lý thuyết về chuyển vị và biến dạng

4.1.2 Chuyển vịSự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong môi trường khi môi trường chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác gọi là chuyển vị Chuy ển vị ƒ Chuyển vị cứng ƒ Ch

Tr ần Minh Tú

Đ ại học Xây dựng – Hà nội

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI

Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp

Chương 4

Lý thuyết về chuyển vị và biến dạng

NỘI DUNG

4.1 Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

4.2 Vận tốc và gia tốc chuyển động

4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé

4.4 Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính

4.5 Cường độ biến dạng

4.6 Ten-xơ quay

4.7 Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy

4.8 Điều kiện tương thích của các biến dạng

4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn

4.1 Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

4.1 Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

t

R

u

r b

1

u = MM = + − r b R

- Vec tơ chuyển vị của điểm M:

4.1.2 Chuyển vị

Sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong môi trường khi môi

trường chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác gọi là chuyển vị

Chuy ển vị

ƒ Chuyển vị cứng

ƒ Chuyển vị cứng

ƒ Chuyển vị gây biến dạng

ƒ Chuyển vị gây biến dạng

• Chuyển vị cứng: môitrường chuyển độngnhư vật thể cứng sang trạng thái mới, khoảngcách giữa các phần tửvật chất không thay đổi

• Khoảng cách giữa

các phần tử vật chấtthay đổi

4.1 Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

- Vec tơ chuyển vị của điểm M:

4.1 Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t đang xét

- Xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t=0 - toạ độ (biến số) Lagrange

(4.1)

• Cố định Xi thì phương trình (4.1) mô tả vị trí liên tiếp của điểm vật

chất M (quĩ đạo chuyển động)

• Cố định thời gian t thì (4.1) cho hình ảnh phân bố vật chất trong

môi trường tại thời điểm t

• Nếu cả Xi và t cùng thay đổi thì (4.1) xác định qui luật chuyển

động của môi trường

4.1 Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

• M ô tả Euler

• M ô tả Euler

Mô tả hiện tượng xảy ra tại điểm không

gian M1 ở thời điểm t

R

u r

xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t đang xét - toạ

độ (biến số) Euler

- Xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t=0 -

• Nếu cố định M1, thì phương trình (4.2) xác định dòng phần tử vật

chất lần lượt chuyển tới M1 theo thời gian t

• mô tả Euler phù hợp với việc nghiên cứu dòngchảy của chất lỏng, chất khí (áp lực, vật tốc dòngchảy, tại các điểm khác nhau của thành ống)

• mô tả Lagrange phù hợp với việc nghiên cứuquĩ đạo chuyển động

4.1 Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động

4.1.5 Quan hệ giữa hai biến số Euler và Lagrange

4.2 Vận tốc và gia tốc chuyển động

4.2 Vận tốc và gia tốc chuyển động

4.2.1 Đạo hàm vật chất:

Vận tốc thay đổi theo thời gian t của một đại lượng của phần tử vật

chất gọi là đạo hàm vật chất của đại lượng đó

A v

t

A dt

dA

i i

u X t du

,

v X t v X t dv

dv X t v X t a

4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé

4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé

4.3.1 Chuyển vị ở lân cận điểm đã cho

Nếu hai điểm khảo sát nằm trong

một mặt phẳng song song với một

mặt toạ độ, đồng thời song song

với một trong hai trục của mặt

4.3.2 Liên hệ vi phân giữa các thành phần chuyển vị và biến dạng bé

Xét biến dạng của phân tố vật chất chứa điểm M(xi)

M

Quan sát biến dạng của hình chiếu

phân tố trên mặt phẳng toạ độ Ox1x2

u x

ε = ∂

∂

2 22

2

u x

ε = ∂

∂

3 33

3

u x

2

u x

ε = ∂

∂

ij

1 2

j i

j i

u u

4.3.3 Ten xơ biến dạng bé

1 Biến dạng dài theo phương bất kỳ

Khảo sát một vi phân chiều dài ds = MK

2 Ten xơ biến dạng bé – Tenxơ lệch và tenxơ cầu biến dạng

Biến dạng dài theo phương bất kỳ, hoặc trạng thái biến dạng tại mộtđiểm của môi trường dặc trưng bởi 9 thành phần: 3 biến dạng dài theo

ba phương trục toạ độ và 6 biến dạng góc trong ba mặt phẳng vuônggóc với trục toạ độ => tenxơ biến dạng

