( , )y 3 3

Max f=13 đạt tại (2,-1), min f =-1 đạt tại (0,-1)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:

1

( 1)1

n n

   => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần

Câu 4: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

Chia miền D bởi đường thẳng y=x thành 2 miền D1 và D2

Trên D1(nằm dưới dt y=x) x>y nên max{x,y}=x

Trên D2(nằm trên dt y=x) x<y nên max{x,y}=y

2563

I x dydzy dxdzz dxdy  x  y z dxdydz

Đổi sang toạ độ trụ:

Vậy max z =2e đạt tại (u,v)=(1,0) hay (x,y)=(1,1)

max z =-4e4 đạt tại (u,v)=(-2,0) hay (x,y)=(-2,-2)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

( 1) ( 1)

n n

 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Các em nhận xét xem đúng hay sai?



 

 phân kỳ do đó chuỗi phân kỳ

Câu 4: Tìm chuỗi Taylor của ( ) 22 3

n n

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Đổi sang toạ độ trụ:

cossin

Miền được viết lại trong toạ độ trụ là: V

t t

113

1os

33

S    

9

I  

ĐỀ 14

Câu 1: Vẽ khối  giới hạn bởi y 4 x2,y 1 x2,z0,z2x

Các em tự vẽ

Câu 2: Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 12m bìa 2

carton Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp này

Vậy P là điểm cực đại

Và vì V liên tục trong góc phần tám thứ nhất và có duy nhất 1 điểm cực đại (P) nên đạt giá trị lớn nhất tại P: MaxV=V(P)=4

Cách 2: Thế

122

xy z

Nhận xét: Không nghi ngờ gì nữa cách 2 hay hơn và gọn hơn cách 1 Nhưng các

em nên nhớ đang học GT2 về cực trị và max-min Yêu cầu phải biết vận dụng kiến thức đã học vào những bài toán thực tế Bài này điển hình cho bài tìm max-min cho hàm 3 biến và miền không bị chặn rất hay

Câu 3: Tính tổng

1

1 ( 1)( 2)

1 0

Lúc này:

*

3 2

n



Do đó chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh

Vậy: miền hội tụ là: [-1,1]

I  y dxdy y dxdy y dxdy

Vì E và C đối xứng qua Ox,Oy và hàm dưới dấu tích chẵn theo 2 biến x,y nên:

  



  



Vậy I=0

Thật ra bài này bằng không ngay từ đầu bằng cách nhận xét:

S đối xứng qua Oxz và hàm dưới dấu tích phân lẻ theo biến y

  

   a=2,b=1 '' 4, '' 0

x

z y

n n

2 4 2

2 2 1

n n

Bài giải

2 2

n n n n

1

n n

n n

Dùng tiêu chuẩn D’Alembert dể thấy R=3

Câu 5: Tính tích phân max sin ,sin 

D

 với D là miền 0 x , 0 y .Bài giải:

Chia D làm 4 miền bởi 2 đường thẳng y=x và x+y=Pi

f(x)=0 f(x)=x f(x)=Pi x(t)=0 , y(t)=t x(t)=Pi , y(t)=t f(x)=Pi-x

I   ydxdy ydxdy xdxdy ydxdy

Câu 6: Tính tích phân đường  2  2  2

C

I   yz dx zx dy xy dz, với C là giao của mặt phẳng x  y z 1 và mặt cầu x2y2z2 4 ngược chiều kim đồng

hồ theo hướng trục Oz

y D

Câu 2: Cho một hình hộp chữ nhật ở góc phần tám thứ nhất trong hệ trục Oxyz, có 3 mặt nằm trên 3 mặt phẳng tọa độ và một đỉnh nằm trên mặt phẳng x2y3z6 Tìm thể tích lớn nhất

Bài giải

Gọi M(a,b,c) thuộc mặt phẳng x2y3z  6 a 2b3c6

2 2

Bài này dùng bất đẳng thức cosi nhanh hơn nhưng không liên quan đến bài học

Câu 3: Tính tổng 1

1

( 2)( 2) 7

n n

2 2

2 1

Bài giải

2 1

2 1 1

1

2 1 1

n

n n

n

n n

n

n

n x

n n

x

n n

        , trong đó D là miền phẳng giới hạn

bởi x  0, y  0, x  4sin , t y  3cos , t t   0, / 2  

Pháp véc tơ đơn vị của S: ( 1 , 0, 1 )

Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai 3 3

x y

0 0 0

4085

xy x xy x

'' 2

4 '' 2

4 ''

6

26

51

xy xx

xy yy

xy xy

 

1 2 1

1 2 1

e n

f(x)=0 f(x)=3 x(t)=0 , y(t)=t x(t)=3 , y(t)=t f(x)=sqrt(x^2+2) Series 1

-0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

7 3 2

y z x và mặt cầu x2y2z24 ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox

I x dydzy dzdxz dxdy, với S là mặt trong

Câu này không giải được Em nào can đảm thì cứ việc

Câu 4: Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính 1

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Trên là diện tích cần tìm:

Đổi sang toạ độ cực mở rộng:

cos

3 1

383

0 2

00

d L P

d L P



Vậy hàm f đạt cực đại tại P2(1,3,5) và cực tiểu tại P1(-1,-3,-5)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

2

1( 1)n

Suy ra chuỗi phân kỳ

Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint của

0

ln(1 3 )( )

1 0

0 1

1 2 0

(3 )( 1)

( 1)

13

( ) ( 1)

( 1)

n n

n

n

n n

2 0

n n

f(x)=x*sqrt(3)

1 2 3 4 5 6

-3 -2 -1

1 2 3

x y

28

2 3 43

xa t t ya  t  t 

Bài giải

x(t)=(t-sin(t)) , y(t)=(1-cos(t))

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x y

Ta có:

'2 '2

2 sin2

(1 ost) 2 sin

2256

11

2 2

Các em cần hiểu rõ vi phân, Chú ý giữa hàm và biến mới làm được cách 2

Câu 2: Tìm cực trị của hàm f x y z ( , , )   x 2 y  3 z với hai điều kiện x  y z 1

' ' '

00

n n

 hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz

Vậy miền hội tụ: M(x)=[-3,1]

sin 3 sin cossin

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

4

2 '2 4