Ôn tập toán 9 cả năm tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế...
Trang 1- Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0
- Với mọi A ta có A2 = A Nh vậy: A2 = A nếu A ≥ 0 ; A2 = −A nếu A < 0
A.1.3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng
c Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dơng ta có thể chia số a cho
số b rồi khai phơng kết quả đó
A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a Đa thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0, ta có A B2 = A B, tức là
Trang 2a Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a; Với mọi a thì (3 a)3 = 3 a3 =a
Đẳng thức xảy ra khi f x i i( )( =1,n) cùng dấu
Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, , a… n là các số không âm, khi đó
A.2.2 Biến đổi tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Khi đó ta có
Trang 3a Rút gọn P; b Tính giá trị của P với x= −11 6 5 ; c.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4 Cho biểu thức : 1 : 3 2 2
c Tìm các giá trị củ m để có các giá trị của x thỏa mãn: M( x+ =1) m x( + −1) 2
Bài 5: Cho biểu thức:
a Rút gọn y ; b Tìm các giá trị nguyên của x để y có giá trị nguyên
Bài 11: Cho biểu thức: A= x+2 x− +1 x−2 x−1 với x ≥1
a Rút gọn A ; b Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 12: Cho biểu thức: A=2x+ x2−6x+9
a Rút gọn rồi tìm giá trị của A khi a = -5 ; b Tìm x khi A = 15
Bài 13: Cho biểu thức:
Bài 14: Cho biểu thức: Q = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1
a Chứng minh Q ≥ 0 với mọi x ; b Tính giá trị của Q khi 7 5
2
Bài 15: Cho biểu thức: A=3x− −1 4x2+ −9 12x
a Rút gọn biểu thức A ; b Tìm giá trị của x để A = 3
Trang 4
Bài 16: Rút gọn biểu thức: 2 1
2 1
4
A= x− − x − +x rồi tìm giá trị của x để A = 3/2
Bài 17: Cho biểu thức: ( )
−
=
a Rút gọn y ; b Tìm giá trị lớn nhất của y
Bài 18: Cho biểu thức: 2 9 3 2 1
a Rút gọn rồi tìm giá trị của x để Q < 1 ; b Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên
Bài 19: Cho biểu thức: 3 9 3 1 2
a Rút gọn P ; b Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
Bài 20: Cho biểu thức:
11
x M
−
=
a Rút gọn M ; b Tìm x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 22 Cho biểu thức
2 2
a Rút gọn A ; b Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên
Bài 23 Cho biểu thức 3 9 3 1 2
a Tìm điều kiện cỉa x để C có nghĩa ; b Rút gọn biểu thức C
c.Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên
Bài 24 Cho biểu thức
a Rút gọn P ; b Tìm các giá trị của x để P < -1/3 ; c Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 25 Cho biểu thức
a Tìm điều kiện của x để M có nghĩa ; b Rút gọn M
Bài 27 Cho biểu thức
a Rút gọn A ; b Biết xy = 16 Tìm giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Bài 28 Cho biểu thức
Trang 5a Tìm điều kiện để P có nghĩa ; b Rút gọn P
Bài 30 Cho biểu thức A x= 2− 2x2+ +1 x 8
a Rút gọn biểu thức A ; b Với giá trị nào của x thì A = -3
Bài 31: Cho
2
114( 1)
a Tìm điều kiện của x để A có nghĩa ; b Rút gọn A
Bài 32: Cho biểu thức: A= x2+2 x2− −1 x2−2 x2−1
a Tìm điều kiện của x để A có nghĩa ; b Tính giá trị của A khi x ≥ 2.Bài 33: Cho A 2 1 : x 1
a Tìm điều kiện của x để B có nghĩa ; b Tìm x để B > 0
Bài 35: Cho biểu thức: 2 1 2 ( )(1 )
a
+
=+
a Tìm các số nguyên a để M là số nguyên
b Chứng minh rằng với a = 4/9 thì M là một số nguyên
c Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên
Trang 6b Tìm các giá trị của a sao cho B > 1
c Tính giá trị của B nếu a= −6 2 5
Xác định x để giá trị của A là một số tự nhiên
Bài 47 Cho biểu thức 2 2 0 1
Trang 7• Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)
• Tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Phơng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi ờng thẳng (d): ax + by = c
b Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
• Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
• Minh họa tập nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có
Trang 8Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ
hai ẩn x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia và ngợc lại
b Cách giải
• Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ để đợc phơng trình hai ẩn
• Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích
• Giải phơng trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
• Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phơng trình trong hệ để đợc phơng trình một ẩn
• Giải phơng trình một ẩn vừa tìm đợc ròi suy ra nghiệm của hệ
c Ví dụ
• Giải hệ phơng trình
2 2
- Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phơng trình không
- Nếu x ≠0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phơng trình trong hệ
- Khử x rồi giải hệ tìm t
- Thay y = tx vào một trong hai phơng trình của hệ để đợc phơng trình một ẩn (ẩn x)
- Giải phơng trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
* Lu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tơng tự
15 93
Trang 9( ) 4( ) 45( ) 2( ) 3
212
Trang 10a Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình vô nghiệm
b Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phơng trình
c Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Bài 5 Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình
41
+ Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.
