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Nguyễn Minh Thành[Type text] Page 0 Phương trình Bất phương trình Hệ phương trình QUÀ TẾT NGUYÊN ĐÁN 2016 HAPPY NEW YEAR !.

Trang 1

Nguyễn Minh Thành[Type text] Page 0

Phương trình Bất phương trình

Hệ phương trình

QUÀ TẾT NGUYÊN ĐÁN

2016 HAPPY NEW YEAR !

Trang 2

Nguyễn Minh Thành – SP Toán, Phạm Hoàng Page 1

2

x  x  (1)

Do 2

x  x 

3

x  x  x  x  x    x x

 3

3

       

2 2 1 0

    (2) 2

x  x    x

S  1 2 

2x 2x 3x   1 1 x 2x

4 3 2

2x 2x 3x  1 0 (*)

2x 2x 3x  1 x  1 x x x 1

2x 2x 3x 1 x 1

     

2x 2x 3x 1 x 2x 1

      

1

x





S   1;0 

2x x  1 2 x1 x 1 x x

0

x

 



     (*)

Trang 3

 

2x x  1 2 x1 x 1 x  x 0

        

       

1 0

1 1

x

 



  

  



x1

S 1;

3x 2 2 2x 6x21 x6 2 x 2 2x5

5 2

2 x

  

a2  b2 c2 ab bc ca 

2x 6x21 x6 2 x 2 2x 8x29 2 2 x x4 2 x 2 x4

2

AM-GM

2 2x 5 3x 2 2x 6 2x  2 4 x

 2 2

V S   2

  

    

  

1

2

x

a x b,  2x1

2

 

   

 

Trang 4

              

S  1

Câu 6: (NMT) 2 3 3

2x 3x 1  x  1 x 1  x 1

0

 

   

 

      

 



3 x 1  x 1 2 x1 3 x 1 2 x  1 3 x 1 (1)   3 

f t  t    t 

( )f t 0;)

        

x   x x  x  x x    x x   f x  f x   (2)

3 x 1  x 1 0 (3)

3 x 1  x 1  f x 1 f x  1 0

‚ ‛ 21 1 0

1 0

x

     

 

     

 

S   1;0

Trang 5

Câu 7: (NMT) 2

2

1

x x

x

   





 



2

-

2

2 2

            

   



   

        

   



     



         

   



‚ ‛ x 1

S  1

 







u ki n: x0,y0

Áp d ng b ng th c Cauchy-Schwarz:

2

2x y5x 7y  x xy(2  5) 7y  x 2xy 5 y 7 (xy)(2xy12)

Suy ra:

2(x 3x 3y 7) (xy)(2xy12) x 3x 3y  7 (xy xy)( 6)

Ta ch ng minh: x33x23y3 7 (xy xy)( 6) Th t v y, ta có:

Trang 6

Theo b ng th c AM – GM:

2

3 3









V y d u '' '' ph i x y ra   x y 1 (th u ki n)

Thay x y 1 a mãn

V S   1;1

Câu 9: (PH)

 







u ki n: 28, 2 6 2; 6

   

 

2x2y 2 x y( 28)2y x280

          

2

28 0

   



          

  



V i 2

28

x y  c:

2yy  2 2(2yy ) 1 2(y 2 )y y 2y1

2yy t thành: 2

t

V i t1 suy ra 2 2

2yy  1 (y1)     0 y 1 x 29 (th u ki n)

Trang 7

V S 29;1  

 

2

2 2

    

   

  



       

u ki n:

3

2

  







   



 3 0

2

y  x ô

 3

2

y

2

3 2

y

2 2

2

1 1

2

x x



   

     

    

 

t

3 2

x

t

 thành:

2

1 2

 

 



(t 1)(t 2) t t(2 1) t t( 2) (t 1) (t t 2) 0 t 1 x 3 2y 0

                 

Áp d ng b ng th c Bunhiacopski:

2 2

2(x y 2)  1.(y 1) 1.(x2xy 3) (1 1)( y  1 x 2xy 3) 2(x2xy y 4)

2 2

2

      

      

     

               

V y x  y 2 3 2 y   y 2 3 2y2 3 2 y  1 0 ( 3 2 y1)20

Trang 8

D u '''' ph i x y ra 

3 2

y

  



      



  



(th a m u ki n)

V y h S(1;1) 

Câu 11: (PH)

 

2





u ki n:

1 0;

2 0

x y

  





  



Theo b ng th - :

M t khác, theo b ng th c Bunhiacopski:

4

2

        

D u '' '' x y ra   x y 1

 Cũ ể

V i x y thì x4   x2 2 x 42y  1 x 4 2x1

Theo AM-GM :

