Những bài toán đặc biệt về dãy số

Tài liệu này giúp các bạn muốn tìm tòi nhiều về môn toán và đặc biệt là phần đại số. Đây là tổng hợp những dạng đặc biệt của dãy số và nó còn có những bài tập ví dụ theo từng phần để bạn dễ hiểu hơn. Chúc các bạn học tập tốt

111Equation Chapter 1 Section 1

BÀI NGOẠI KHÓA NHỮNG BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT VỀ

DÃY SỐ

Hà Nội 12/2015

*Các dạng toán đặc biệt

Ví dụ 1 Xác định lim x n

1

n n

n

x

x

+

+

Tử số có n số 2

Đặt y n = 2+ 2+ +K 2

Chứng minh bằng quy nạp ta có

1

2 cos 2

+

=

Nên ta có

1 1

2 cos

2 1

n

n

x x

x

π + + =

+ Đặt

1

n n

a x

=

Khi đó ta có

1

1

n n

a a

+

Lại đặt

4 sin

2

n n

n

a b

π

=

Khi đó ta có

1 1

1 1

+ +

+ +

Suy ra

Suy ra

1 1

b

Vậy ta có lima n = ⇒1 limx n =1

Ví dụ 2 Xác định lim x n

và 1

n

i

=

Đặt

cos

cos

a a

θ

θ

→

= ¬  =

Khi đó ta có

2

1

2

a u

a a

θ θ

Bằng quy nạp ta có thể chứng minh được

1

1 cos 2

n

n

u

θ

−

=

Ta có:

1

n

n

x

θ

−

= × × ×K

1

1

2 2

cos 2 sin

2 2 lim

cos 2

n n

n

n

x

x

θ

θ

θ θ

−

−

(bởi vì ta có

sin

x

) Một số ví dụ tương tự

212\* MERGEFORMAT (.) limu n

1 3 1

3 sin

3

n i

i

=

= ∑

313\* MERGEFORMAT (.)Cho

1 2

a b

=

 < ≤

 =



1

2

n

x

+

+







Tính

lim , limx n y n

Nếu dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình cộng

n

+ + +

K

cũng có giới hạn là a

Xét dãy (yn) với yn=xn+1-xn thì ta có cách phát biểu tương đương như sau:

Nếu lim(xn+1-xn)=a thì

limx n

a

n =

Cách phát biểu thứ 2 có ứng dụng như sau: Để tìm số β

sao cho

n

x

nβ

có giới hạn hữu hạn,

ta cần tìm γ

sao cho

1 γ β

=

để áp dụng định lý trung bình cesaro nếu lim(x n 1 x n) a

γ γ + − =

thì 1

1

lim x n

a

n

γ

γ

 

 ÷=

 

Ví dụ 1(Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Mạc Đĩnh Chi TpHCM)

Cho dãy số thỏa mãn :

*

1

, 1

n n

n

u u

u

+

=







Tính

lim ( n )

→+∞

1 1 2

n

n

u

u

+

Chuyển qua giới hạn ta được :

1

L

L

+

Vậy nên

Từ đề bài ta có :

1

n

u

u + = u +

Xét:

2

1

1

n n

n

u u

u

=  + ÷+ = +

Do đó ta có :

( 2)

1

1 1 lim lim 2 n 2

u

+

Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có :

2

1/2

1 lim 2 lim lim

2

n

u n

−

−

Ví dụ 2 (THTT số 420)

Cho dãy số (x )n được xác định như sau :

1

1

1001 1003

x





Tính

( )

→+∞

Giải:

Từ công thức xác định dãy, ta có :

1

1

1

n

x x

x

+

−

+

Ta có 0< <x1 1

, giả sử 0<x n <1

Ta thấy :

2012 1

1

1

1

+

+

−

< = < ⇒ < <

+

Như vậy dãy giảm và bị chặn dưới bởi nên có giới hạn hữu hạn , chuyển qua giới hạn :

0 1

L

−

+

Do đó

Ta xét :

2011 2012 2012

1

1 1

1

−

−

Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta được :

1

1 1 lim lim n lim 1

n

x nx

+

Ví dụ 3Cho dãy số ( )x n

được xác định bởi x0 =1

và :

1

3 4

, 0,1, 2,

Tìm tất cả các số thực m sao cho dãy số

n m

x n

 