Bài 6 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình
b Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 3x – 7y = - 8 không ?
c Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 4,5x + 7,5y = 25 không ?
Bài 8 Cho hai đờng thẳng (d1): 2x – 3y = 8 và (d2): 7x – 5y = -5
Tìm các giá trị của a để đờng thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2)
Bài 9 Cho ba đờng thẳng
Trang 11Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
Bài 11 Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1)
Bài 12 Tìm các giá trị của m để
Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 15 Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức
P(x) = mx3 + (m + 1)x2 – (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x – 1) và (x + 2)
a Giải và biện luận hệ phơng trình
b trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình thỏa mãn điều kiện
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y)
Bài 21 Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình: 2 22 21
Trang 12a Giải và biện luận theo tham số m.
b Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên
a Giải và biện luận theo m
b Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dơng
b Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1
Bài 28 Giải và biện luận hệ phơng trình sau đây theo tham số m: 2 1
b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0
c Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên
a Giải và biện luận hệ đã cho
b Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức: 1 2 2
b Xác định m để M thuộc góc vuông phần t thứ nhất
c Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5
Trang 13a Giải và biện luận theo m.
b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên
c Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đờng thẳng cố định
d Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 2
2 .Bài 36 Giải và biện các hệ phơng trình:
b Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số
Bài 38 Cho hệ phơng trình (m là tham số ): 1
Bài 39 Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 – 4x – 6y – 8z +3 = 0
Bài 40 Với giá trị nào của m, hệ phơng trình:
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó.
Bài 44 Cho x, y là hai số nguyên dơng sao cho: 2 2 71
a Giải và biện luận hệ phơng trình trên
b Không giải hệ phơng trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất?
Trang 14b Giải và biện luận hệ phơng trình.
c Tìm giá trị nguyên của a để hệ phơng trình có nghiệm nguyên
d Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất
Bài 47 Lập phơng trình đờng thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết:
A(-1; 1), B(-1; 3)
A(1; 2), B(3; 2)
A(1; 5), B(4; 3)
Bài 48 Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD
Bài 49 Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.Bài 50 Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2) Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 51 Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm: 2( 1) ( 2) 3
b Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên
c Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
b Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất
2 Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình sau vô nghiệm
Trang 15b x
Bài 2 Cho hai phơng trình x2 + p1x + q1 = 0; x2 + q2x + q2 = 0
Chứng minh rằng nếu p p1 2 ≥2(q1+q2) thì ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm
Bài 3 Với giá trị bào của k thì hai phơng trình sau:
2x2 + (3k + 1)x - 9 = 0; 6x2 + (7k – 1)x - 19 = 0
Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó
Bài 4 Chứng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Bài 5 Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của m ột tam giác Chứng minh phơng trình sau vô nghiệm:
a2x2 + (a2 + b2 – c2)x + b = 0
Trang 16
Bài 6 Cho ba phơng trình
x2 + 2ax + ac = 0; x2 – 2bx + ab – c = 0; x2 + 2cx + c = 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình trên có nghiệm
Bài 7 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm nếu một trong hai điều kiện
sau đợc thỏa mãn
a a(a + 2b + c) < 0
b 5a + 3b + 2c = 0
Bài 8 Tìm các giá trị của k để phơng trình: kx2 – (1 – 2k)x + k – 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ
Bài 10 Cho phơng trình: 2x2 – 3x + 1 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Không giải phơng trình hãy tìm
giá trị các biểu thức sau:
a Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để biểu thức 2 2
1 2 6 1 2
A x= + −x x x đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: 3x2 + 5x – 6 = 0 Không giải phơng trình hãy lập phơng trình bậc
Bài 16 Cho phơng trình bậc hai: mx2 – (5m – 2)x + 6m - 5 = 0
a Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau
b Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Bài 17 Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn
2 2
1 2 1 210
A= x x + +x x đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó
Bài 18 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x1x2 - 2x1 – 2x2|
Bài 19 Cho phơng trình: x2 – mx + m – 1 = 0
a Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trang 17x2 + 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x2 + 2x + a) – 2(a – 1)(x2 + 1) = 0 (2)
Chứng minh rằng nếu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) vô nghiệm
Bài 25 Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + m – 1 = 0
a Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b Chứng minh rằng biểu thức: A = x1(1 – x1) + x2(1 – x2) tron đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m
Bài 26 Cho phơng trình (m – 1)x2 – 2mx + m + 4 = 0
a Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của
ph-ơng trình
c Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức: 1 2
2 1
502
Bài 28 Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x1, x2
a Chứng minh rằng phơng trình cx2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt
b Chứng minh rằng S = x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4
Bài 29 Cho phơng trình: x2 – (2m + 1)x + m2 + m = 0
a Biết rằng phơng trình có một nghiệm x1 = 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại
b Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức
-2 < x1 < x2 < 4
Bài 30 Tìm a sao cho nghiệm của phơng trình
x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + 1 = 0
Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài 31 Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng 12 Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau:
5Bài 34 Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình sau thỏa mãn điều kiện: 2 2
3 Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn x1 + 4x2 = 3
4 Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài 36 Cho phơng trình x2 – 2(m – 2)x + (m2 + 2m – 3) = 0
Trang 18Bài 46 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x3 – m(x + 1) + 1 = 0.