2

x

2 x x 2 3x 1 4(x x 2) (3x 1) (x 1) (4x 8x 7) 0 x 1

                

Trang 9

S(1;1) 

 

3







:

3 2

2

4

1 1

x y

x

 

x  x   x   :

 

4y  1 8xy 2y4xy ( x   1 1) 4y  1 2y4xy ( x  1 1) 3

T (3) x0, (3)

2

1

x

 

   

     

Xét hàm s

2

1

t

 

  có 3 2 2

4 2

1

t t

  

    



T (3) f(2 )y f 1 2y 1 2xy 1

 

  c:

3

4x 6x 3x 1 3 3x 6x 6x 2 0

3

6x 12x 12x 4 3 3x 6x 6x 2 2x 6x 9x 5

           

3

g u  u  u trên có 2

g u  u    x

Suy ra hàm s ô ng bi n trên

           

2

Trang 10

1;1

2

  

 

2 2





5x 4x 4 2(y1) 6 2 (2 )x  (x 2)  (y1)  (y 1) 6 2

Theo b ng th c Mincopski ta có:

6 2 (2 )x  (x 2)  (y1)  (y 1)  (2x y 1)    (x 2 y 1)

72 (2x y 1) (x y 3)

T (2) và (3)

(2x y 3) 4xy(2x y 1)   (x y 3)

2 2

2

            

         

      

      

D ‘’ ’’ y ra

2

1 1

x

y





    



S  2;1 

Câu 14: (PH)

       





      



u ki n: 1

2

x 

V i y0, h ô m

V i y0, h

Trang 11

Nguyễn Minh Thành – SP Tốn, Phạm Hồng Page 10

3

2

2 4







3

2

4 2



 



Xét hàm s 3

( )

f t  t t trên R cĩ 2

f t  t     t R f t ng bi n trên R

3

 

 

L + c:

2

4 3 2

(4 4 1) 2(2 1) 2 1 (2 1)

 

         

 

          

        

g u u  u u u g u  u  u  u  u

Suy ra hàm s g u ( ) ng bi n trên 0; f( 2x 1) f 1 2x 1 1

 

 

3 2

2

1

2

y





 

loại) vô nghiệm)

V y h vơ nghi m

Câu 15: (PH)

Trang 12

 

1 2 2 5 2

x

        



      



u ki n:

5 2 0

x y

 





 



Vì ( y 2 y1)( y 2 y 1) 1 :

1

x

          

             

             

   

      

      

       

      

0



2

x

   c: x  y 1 4 x 3 4 y

Theo b ng th

x  y x  y  x  y

           

D ‘’ ’’ y ra  x 4; y1 (th u ki n)

S  4;1 

 

    





      



u ki n: 1; 1 0

2

x x  y

:

Trang 13

2



Suy ra:

2



    (3)

2

y  xy y x  

2

x y  y x    y do x   y

T (3) và (4) suy ra: y  1 x 1 (th u ki n)

S   1;1

 

2

     





  



u ki n: 1

2

x

V i 1

2

x thì VT(1) 1 VP(1) 1 (y1) 2x 0  y 1

 

y  x  x yy  y x x

Xét hàm s 2

f t  t t trên 1;), f t'( )    2t 2 0, t 1, v y hàm s 2

ng bi n trên 1;), t (3) f y( ) f( 2 )x  y 2x trình:

2(x 2x 1) ( 2x1) 2x1

Trang 14

x



              



     

              

1;1

2

  

 

2







u ki n: x0

2

 

3

2x y x c:

x  x  x y y

3

         

Xét hàm s 3

( )

f t  t t trên có 2

f t  t    x , suy ra hàm s f t( ) ng bi n trên , l i có:

 

T 4 3 2

0 0

1 1

1

x

y

 









(th u ki n)

S 1; 1 , 0;0     

1

1 2016

x

y







Trang 15

u ki n:

0

y



  





2016 2015 (1 2016 )(1 2016 )

 

Ta luôn có: 1 2016 xy (1 2016 x2)(1 2016 y2) Th t v y, v i 1 2016 xy0, b ng

th ô ú t khác, v i 1 2016 xy0, b ng th

(1 2016 xy)  1 2016x 2016y (2016xy) 2016(xy) 0 ô ú

T (3) suy ra: x2016 *

2

41



2

41



T  * và  ** suy ra: x2016 y 2016 (th u ki n)

S 2016;2016  

Câu 20: (NMT)

6 20 9 16 2016 (2)





Trang 16

2

7 0

x

x y

y x

    

  

 

   



2016 y 7 6x 2016 9x  1 2017 3x1 y1

 

      

 

         

Do

1

3

9

x

y

 





 



1 9 3

x y y xy









‚ ‛ 1, 9

3

x y

1;9

3

  

Trang 17

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