Chuyên đề lượng giác megabook

Phản xạ 1: Khi gặp các góc lớn từ 3x trở lên thì thường có 3 hướng đi Hướng 1 “Ghép bộ cùng tên” để giảm góc và tạo tích bằng việc dùng công thức tổng hiệu thành tích.. ưu tiên kết hợp c

Phản xạ 1: Khi gặp các góc lớn (từ 3x trở lên) thì thường có 3 hướng đi Hướng 1 “Ghép bộ cùng tên” để giảm góc và tạo tích bằng việc dùng công thức tổng (hiệu) thành tích

( ưu tiên kết hợp các góc cùng chẵn hoặc cùng lẻ )

Giải các phương trình sau:

1 (D – 2013): sin 3xcos 2xsinx0 2 (D – 2012): sin 3xcos3xsinxcosx 2 cos 2x

3 (B – 2007): 2sin 22 xsin 7x 1 sin x 4 (D – 2006): cos3xcos 2xcosx 1 0

5 (D – 2002): cos3x4cos 2x3cosx 4 0 6 (B – 2002)sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x

Hướng dẫn giải:

1 (D – 2013): sin 3xcos 2xsinx0

(sin 3x sinx) cos2x 0

cos 2 0 cos 2 (2sin 1

2 (D – 2012): sin 3xcos3xsinxcosx 2 cos 2x

(sin 3xsin ) (cos 3x  xcos )x  2 cos 2x

2cos 2 sinx x 2cos 2 cosx x 2 cos 2x

2 cos 2x 2(sinx cos ) 1x  0

3 (B – 2007): 2sin 22 xsin 7x 1 sin x

(sin 7xsinx)2sin 2x 1 0 2cos 4 sin 3x x cos 4x 0

   cos 4 (2sin 3x x 1) 0

4 (D – 2006): cos3xcos 2xcosx 1 0

 (cos 3xcos )x  (1 cos 2 )x 0

2 2sin 2 sinx x 2sin x 0

4sin xcosx 2sin x 0

2sin x(2cosx 1) 0

5 (D – 2002): cos3x4cos 2x3cosx 4 0

 (cos3xcosx)4(1 c os 2 ) 2cosx  x0

2 8cos 2cos2 cx osx x 2cosx 0

2cos (cos 2x x 4cosx 1) 0 2cos (2cosx x 4cos )x 0 4cos x(cosx 2) 0

6 (B – 2002)sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x 1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12

 cos 6xcos8xcos10xcos12x

2cos 7 cosx x 2cos11 cosx x

2cos sin 9 sin 2x x x 0

   sin 9 sin 2x x0

Hướng 2 Chuyển phương trình về dạng sinusinv (hoặc cosucosv )

hoặc dạng asinx b cosxc (hoặc mở rộng) Chú ý:

 Cách khử dấu “–” của các hàm lượng giác: sinusin(u) ; cosucos(u)

tanu tan( u)

   ; cotucot(u)

 Cách đổi tên hàm: sin cos

2

 ; cosu sin 2 u



 ; tanu cot 2 u



 ; cotu tan 2 u



  Giải các phương trình sau:

1 (B – 2013): sin 5x2cos2x1 2 3 sin 6x2sin 5x 1 2cos 32 x

3 3 cos 4 4sin2 sin 2 4sin2

4

Hướng dẫn giải:

1 (B – 2013): sin 5x2cos2x1sin 5x 1 cos 2x1 cos 2 sin 5 sin 2 sin( 5 )

2







2 3 sin 6x2sin 5x 1 2cos 32 x

3 sin 6x 2sin 5x 1 1 cos 6x

3 sin 6x cos 6x 2sin 5x

6



  

3 cos 4 4sin sin 2 4sin

4

2

3 cos 4 4sin sin 2 2 1 cos 2

2

2

3 cos 4x 4sin xsin 2x 2(1 sin 2 )x

2

3 cos 4x 2sin 2 (1 2sinx x) 2

3 cos 4x 2sin 2 cos 2x x 2

k

Hướng 3

Khử và giảm số lượng góc lớn bằng việc “sử dụng công thức cộng hoặc tạo tích thành tổng” hoặc “đánh giá”