Bài 47 Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b và c:
Bài 53 Cho phơng trình bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực α mà af(α) ≤ 0 thì phơng trình có nghiệm
Trang 19
Bài 61 Tìm giá trị của m để một nghiệm của phơng trình 2x2 – 13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một nghiệm của phơng trình x2 – 4x + m = 0 (2)
Bài 62 Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c ≠ 0 Biết rằng các phơng trình
x2 + ax + bc = 0(1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó
Bài 70 Tìm m để phơng trình 3x2 – 4x + 2(m – 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
Bài 71 Tìm m để phơng trình (m – 1)x2 – (m – 5)x + (m – 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1
Bài 72 Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phơng trình x2 + x + m = 0 đều lớn hơn m?
Bài 73 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt:
x3 – (m + 1)x2 + (m2 + m – 3)x – m2 + 3 = 0
Bài 74 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm: (m – 3)x4 – 2mx2 + 6m = 0
Bài 75 Tìm giá trị của m để phơng trình: mx4 – 10mx2 + m + 8 = 0
1 Có bốn nghiệm phân biệt
2 Có bốn nghiệm x1, x2, x3, x4 (x1< x2< x3< x4) thỏa mãn điều kiện:x4 – x3 = x3 – x2 = x2 – x1
Bài 76 Cho phơng trình ẩn x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0
1 Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m
2 Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn điều kiện: 2 2
a Định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này
b Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
Trang 20
Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y2 + qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p – q)2
Bài 83 Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0
Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y2 + qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (a – c) (b – c) (a + d) (b + d) = q2– p2
Bài 84 Cho phơng trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0
1 Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m
2 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m
để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia
2 Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: E= x1 + x2 theo m
Bài 87 Cho phơng trình: 3x2 – mx + 2 = 0 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn: 3x1x2 = 2x2 – 2.Bài 88 Cho phơng trình: x2 – 2(m – 1)x – m = 0
1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
Bài 94 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm
mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b2
Bài 95 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm
mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb2 = (k + 1)2 ac
Bài 96 Cho hai phơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2)
a Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung
b Định m để hai phơng trình tơng đơng
c Xác định m để phơng trình: (x2 + mx +2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 97 Với giá trị nào của tham số a và b, các phơng trình:
(2a + 1)x2 – (3a – 1)x + 2 = 0 và (b + 2)x2 – (2b + 1)x – 1 = 0 có hai nghiệm chung
Bài 98 Với giá trị nào của tham số k, hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x2 + (3k + 1)x – 9 = 0 và 6x2 + (7k – 1)x – 19 = 0
Bài 99 Với giá trị nào của số nguyên p, các phơng trình sau đây có nghiệm chung: 3x2 – 4x + p – 2 = 0; x2 – 2px +
5 = 0
Trang 211 2
1 12
.Bài 103 Cho biết phơng trình: x2 + px + 1 = 0 có 2 nghiệm là a và b, phơng trình: x2 + qx + 2 = 0 có hai nghiệm b
và c Chứng minh hệ thức: (b – a)(b – c) = pq – 6
Bài 104 Cho các phơng trình:x2 – 5x + k = 0 (1) x2 – 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp hai một trong các nghiệm của phơng trình (1)
Bài 105 Cho hai phơng trình: 2x2 + mx – 1 = 0 (1) mx2 – x + 2 = 0 (2)
Với giá trị nào của m, phơng trình (1) và phơng trình (2) có nghiệm chung
Bài 106 Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình: 3x2 – cx + 2c – 1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức:
Bài 107 Xác định a để 2 phơng trình: x2 + ax + 8 = 0 và x2 + x + a = 0 có nghiệm chung
Bài 108 Cho phơng trình: 2x2 + 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 1 2
1 Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
2 Đặt x = t + 2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.Bài 112 Cho phơng trình: x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 6
1 Định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm
2 Định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x13−x23 =50
Bài 113 Chứng minh rằng phơng trình: (x + 1)(x + 3) + m(x + 2)(x + 4) = 0 Luôn luôn có nghiệm số thực với mọi giá trị của tham số m
Bài 114 Cho phơng trình: x2 – 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 3 3
1 2 72
Bài 115 Giả sử a và b là hai số khác nhau Chứng minh rằng nếu phơng trình:
x2 + ax + 2b = 0 (1) và x2 + bx + 2a = 0 (2) có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của (1) và (2) là nghiệm của phơng trình: x2 + 2x + ab = 0
Bài 116 Cho phơng trình: x2 – (m – 1)x – m2 + m - 2 = 0
1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m
2 Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E x= 12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 117 Cho hai phơng trình: x2 + a1x + b1 = 0 và x2 + a2x + b2 = 0
Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 + b2) Chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm
Bài 118 Cho ba phơng trình: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (3)
với a, b, c khác 0 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình trên phải có nghiệm
Trang 221 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m.