•Tenxơ cầu biến dạng:

•Tenxơ cầu biến dạng:

Tε

ε ε ε

tb

ε = ε + ε + ε

4.3 Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé

4.4 Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính

• Tại một điểm luôn tồn tại ba phương vuông góc với nhau, trên baphương đó biến dạng trượt bằng không - gọi là phương biến dạng chính

• Các biến dạng tương ứng theo các phương này gọi là biến dạng chính,

• Xét góc quay của đường chéo MQ của hình

chiếu phân tố hình lập phương trên mặt

Ox1x2 quay quanh trục x3, ta ký hiệu là ω12

• Nếu qui ước góc quay là dương, khi đường chéo quay

ngược chiều kim đồng hồ ta có:

1 2

1 2

13

1 2

u u

2

j i

u u

4.7 Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy

• Vận tốc và gia tốc biến dạng là các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của biến

dạng theo thời gian

4.8 Điều kiện tương thích của các biến dạng

Hệ phương trình hình học Navier-Cauchy

1 11

1

u x

ε = ∂

∂

2 22

2

u x

ε = ∂

∂

3 33

3

u x

• B à i to á n thuận: biết 3 th à nh phần chuyển vị => 6 th à nh phần biến dạng: OK !!!

• Bài toán ngược: Biết 6 thành phần biến dạng => 3 thành phần chuyển vị ???

• B à i to á n ngược: Biết 6 th à nh phần biến dạng => 3 th à nh phần chuyển vị ???

có ràng buộc

3 ẩn, 6 phương trình => giữa các thành phần biến dạng phải

có ràng buộc

Cá c phân tố hình hộp đứng cạnh nhau trước biến dạng, giữa chúng không có khe hở

Nếu sự biến dạng của các

Cá c phân tố hình hộp đứng cạnh nhau trước biến dạng, giữa chúng không có khe hở

Nếu sự biến dạng của các ĐiềuĐiều kiện tương thíchkiện tương thích

4.8 Điều kiện tương thích của các biến dạng

Phương trình tương thích biến dạng

Nhóm 1: Quan hệ giữa các thành phần biến dạng trong một mặt phẳng

4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn

- Khi xác định tenxơ biến dạng bé ta đã bỏ qua bình phương của biến dạng bé

- Biến dạng là lớn (hữu hạn) thì biến dạng dài ενν2 không thể bỏ qua, nghiệm

của phương trình (*) phụ thuộc vào

To ạ độ vật chất Lagrange

2 2

1 2 ij i j

ds − ds = G dX dX

To ạ độ không gian Euler

To ạ độ không gian Euler

4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn

To ạ độ không gian Euler

To ạ độ không gian Euler

Tenxơ biến dạng Almansi 11 12 13

độ

4.9 Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn

4.9.3 Trường hợp biến dạng bé

- Tenxơ biến dạng Green và tenxơ biến dạng Almansi là hai cách mô tả trạng thái biến dạng tại một điểm của môi trường, chúng gồm hai thành phần: tuyến tính và phi tuyến của đạo hàm bậc nhất các thành phần chuyển vị

- Trong trường hợp biến dạng bé, các thành phần phi tuyến trong tenxơ biến dạng Green và Almansi có thể bỏ qua

Tenxơ biến dạng bé Green

Tenxơ biến dạng bé Euler

1 2

j i ij

j i

ij

j i

u u

- So sánh hai trường hợp, ta thấy khi xét biến dạng bé thì đạo hàm theo biến

tả Như vậy:

1 2

j i

ij ij ij

u u