Giải các phương trình sau:

1 cos 4 (2sin 3x xcos )x sin (sin 4x x1)

sin 2 (1 cos 5x  xcos ) sin 3x  x2sin 3 cos 2x x 3 cos 2x3

Hướng dẫn giải:

1 cos 4 (2sin 3x xcos )x sin (sin 4x x1)

sin 3 cos 4 cos 4 cos

2 x x sinx x xsin 4 sinx x

2

sin 2 (1x cos 5xcosx) sin 3 x2sin3 cos 2x x 3 cos2x3

2 sin 2 (1x 2cos 3 cx os2x) sin 3 (2cos 2x x 1) 3 cos 2x 3

sin 2x cos3 sin 4x x sin 3 cos 4x x 3 cos 2x 3

sin 3 cos 4 cos3 sin 4



Do 2sin 2 3 2 (*) sin 2 3 1

CHÚ Ý: Chương trình học chính khóa không có cthức 3

sin 3x3sinx4sin x ; cos3x4cos3x3cosx vì vậy nếu xuất hiện trong đề thi thì “ý đồ” của người ra đề không phải sử dụng chúng (nếu các bạn dùng thì phải chứng minh) nghĩa là các bạn nên đi theo 3 hướng tư duy trên.

Phản xạ 2 :Khi xuất hiện 3 thường chuyển về dạng asinx b cosxc hoặc dạng mở rộng

Cách giải chung: asinu b cosuc

Chia cả hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

2a 2 sinu 2b 2 cosu 2c 2

a b



 (đưa về công thức nghiệm) với

2 2

a b

 

 và sin 2b 2

a b

 



Chú ý 1:

 Điều kiện phương trình có nghiệm là 2 2 2

a b c

 Ta có thể đưa phương trình về dạng công thức nghiệm với cos

 Thường 2 2

2

a b  (để số liệu bài toán “đẹp”)

Chú ý 2 : Ngoài dạng nguyên gốc trên, chúng ta có thể gặp 3 dạng mở rộng sau

a u b u a b v

 asinu b cosu a2b2cosv

 sin a u b cosua'sinv b 'cosv

Cách giải cũng tương tự, khi ta chia cả hai vế phương trình cho a2b2

Giải các phương trình sau:

1 (A,A1 – 2012): 3 sin 2xcos 2x2cosx1 2 (B – 2012): 2(cosx 3 sin ) cosx xcosx 3 sinx1

3 (A – 2009): (1 2sin ) cos 3

(1 2sin )(1 sin )

3

s inxcos sin 2x x 3 cos 3x2(cos 4xsin x)

5 (D – 2009): 3 cos 5x2sin 3 cos 2x xsinx0 6 (D – 2007):

2

x

7 (B – 2008): sin3x 3 cos3xsin cosx 2x 3 sin2 xcos x 8  6 6 

8 sin xcos x  2 3 3 sin 4x

9 3 sinxcos (4sinx x 1) 0 10.2sin 3xsinx 3 cosx 1 2cos 2x0

Hướng dẫn giải:

1 (A,A1 – 2012). 3sin 2xcos 2x2cosx1

2

2 3 sin cosx x 2cos x 1 2cosx 1

2cos ( 3 sinx x cosx 1) 0

3 sin cos 1

x











2 (B – 2012): 2(cosx 3sin ) cosx xcosx 3sinx1

2

2cos x 1 2 3 sin cosx x cosx 3 sinx

cos 2x 3 sin 2xcosx 3 sinx

3 (A – 2009): (1 2sin ) cos

(1 2sin )(1 sin ) 3

sin 1

1 sin

2

x x









 

Với điều kiện (*) thì phương trình tương đương:

2 (1 2sin ) cos x x 3(1 2sin xsin )x

cosx sin 2x 3(cos 2x sin )x

 cosx 3 sinx 3 cos 2xsin 2x

sinxcos sin 2x x 3cos 3x2(cos 4xsin x) 2

sin (1 2sinx x) cos sin 2x x 3 cos 3x 2cos 4x

sin cos 2x x cos sin 2x x 3 cos 3x 2cos 4x

 sin 3x 3 cos 3x2cos 4x 1sin 3 3cos 3 cos 4 cos 3 cos 4



5 (D – 2009): 3cos 5x2sin 3 cox s 2xs ni x0

3 cos 5x (sin 5x sin ) sinx x 0

 sin 5x 3 cos 5x 2sinx 1sin 5 3cos 5 sin

3

6 (D – 2007): sin cos cos 2

2

x

x

1 sinx 3 cosx 2

7 (B – 2008): sin3x 3cos3xsin cosx 2x 3sin2xcos x

sin (cosx x sin x) 3 cos (cosx x sin x) 0

sin cos 2x x 3 cos cos 2x x 0

sin 3 co

(sin 3 cos ) 0

x



8 sin xcos x  2 3 3sin4x 3 2

8 1 sin 2 2 3 3 sin 4

3(1 cos 4 )

8

x

x



9 3sinxcos (4sinx x 1) 0  3 sinxcosx2sin 2x

sin cos sin 2 sin cos cos sin sin 2

6

10.2sin 3xsinx 3cosx 1 2cos 2x0

2sin 3x sinx 3 cosx sin x cos x 2(cos x sin x) 0

2sin 3x sinx 3 cosx (sin x 3cos x) 0

2sin 3x sinx 3 cosx sinx 3 cosx sinx 3 cosx 0

sinx 3 cosx2sin 3x sinx 3 cosx 0

sin 3 cos 2sin 3







Phản xạ 3:Khi nhóm được các bộ “cùng tên, cùng góc” thì nghĩ tới việc phân tích thànhtích

2

2sin xsinx 1 (sinx1)(2sinx1); cos3x3cos2x4cosx 2 (cosx1)(cos2 x2cosx2)…)

( hoặc nhẩm nghiệm hoặc các em dùng máy tính để trợ giúp và có thể sử dụng thêm lược đồ Horner – nếu phương trình từ dạng bậc 3 trở lên trong đó có ít nhất một nghiệm “đẹp” để tạo tích)

Giải các phương trình sau:

1 (D – 2010): sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0 2 9sinx6cosx3sin 2xcos 2x8

3 (2sinx1)(cosx 1) cos 2x2cosx7sinx5 4 2cos3x3cos 2x2sin 2x4cosx4sinx5

8 sin xcos x 3 3 sin 4x3 3 cos 2x9sin 2x11

Hướng dẫn giải:

1 (D – 2010): sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0

2 sin 2x (1 2sin x) 3sinx cosx 1

 2 

2sin x 3sinx 2 sin 2x cosx 0

(2sinx1)(sinx2) cos (2sinx x 1) 0

2 9sinx6cosx3sin 2xcos 2x8

2 9sinx 6cosx 6sin cosx x 1 2sin x 8

(6sin cosx x 6cos )x

(2sin x9sinx7) 0 (sin 1)(2sin

6cos (sinx x 1) x x7) 0

sinx 1

  hoặc 2sinx6cosx7 (vô nghiệm do 2 2 2

2

   (k)

3 (2sinx1)(cosx 1) cos 2x2cosx7sinx5

2 2sin cosx x 2sinx cosx 1 1 2sin x 2cosx 7sinx 5

(2sin cosx x cos )x

(2sin x9sinx5)0 (2sin 1)(sin 5

cos (x 2sinx 1) x x ) 0

4 2cos3x3cos 2x2sin 2x4cosx4sinx5

2cos x 3(2cos x 1) 2sin 2x 4cosx 4sinx 5

(cos x3cos x2cosx4)(sin 2x2sin )x 0

2 (cosx 1)(cos x 2cosx 4) 2sin (x cosx 1)

2 (cosx 1)(cos x 2cosx 4 2sin )x 0

cosx 1 (1)

cos x2(sinxcos )x 4 (2) Giải (1)  x  k2 Giải (2) cos2 2 2 sin 4

4

  Ta có:

2

4

  , suy ra (2) vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x  k2 (k )

8 sin xcos x 3 3 sin 4x3 3 cos 2x9sin 2x11

Ta có: sin6 cos6 (sin2 cos2 )3 3sin2 cos2 (sin2 cos2 ) 1 3sin 22

4

Khi đó phương trình tương đương:

2 3

8 1 sin 2 3 3 sin 4 3 3 cos 2 9sin 2 11

( 3 sin 4x 3 cos 2 )x

(2sin 3x3sin 2x1) 0

3 cos 2 (2sin 2x x 1) (2sin 2x 1)(sin 2x 1) 0

      (2sin 2x1)( 3 cos 2xsin 2x 1) 0

CHÚ Ý : Các Ví dụ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 còn có một cách tiếp cận khác Các em xem tiếp ở các phản xạ sau !