 

có giới hạn hữu hạn khác Giải

Ta thấy dãy

n m

x n

có giới hạn hữu hạn khác khi và chỉ khi dãy

1/m

n

x n

có giới hạn hữu hạn khác

Dễ thấy lim( )x n = +∞

Như vậy ta đi xét :

5/4

3 4

+

Đặt

5/4

1

n

n

y

x

=

thì :

5/4 5/4 16/15

5/4 5/4 4/15 1/15

5

15/4 10/4 5/4

20

5

4

n

n n

z

y t

+

+ −

=

Trong đó :

( )15/ 4 ( )10/ 4 ( )5/ 4 16/15

=>limz n =0

Từ đó theo định lí trung bình Cesaro :

5/4

n

Để ý thấy :

1 5 4

4

m

n

x

−

Nếu

4

m >

thì

1/

lim

m n

x n

  = +∞

Nếu

4

m <

thì

1/

lim

m n

x n

= +∞

Nên m =4/5

Một cách tổng quát hơn với dãy

1

thì điều kiện để

dãy có giới hạn

n

u n

β

 

 ÷

  hữu hạn khác 0 là β = − 1 max { a a1, , ,2 ak}

Nhận xét này chưa được chứng minh nhưng thông thường dùng được dự đoán cho những

ví dụ trên

Bài tập :1) Cho dãy số ( )x n

xác định bởi

2

1 ,

2 n n n

x = x + = x − x

Chứng minh rằng

( )

2)(VNTST 1993) Dãy số ( )a n

xác định bởi a1 = 1

và :

1

1

n

a

III. Một số bài toán đặc biệt khác

Ví dụ 1(THTT T3 2010)

Cho dãy số dương (un) Đặt

S =u + + + +u u K u n= K

Giả sử

1

1

n

S

−

Tìm lim un

Giải

Từ giả thiết ta có ngay:

3

S −S − =u > ∀ ≥n

ta thấy un là một dãy tăng

Vậy nên nếu Sn bị chặn trên thì Sn hội tụ là

3

1

limu n = lim(S n −S n− ) 0 = ⇒ limu n = 0

Nếu Sn không bị chặn trên thì limS n = +∞

Từ giả thiết ta có: S u n+1 n+1+ ≤u n S u n n+u n−1,∀ ≥n 2

Từ đây ta thu được S u n n+u n−1≤S u2 2+u1, ∀ ≥n 2

Do đó:

1 2 2 1

n n

u

suy ra lim un=0 Vậy lim un=0 cho cả hai trường hợp

Ví dụ 2 Cho dãy (an)

0

2 1

1999

1

n n

n

a

a a

a

+

=





 Tìm phần nguyên của an (với 0≤ ≤n 999

) Giải

Rõ ràng a n > ∀ ≥0, n 0

nên:

2

+

=>(an) là dãy giảm (1)

2 1

1 0

1 0 1

n n n

+ +

−

−

⇒ > − + ∀ ≥

⇒ > − − ∀ ≥

⇒ > − ∀ ≥

(2) Mặt khác ta lại có:

1999

1999

n n

n

n

−

−

−

−

K K K

Từ (1),(2) suy ra

0

n

n

< + + + ÷<

K

Từ (3),(4) Ta có:

n n

− < < − +

⇒ = − ∀ ≤ <

Ví dụ 3 Cho dãy (xn )xác định bởi

2

1 5, n 1 n 2 1

x = x + =x − ∀ ≥n

Tìm:

1

x

+

Giải

a) Gọi a là ngiệm lớn của phương trình:

2

x − x+ = ⇒ =a + >

Bằng quy nạp ta chứng minh được

1 1 2

2

1

n n

n

a

−

−

Lưu ý rằng

Ta có

1

1

2

1

2

1 2

1

1

n

n

n n

n

n

+

+

+ +

Do đó

1

1

2 1

1 2

2

1 1

1 1

n

n

n n

n

a

+

+

+

→+∞

+

− K

b) Với k∈ ∗¥

, ta có

2

−

−

Thay lần lượt và rút gọn được

1 1

2

n

x x

+

K

Do đó

1

n

x

+

Chú ý Có thể giải câu a như sau

Chứng minh dãy (xn) tăng, limx n = +∞

;