2 Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: 2 2
3 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 < 1
4 Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m.Bài 124 Cho phơng trình: x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0
1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m
2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau
Bài 125 Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0 Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 – x2 = 5 và 3 3
1 2 35
x − =x Tính các nghiệm đó
Bài 126 Giả sử phơng trình: ax2 + bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm dơng x1 thì phơng trình: ct2 + bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong đó t1 > 0 thỏa mãn: x1 + t1 ≥ 2
Bài 127 Cho hai phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2) (a, b, c khác 0)
Chứng minh rằng nếu (1) có hai nghiệm dơng x1, x2 thì (2) cũng có hai nghiệm x3 và x4 Ngoài ra các nghiệm đó thỏa mãn: x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4
Bài 128 Không giải phơng trình: 3x2 + 17x – 14 = 0 Hãy tính giá trị của biểu thức:
2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
3 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại Tìm các nghiệm đó
Bài 131 Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0 Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm là a và b
Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m
Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn điều kiện: x12+x22 ≥10
Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: 2 2
1 2
E x= +x đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 135 Cho 2 phơng trình: ax2 + bx + c = 0 và px2 + qx + r = 0 có ít nhất một nghiệm chung Chứng minh rằng ta có
hệ thức: (pc – ar)2 = (pb – aq)(cq – rb)
Trang 23E x= + +x x x đạt giá trị nhỏ nhất Tính min E.
Bài 139 Cho phơng trình: x2 + px – 1 = 0 (p là số lẻ) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Chứng minh rằng: nếu n là số tự nhiên thì: x1n+x2n và 1 1
b Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = 4 Tính nghiệm còn lại
Bài 141 Cho phơng trình: x2 – mx + m – 1 = 0 Có 2 nghiệm x1, x2 Với giá trị nào của m, biểu thức:
+ + + đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 142 Cho a là số thực khác -1 Hãy lập một phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các hệ thức: 4x1x2 +
x +x ≥ + Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 144 Cho a khác 0 Giả sử x1, x2 là nghiệm của phơng trình: 2
Bài 145 Cho phơng trình: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a Với giá trị nào của a, phơng trình có nghiệm kép Tính các nghiệm kép
b Xác định a để phơng trình có hai nghiêm phân biệt lớn hơn -1
Bài 146 Cho phơng trình: x2 – ax + a + 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2
a Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
a Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m
b Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 148 Cho phơng trình: ax2 + (ab + 1)x + b = 0
a Chứng minh rằng với mọi a, b phơng trình đã cho đều có nghiệm
b Muốn cho phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1/2 thì a và b phải bằng bao nhiêu?
Bài 149 Cho phơng trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0
a Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
b Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
c Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 2
2 1
52
Bài 150 Cho phơng trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0
a Giải và biện luận phơng trình theo m
b Khi phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2:
Trang 24
c Gọi x1, x2 là hai nghiệm Xác định m để biểu thức: E=(x1+1)x2 đạt giá trị lớn nhất
Bài 152 Cho phơng trình: x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0
a Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2
1 2
x =x Bài 153 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2 – 3x + a = 0
Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phơng trình: t2 – 12t + b = 0
a Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b Trong đó a, b là các số cho trớc và a ≠0
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b ≠0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠0)
Bớc 1 Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2 Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a ≠0) và (d’): y = a’x + b’ (a’≠0) Khi đó