Phản xạ 4: Khi phương trình lượng giác có nhiều biểu thức cùng chứa nhân tử chung, chúng ta nghĩ tới việc chuyển phương trình về dạng tích (hoặc để giản ước nếu nhân tử chung ở dưới mẫu số) Sau đây thầy giới thiệu tới các bạn bảng các biểu thức chứa nhân tử chung thường gặp:

Bảng Tổng Kết Một Số Nhân Tử Chung Thường Gặp

Chung

Biểu Thức Chứa Nhân Tử Chung

1 sin x tan x; sin 2x; tan 2x; 1 cos 2x ; sin 3x…

2 cos x cot x; sin 2x; tan 2x; 1 cos 2x ; cos 3x…

3 sinxcosx

cos 2x; 1 tan x ; 1 cot x ; 1 tan x 2 ; 1 cot x 2 ; sin3xcos3x;sin

4

x 

  

 ; cos x 4



  

cos x;cot x2 ;sin2

x 

  

2 cos

x 

  

2 tan

x 

  

2 cot

x 

  

 ;2cosxsin 2x…

sin x; tan x2 ; sin2

2

x

; tan2 2

x

;cos2 2

x

; cot2 2

x

; 2sinxsin 2x…

6 1 2sin x cosxsin 2x; 2

1 4sin x ; 3 4cos x 2 ; 2cos 2x1;cotx2cosx; cos 3x…

7 1 2cos x sinxsin 2x; 2

1 4cos x ; 3 4sin x 2 ; 2cos 2x1; tanx2sinx; sin 3x…

Giải các phương trình sau:

1 (D – 2004): (2cosx1)(2sinxcos )x sin 2xsinx 2 (B – 2004): 5sinx 2 3(1 sin ) tan x 2x.

3 (A – 2003): cotx 1 cos 2 2 1

sin sin 2

x

 4. (D – 2003):

x



5 (A – 2011): 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x

 6. (B – 2005): 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

7 (D – 2011) : sin 2 2 cos sin 1 0

x

 8. (D – 2010) : sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0.

9 (A – 2007): (1 sin 2x) cosx (1 cos2x)sinx 1 sin 2 x 10 (A,A1 – 2013): 1 tan 2 2 sin

4

11 (B – 2011): sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcos x 12 (A,A1 – 2014): sinx4cosx 2 sin 2x

Hướng dẫn giải:

1 (D – 2004): (2cosx1)(2sinxcos )x sin 2xsinx

(2cosx1)(2sinxcos )x sin (x 2 oc sx1) (2cosx1)(sinxcos )x 0

2 (B – 2004): 5sinx 2 3(1sinx)tan2 x

Điều kiện: cos 0

2

x   x  n

(n) Khi đó phương trình đương đương:

2 sin 5sin 2 3(1 sin )

(1 sin )(1 sin )

x



2 2

(1 sin )(5sinx x 2) 3sin x 2sin x 3sinx 2 0

3 (A – 2003):cotx1 2 1

sin

cos

sin 2

2

x

Điều kiện: sin 2 0

x x





 , khi đó phương trình tương đương:

2 cos (cos sin )(cos sin )

sin

cos

x x

x

 cos

cos sin

(cosx sinx)(1 sin cosx x sin x) 0

4 (D – 2003): sin2 tan2 cos2 0

x



Điều kiện: cos 0

2

x   x  n

(n)

Khi đó phương trình tương đương:

2 2

1 cos

2

x

x





)(1 sin ) 2

1 sin

x

x

x







1 cos

1 sin

x

x





5 (A – 2011): 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x



Điều kiện: sinx  0 x n (n)

