6 đề ôn cuối kì có giải chi tiết

Các phần tập trung khi ơn bài: các em phải nắm vững kỹ thuật xử lý các dạng tốn sau: 1.. Tính tp đường 2 bằng tham sơ hĩa và Cơng thức Green,tp khơng phụ thuộc đường đi.. Miền hội tụ.. C

Bài tập ơn cuối học kỳ hai

Các phần tập trung khi ơn bài: các em phải nắm vững kỹ thuật xử lý các dạng tốn sau:

1 Đạo hàm và vi phân hàm thường

2 Cực trị tự do

3 Đổi biến tọa độ cực trong tp kép

4 Tính tp đường 2 bằng tham sơ hĩa và Cơng thức Green,tp khơng phụ thuộc đường đi

5 Cơng thức Gauss cho mặt 2(tức là phải cĩ tp bội 3)

6 Tổng chuỗi

7 Miền hội tụ

Bỏ tp đường loại 1 Các phần khác nếu cĩ chỉ chiếm tỷ lệ rất thấp(hàm hợp, hàm ẩn, cực trị cĩ điều kiện, mặt 1, stokes )

ĐỀ 1

1 Cho hàm hai biến f x y( , )x22xyx3, tính d f2 (1, 5).

2 Tìm cực trị hàm số f x y( , ) 4xx22y2

3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

2

2

1

1 1 2

n

n

n

n



4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa 2

1

3 ( 1)

( 2) 1

n n

x n







5 Tính tích phân đường: I = sin

C

xdx  ydy

2

từ đến (0,1)

6 Tính tích phân | 3 |

D

I  xy dxdy, trong đĩ D là miền phẳng: x2y2 4,y x

7 Cho S là phía ngồi mặt biên miền giới hạn bởi nĩn z 2x2 y2 và trụ z 4y2 ,

S

I  yzdydzxdzdxz dxdy

ĐỀ 2

1 Cho hàm ẩn zz x y( , ) xác định từ phương trình x2 y2z2 4x2y4z 7 0

Tìm tất cả các (x,y,z) thỏa hệ phương trình: 0,

0

x y

z z

 



  



2 Tìm cực trị của hàm số f x y( , )xy3x thỏa x  y 1 0

3 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

1

( 4)

n

n

x





4 Tính tổng chuỗi số

0

2

3n

n

n S







5 Tính tích phân đường loại hai 2

C

I   xydx  x dy trong đĩ C là biên định hướng dương

của miền phẳng

2

D: x

 





a Tính trực tiếp bằng tham số hĩa đường cong

b Dùng cơng thức Green

6 Tính tích phân 5 4

S

I   zds trong đĩ S là phần mặt paraboloid z 1 x2y2 bị chắn bởi mặt phẳng z0

ĐỀ 3

1 Cho hàm số f x y z( , , )x23xye xyz, M(1,1,0) Tính giá trị

A

2 Tìm cực trị tự do của hàm số f x y( , )x33xy2 15x12 y

3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

3 1 1

2.5.8 (3 4) ( 1)

2 3 !

n

n

n n











4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

1

cos 2

!

n

n n

n e

x n







C

y

I dx x x dy

x

( x  2)  ( y  1)  1, (2,2) (3,1)

lấy theo chiều KĐH từ 

6 Tính tích phân sau bằng cách dùng tọa dộ cầu: I z x2 y dxdydz2



miền giới hạn bởi nĩn z 3(x2y2), mặt phẳng z0 và mặt cầu x2y2z2 4

7 Dùng cơng thức Stokes tính

C

I ydxzdyxdz, trong đĩ C là giao tuyến của mặt trụ

2 2 2

z

và mặt phẳng y x lấy ngược chiều KĐH nhìn từ phía dương của trục

Ox

ĐỀ 4

1 Cho ( , ) cos

x

y

 

  Chứng minh đẳng thức: x f.x y f.y f

2 Tìm cực trị hàm số f x y( , )x33xy3y thỏa x2y 1

3 Tìm tất cả các giá trị của  để chuỗi sau hội tụ:

2 2 1

1

n





0

5

n

e





 

  Tìm miền hội tụ của S x( )

5 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt trụ x2 y2 1,zy2 và mặt phẳng z0

6 ( x ( 2 ) 2 n 1sin ) ( y (2 5) ncos )

C

I   e  a  n y  x  y dx  e  a  x  ax y dy

Tìm các số thực a và số tự nhiên n sao cho tp trên khơng phụ thuộc đường đi

Tính tp trên đường trịn đơn vị, lấy theo chiều kim đồng hồ với các tham số vừa tìm được

S

I  yx dydz xy dzdx zdxdy, trong đĩ S là mặt biên của miền giới hạn bởi z0,x2y z 1,x 2,y 0, lấy phía ngồi