2

4

Ví dụ 4 Cho phương trình x + 2x2 + … + nxn =

3 4

với n nguyên dương

a Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, trên khoảng (0; +∞

), phương trình trên có nghiệm duy nhất, kí hiệu là xn

b Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn hữu hạn khi n→

+∞ Tìm giới hạn đó Giải

a) Xét hàm số fn(x) = x + 2x2 +…+nxn -

3 4

liên tục trên R và có

'

n

f

(x) = 1 + 22x + …+ n2xn – 1 và

'

n

f

(x) > 0 ∀ ∈x (0;+∞)

nên hàm số fn(x) tăng trên

(0;+∞)

Mà fn(0) = -

3 4

< 0, fn(1) > 0 nên phương trình fn(x) = 0 có duy nhất trong khoảng

(0;+∞)

b Ta có

1

n n

−

 = + + +   −

2

n n

f  = +   + +n  −

Trừ vế theo vế ta được:

1

n

f

−

+

 = + + +  − − =  − − − = − <

Do đó: xn >

1 ,

+

∀ ∈

Áp dụng định lý Lagrange, tồn tại

1

; 3

∈ ÷

sao cho:

'

4.3n n n n 3 n 3 n n n 3

n

 ÷

 

vì

' ( )

n n

f y

> 1 với yn > 0

Mặt khác

Ví dụ 5(diễn đàn toán học) Giả sử xn thuộc khoảng (0; 1) là nghiệm của phương trình

1

Chứng minh dãy (xn) hội tụ Tìm giới hạn đó

Giải

xn được xác định duy nhất vì hàm số

1

n

f x

liên tục và đơn điệu trên (0; 1)

Để chứng minh dãy hội tụ ta chứng minh dãy (xn) bị chặn và đơn điệu, hiển nhiên dãy bị chặn vì 0 < xn < 1 Bây giờ ta chứng minh dãy (xn) đơn điệu

Ta thấy 0 < xn < 1 nên

1

Trong khi đó fn+1(0+) > 0 Theo tính chất của hàm liên tục, trên khoảng (0; xn) có ít nhất một nghiệm của fn+1(x) Nghiệm đó chính là xn+1 Suy ra xn+1 < xn Tức dãy số (xn) giảm,

do dãy số này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn

Ta chứng minh dãy số trên có giới hạn bằng 0 Ta dễ dàng chứng minh kết quả sau:

1 1 1

+ + + + >

(Có thể chứng minh bằng cách đánh giá

ln 1

 + <

)

Thật vậy, giả sử

→+∞ = >

Khi đó do dãy (xn) giảm nên ta có xn

Do

+ + + + → +∞

khi n→ +∞

, nên tồn tại N sao cho với mọi n≥

N ta có

+ + + + >

Khi đó với mọi n≥

N thì

= + + + < + + + + < − =

Điều này mâu thuẫn Vậy phải có

lim n 0

→+∞ =

Ở ví dụ 4,5 chúng ta thấy công cụ cơ bản để khảo sát các dãy số cho bởi dãy các phương trình là các định lý cơ bản của giải tích (về hàm liên tục, hàm đơn điệu, định lý về sự hội

tụ của dãy số đơn điệu và bị chặn, định lý Lagrange) và mối liên hệ mang tính truy hồi giữa các phương trình Bài tập tương tự là (VMO2007,VMO2003)

Ví dụ 6 Cho dãy (xn) thỏa x1=a (a>1);x2 =1;x n+2 = −x n lnx n ∀ ∈ ∗n N

Đặt

1

2 1 1

n

k

=

Tìm

limS n

n

Giải

Ta có x2n =1

do ln1 0=

suy ra limx2n =1

Ta sẽ chứng minh limx2n+1 =1

Xét hàm số f x( )= −x lnx

liên tục và đồng biến trên khoảng (0;+∞)

vì

x

= − > ∀ >

Trước hết bằng quy nạp dãy (x2n+1) bị chặn dưới bởi 1 Theo giả thiết thì x1=a>1 Giả sử

2k 1 1

x + >

thì f x( 2k+1) > f(1) 1>

nên hiển nhiên x2k+3 >1

Tức là dãy (x2n+1) bị chặn dưới bởi 1

Do x2n+1>1

nên lnx2n+1>0

và vì vậy nênx2n+3−x2n+1= −lnx2n+1<0

Tức dãy (x2n+1) giảm từ

đó hội tụ Chuyển sang giới hạn ta tìm được lim x2n+1=1

Vậy dãy có giới hạn là 1

Theo định lý cesaro, ta có:

( 1) ln ( 2) ln ln

2

n

n

hay

n

−

−

+ + +

−

K

K