Ta có 2

2

1

1 cot

sin

x

x

  , do đó phương trình tương đương:

sin x(1 sin 2 x2cos x 1) 2 2 sin xcosx

2cosx(sinx cos )x 2 2cosx

x





6 (B – 2005): 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

1 sin 2x sinx cosx c so x sin x 0

2 (sinx cos )x sinx cosx (cosx sin )(cosx x sin )x 0

(sinx cosx)(sinx cosx 1 cosx sinx) 0

7 (D – 2011) : sin 2 2 cos sin 1 0

x





Điều kiện: cos 0

x x







 

Khi đó phương trình tương đương: sin 2x2cosx(sinx1)0

2cos (sinx x 1) (sinx 1) 0

     (sinx1)(2cosx 1) 0

8 (D – 2010) : sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0

cos 2 3sin 1

sin 2

2sin 3sin 2 2sin 1(sin 2)

x









Khi đó phương trình tương đương:

cos (x x ) ( x1)(sinx2)0

(sin cos 2) 0

(2sinx 1) x x

9.(A – 2007): 2 2

(1 sin x) cosx (1 cos x)sinx 1 sin 2 x

2 sinx cosx sin cos (x x sinx cosx) (sinx cosx)

(sinx cosx)(1 sin cosx x sinx cos )x 0

4

10 (A,A1 – 2013): 1 tan 2 sin

4 2

Điều kiện: cosx0

Phương trình tương đương: sin cos 2(sin cos ) (sin cos )(1 2 cos ) 0

cos

11 (B – 2011): sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcos x

2sin cosx x sin cosx x cosx 1 2sin x sinx

2sin (1 sin )(1 sin ) cos (1 sin )x x x x x (1 sin )(1 2sin )x x

(1 sin ) 2sin (1 sin ) cosx x x x 1 2sin )x 0

(1 sinx) 2sin x 1 cosx 0 (1 sin )(cos 2x x cosx) 0

12 (A,A1 – 2014): sinx4cosx 2 sin 2xsinxs ni 2x4cosx 2 0

sin (x x) 2( sx) 0 (1 2cosx)(sinx 2) 0

Phản xạ 5:Khi phương trình có mặt cos 2x thì ta dựa vào các dấu hiệu đi kèm để biến đổi:

cos 2x = cos2x  sin2x  (cos x  sin )(cos x x  sin ) x : Nếu có yếu tố sinxcosx

= 2cos2x  1: Nếu việc tạo ra “ –1” giúp ta khử số tự do

1 2sin x  : Nếu việc tạo ra “ +1” giúp ta khử số tự do

= cos 2x(Giữ nguyên): Nếu có 2cos3xcosx; sinx2sin3x; sin 2 cosx xsinx; cosxsin sin 2x x

Giải các phương trình sau:

1 (ĐHY – 2000) 3 3

sin xcos x cos 2x 2 (A,A1 – 2012) : 3 sin 2xcos 2x 2cosx1

3 (D – 2006): cos3x cos 2x cosx 1 0 4 (B – 2010): (sin 2x cos 2x ) cos x2cos 2x sinx0

5 2cos x3  3 sin x cos 2x 4sin x2 cos x2 6 (A – 2003): cot 1 cos 2 sin2 1sin 2

x



Hướng dẫn giải:

1 (ĐHY – 2000) 3 3

sin xcos x cos 2x

 (sinxcos )x (1 sin cos ) x x  (cosxsinx)(cosxsinx) (sinx cosx)(1 sin cosx x sinx cos )x 0

4

2 (A,A1 – 2012) : 3 sin 2xcos 2x 2cos x1

2 3 sin cosx x

2cos x12cos x12cos ( 3 sinx xcosx 1) 0

3 (D – 2006): cos3x cos 2x cosx10

2

1 2sin

2sin 2 sinx x 2sin x 0

4sin xcosx 2sin x 0

2sin x(2cosx 1) 0

4 (B – 2010): (sin 2x cos 2x ) cos x2cos 2x sinx0

 sin 2 cosx xsinx cos 2xcosx2cos 2x 0

2

sin (x x ) s 2x(cosx 2) 0

2cos x 3 sin cos 2x x4sin xcosx2

cos (x 2cos x 1) 3 sinxcos 2x 2(1 2sin x) 0

cosxcos 2x 3 sinxcos 2x 2cos2x 0

6 (A – 2003): cos 2 2

1 tan

1

2

x x

 