ĐỀ 5

1 Cho hàm ẩn zz x y( , ) xác định từ phương trình zxln(1 x yz), tính dz(1,0)

2 Tìm cực trị hàm số

1 ( , )

1

x y

f x y

 



3 Tính tổng chuỗi số   2

0

1 1

(2 1)!

n n n

S

n











4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũ thừa

1ln( 2)(2 )!!

n n

n

n x





C

y

I dx x x dy

x

là đtrò n lấy theo chiều KĐH từ

6 Tính ( 2 )

D

x y dxdy

 trong đĩ D là miền giới hạn bởi x2 y2 4 ,x x2y2 4x3,

0  y 2 x

S

x  y dydz zx dzdx y dxdy

2

x y  y bị chắn bởi các mp z0,z1

ĐỀ 6

1 Cho f x y( , )sin(xy) xy , tính giá trị biểu thức 2 2

Ax f y f

2 Tìm cực trị hàm số f x y( , )(xy e) xy

3 Tìm chuỗi Taylor của f x( )ln(x2x) trong lân cận x 1 Hãy chỉ rõ miền hội tụ của chuỗi này

4 Tính tổng chuỗi số sau:

0

( 1)!

n

n S

n









5 Cho

, ( , )

,

f x y



 

 Tính D f x y dxdy( , ) , trong đó D là hình tròn đơn vị

6 Tính

C

xdx ydy I







a  b  nằm ở góc phần tư thứ nhất lấy theo chiều kim đồng hồ

S

z x y dxdy

 , trong đó S là phía trên phần mặt cầu x2y2z2 6 ,z với

0 z 3

GIẢI BÀI TẬP ÔN Các em kiểm tra lại đáp số, nếu có sai báo lại cho cô qua diễn đàn nhé

Đề 1 Câu 1: d f2 (1, 5) 8dx2 4dxdy

Câu 2: f đạt cực đại tại x2,y0,f cd 4

Câu 3:

2

2

n n

n



Câu 4: Đặt X (x2)2, chuỗi  

1

3 ( 1)

2 1

n n

x n







1

3 ( 1) 1

n n

X n





 



BKHT của chuỗi (2) là 1

3

X

R  , BKHT của chuổi (1) là 1

3

R

Vì (2) có khoảng HT là 1 1,

3 3

 

 , nên chuỗi (1) HT nếu  2 1

3

x

   và PK nếu  2 1

2 3

x 

Như vậy chuỗi (1) HT trong 2 1 , 2 1

Theo định nghĩa, R là BKHT của chuỗi (1)

2

1 sin cos ( sin )

2



Câu 6:

I  y x dxdy xy dxdy

4

7

6

7 6







D1

D2

 

1

8 8 3 4 2 4 6

3

Câu 7: Áp dung công thức G-O

2

V

I  zdxdydz, trong đó V là vật thể giới hạn bởi nón z  2x2  y2 và trụ z 4y2

Hình chiếu của V lên Oxy:

2

:

2

y y

D



 2

2

2 2

2 2 2

2

r

r r





2

4 2





-

Đề 2:

Câu 1: x y z, ,   2,1, 2 ,  x y z, ,   2,1,6

Câu 2: f CT  f(2,1) 4

Câu 3:

1

6

a





2

3 3 2

3

n n n

n

n

R

a

 

  

 

: 6, 2

KHT

Tại x 6 hay x  2, chuỗi trở thành

( 2)

n n

n

Khi đó các chuỗi trên là tổng của 1 chuỗi pkỳ và 1 chuỗi htụ nên pkỳ

Câu 4: Xét chuỗi lũy thừa

0

n





  , MHT : D  1,1

1

2 0

1 ( )

n n

x









1

3

n n

n

Câu 5:

a

2

2 (2 ) ( 1) 2(1 cos ).sin ( sin ) (1 cos ) cos



     

b Dùng công thức Green:

4

3

x x

x D



Câu 6:

Oxy

I   x y  x  y dxdy  x  y dxdy

2



-

Đề 3:

Câu 1: A8

Câu 2: Điểm dừng:     1, 2 , 2,1 ,  1, 2 ,  2, 1

f đạt cực tiểu tại  2,1 ,và cực đại tại  2, 1, không đạt cực trị tại các điểm còn lại

Câu 3: dùng tc D’A trên chuỗi trị tuyệt đối thì chuỗi hội tụ, D = 1/8

Câu 4:

cos 2

!

n

n n

n e

n



 , lưu ý , an có n! ở mẫu số còn lại là dãy mũ và dãy bị chận nên chuỗi htụ với

mọi x Cách viết bài:

!

n n

e x

n

Áp dụng tiêu chuẩn D’A cho chuỗi vế phải: 0

1

n n

e x

n



đảm bảo Dn có nghĩa)