Điều kiện: sin 2 0

x x





 , khi đó phương trình tương đương:

2 cos si

si 1 o

s

s

i

c

x

x

x



 cos

cos sin

(cosx sinx)(1 sin cosx x sin x) 0

Phản xạ 6:Khi gặp các biểu thức “đồng dạng” hãy nghĩ tới việc nhóm để tạo tích và gặp phương trình chứa sin2x;cos2 x;1 sin 2x ; cos 2xhãy nghĩ tới các dạng tích của chúng :

+) 2

sin x (1 cos )(1 cos )x  x

+) cos2x (1 sin )(1 sin )x  x ;1 sin 2 x(sinxcos )x 2

+) cos 2x(cosxsin )(cosx xsin )x

( Xem thêm Phản xạ 3 )

Chú ý: Với sin x , 2 cos x ngoài cách phân tích như trên ta có thể nghĩ tới việc hạ bậc theo công thức 2

2 1 cos 2 sin

2

x

2

x

Giải các phương trình sau: 1 2cos3xcos 2xsinx0 2 sin 2 4 cos2 3 4 2 sin

4

3 1 2 sin 2 (1 tan ).sin

4

Hướng dẫn giải:

1 2cos3xcos 2xsinx0

2cos x2cos x 1 sinx0

2cos x(1 cos x) (1 sin )  x 0

 2(1 sin )(1 sin ) x  x (1cos ) (1 sin )x   x 0

 (1 sin ) x 2(1 sin )(1 cos ) 1 x  x   0

(1 sin ) 2(sinx x cos ) 2sin cosx x x 1 0

2 (1 sin ) 2(sinx  x cos ) (sinx x cos )x  0

(1 sin )(sinx x cos )(sinx x cosx 2) 0

      …

2 sin 2 4cos2 3 4 2 sin

4

1 cos

4

2 2

x







 2

 cos 2x (1 sin 2 ) x  4 2 sin

4

  

2 2(cosxsinx)(cosx sin )x (sinxcosx) 4(sinxcosx)

4 1 2 sin 2 (1 tan ).sin

4

Điều kiện : cos 0

2

x   x  n

(n)

Khi đó phương trình tương đương :

1 sin 2 xcos 2x(1 tan x)sinx

c

os

x x

sin

c

sin co

s

s )

o

x x x

x

4

Phản xạ 7:Khi phương trình có dạng: a sin 2x b cos 2x c sinx d cosx e 0 ta nghĩ tới việc biến đổi phương trình về dạng tích bằng một trong hai kĩ thuật sau:

I Nhóm, tách ghép để làm xuất hiện nhân tử chung ( xem lại kĩ thuật này qua các phản xạ 1, , , 5 và 6)

II Đưa phương trình về dạng: 2

A x B x C  hoặc Acos2x B cosx C 0 (A B C, , có thể chứa hàm lượng giác) , quan niệm là phương trình bậc 2 với sin x hoặc cos x (phương pháp hằng số biến thiên)

Giải các phương trình sau:

1 (D – 2010) sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0 2  6 6 

8 sin xcos x 3 3 sin 4x3 3 cos 2x9sin 2x11

3 (B – 2005): 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0 4 9sinx6cosx3sin 2xcos 2x8

Hướng dẫn giải:

1 (D – 2010) sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0

2 2sin cosx x (1 2sin x) 3sinx cosx 1 0

2

 sin x (2cos2  x3)sin xcosx 2 0

sin x

(2cosx 3) 8(cosx 2)

(2cosx5)

Suy ra: sin (2 cos 3) 2 cos 5 1

hoặc sin (2 cos 3) 2 cos 5 cos 2

4

x      x

+) Với sin 1

2

6

x  k 

6

x  k 

(k) +) Với sinx cosx 2 sinxcosx 2 (vô nghiệm)