Do

0

n n

b





 htụ nên theo tc so sánh

0

n n

a





 ht tuyệt đối

Câu 5: áp dụng công thức Green sau khi thêm vào 2 đoạn thẳng

1: 1, : 3 2; 2: 2, :1 2

L y x  L x y  , miền D là góc phần tư màu xanh

2

(8 l )

D

dx

x

l



Câu 6:

1 tan











4 2 2

6

56 sin cos

15









Câu 7: chọn S là phần mp y = x giới hạn bên trong trụ, lấy phía trước nhìn từ phía dương Ox

Áp dụng công thức Stokes

S

I dydzdzdxdxdy

S

2 2

S

Ozx

S yx ds dzdx hc S D x z 

4

2

D

-

Đề 4:

Câu 1:

2 2

x y

x

y

Câu 2: x 1 2y

g y  f  y y  y  y  y

f đạt cực đại tại 1 5, 3 5

,

Câu 3:

2 2

1

khi n n

n

 

0,arctan

2

n

n



n

n

: chuỗi phân kỳ

0,arctan arctan1

4

n



n

n

: chuỗi phân kỳ

3

1

0,arctan ~ a n ~ ,khi n

Tóm lai : chuỗi htụ khi và chỉ khi  0

Câu 4: Bán kính hội tụ (BKHT) của S(x) là R = e nên BKHT của S’(x) cũng vậy

3

1 1

5 '( )

n n

n

n e







 

  , khoảng hội tụ 2 ,0e 

Tại x2 ,e x0: chuỗi trở thành 3   1 1 3

( 1)

n

e

n e

n e

kiện cần

Vậy miền hội tụ là: 2 ,0e 

Câu 5:

2 2

1

1

4





 

Câu 6: P y Q x  a 2n2x n1cosy2a 5 nax n1cosy

2

na



Do R2 là miền đơn liên, P, Q và các đạo hàm liên tục trên R2 nên kết quả trên cho tp trên các đường cong kín đều bằng 0 Vậy tp trên đường tròn đơn vị bằng 0

Câu 7: Áp dụng công thức G-O

1

2

1

0

9 2

x

x y



 





-

Đề 5:

Câu 1:    x y,  1,0 z 1,0 ln 2

1

1 1

(1, 0) ln 2

2 1

1

1 1

(1, 0) ln 2

2 1

1

z

x yz

y

x yz z

x yz

y

x yz



 



 



 



 

(1, 0) 1 ln 2 ln 2

Câu 2: điểm dừng 1, 1 ,

A  C B     ACB  A

1, 1  là điểm cực đại, f 1, 1  3



S

Câu 4:

1ln( 2)(2 )!!



n

n x

      1        

1

1





n n

n

Câu 5: giống đề 3

Câu 6:

Đặt x 2 rcos , yrsin

2 3

1 4







D

Câu 7:

Cách 1: S/ /OzI3 0

S đối xứng qua mp x = 0 , P chẵn theo x I1 0

Xét 2  

S

I  zx dzdx, S S1 S2, S1,2:y 1 1x2

Giả sử S là phía ngoài mặt trụ PVT của S1 hợp với chiều dương Oy 1 góc nhọn, PVT của 2

S hợp 1 góc tù (n(2 , 2x y2,0)2( ,x y1,0))

1,2

:

zx Ozx

x

z

  



I  zx dzdx zx dzdx  zx dzdx zx dzdx 

Cách 2: Giả sử S là phía ngoài mặt trụ Gọi S1là phía trên mp z1 và S2 là phía dưới mp z0

Gọi  là vật thể giới hạn bởi S S1, 2,&S3 Áp dụng công thức G-O:

1 2 3

Pdydz Qdzdx Rdxdy xdxdydz



I

   

Vì S S1, 2/ / Oxy nên 2 tp vế phải chỉ còn lại thành phần thứ 3

-

Đề 6:

Câu 1: A0

x y    

2

3

Hàm số không có cực trị

2

x

1

2

n

n

x



Điều kiện khai triển (MHT): x0, 2

1

n S

 







Câu 5:  

5

3

cos sin

3



 

Câu 6: P y Q x Tp không phụ thuộc đường đi (khu vực áp dụng là miền đơn liên chứa C và không chứa

O, chẳng hạn khu vực phía trên đt x y 0

a b )

,

U x y  x  y thì dU Pdx Qdy Vậy I U 0,b U a ,0  a b

Câu 7: Gọi S1 là phía dưới phần mp z3 bị giới hạn bên trong mặt cầu,  nửa dưới của khối cầu

6

x  y z  z

Áp dụng ct G-O,

1



Xét tp khối:

Đặt: xsin cos ,  ysin sin ,  z 3 cos, 0 3, , 0 2

2

2

81 sin sin

8







1

4

1: 3

Oxy

hc S D x  y 

D