Tổng hợp phương pháp hàm số có lời giải chi tiết của các trường chuyên trong cả nước giúp các bạn học sinh ôn tập về bộ môn vật lý. Từ đó đạt hiệu qura cao trong quá trình học tập cũng như trong kì thi THPT Quốc gia năm học sắp tới.
Trang 1A) Phương Pháp:
Với phương trình có dạng : f(x) = g(m)
Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:
Bước 1: Xem ñó là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của f (x) và g (m) Do ñó số nghiệm của phương trình là số giao ñiểm của 2 hàm số
Bước 2: Xét hàm số y = f (x)
• Tìm tập xác ñịnh D
• Tính ñạo hàm 'y , rồi giải phương trình y' = 0
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Kết luận:
• Phương trình có nghiệm ⇔ min f(x) ≤g(m) ≤ max f(x)
• Phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ dựa vào bảng biến thiên xem g (m) cắt f (x) tại
k ñiểm Suy ra giá trị cần tìm
• Phương trình vô nghiệm ⇔ hai hàm số không cắt nhau
Với bất phương trình có dạng : f(x) ≤ g(m)
Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:
Bước 1: Xét hàm số y = f (x)
• Tìm tập xác ñịnh D
• Tính ñạo hàm 'y , rồi giải phương trình y' = 0
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 2: Kết luận:
• Bất phương trình có nghiệm D∈ ⇔ miny ≤ g(m)
• Bất phương trình nghiệm ñúng ∀x ∈ D ⇔ maxy ≤ g(m)
Chú ý : Nếu f(x) ≥ g(m) thì:
• Bất phương trình có nghiệm D∈ ⇔ miny ≥ g(m)
• Bất phương trình nghiệm ñúng ∀x ∈ D ⇔ maxy ≥ g(m)
Chú ý chung :
Nếu có ñặt ẩn phụ t = h (x) Từ ñiều kiện của x chuyển thành ñiều kiện của t Có 3 hướng ñể tìm ñiều kiện :
• Sử dụng BðT Cô si cho các số không âm
• Sử dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki
• Sử dụng ñạo hàm ñể tim min và max ( lúc ñó t sẽ thuộc min và max )
B).Bài Tập Ứng Dụng :
Loại 1: Bài toán tìm m ñối với phương trình
Bài 1.Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm : a) x2 +x+ 1 − x2 −x+ 1 =m
b)x x+ x+ 12 =m( 5 −x+ 4 −x)
c) x + 9 −x = −x2 + 9x+m
d) 4 x2 + − x =m
1
Trang 2e) 4 x4 − 13x+m+x− 1 = 0
f) m( x− 2 + 2 4 x2 − 4 ) − x+ 2 = 2 4 x2 − 4
g) tan 2 x+ cot 2 x+m(tanx+ cotx) + 3 = 0
Bài làm :
a) x2 +x+ 1 − x2 −x+ 1 =m
Xét hàm số y = x2 +x+ 1 − x2 −x+ 1
• Miền xác ñịnh : D = R
• ðạo hàm :
1 2
1 2 1
2
1 2 '
2
−
− + +
+
=
x x
x x
x
x y
1 )
1 2 ( 1 )
1 2 ( 0 ' = ⇔ x− x2 +x+ = x+ x2 −x+
y
+
− +
= + +
−
>
+
−
⇔
) 1 (
) 1 2 ( ) 1 (
) 1 2 (
0 ) 1 2 )(
1 2 (
2 2 2
2
x x x
x x x
x x
⇔ vô nghiệm
Mà y' ( 0 ) = 1 > 0 nên hàm số ñồng biến trên R
• Giới hạn :
1 1
2 lim
) 1 1
( lim lim
2 2
2
+
− + + +
= +
−
− + +
=
+∞
→ +∞
→ +∞
→
x x x
x
x x
x x
x y
x x
x
1 1 1
2 lim
lim
2
+
− + + +
=
−∞
→
−∞
→
x x x
x
x y
x x
• Bảng biến thiên :
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi − 1 <m< 1
b) x x + x+ 12 =m( 5 −x + 4 −x) ðiều kiện :
4 0
0 4
0 5
0 12
0
≤
≤
⇔
≥
−
≥
−
≥ +
≥
x
x x x
x
(*)
Viết phương trình về dạng :
m x x
x x
Xét hàm số : y= (x x + x+ 12 )( 5 −x− 4 −x)
• Miền xác ñịnh : D=[ ]0 , 4
x − ∞ + ∞
'
y 1
-1
Trang 3• Nhận xét rằng :
- Hàm h(x) = (x x+ x+ 12 )là hàm ñồng biến trên D
- Hàm g(x) = 5 −x− 4 −x có :
D x x
x
x x
x
−
−
−
−
−
4 5 2
4 5
) (
⇒ y = h(x).g(x) là hàm ñồng biến trên D
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi : f( 0 ) ≤m≤ f( 4 )
12 )
2 5 (
c) x+ 9 −x = −x2 + 9x+m
ðiều kiện :
0 9
0
≤
≤
⇔
≥
−
≥
x x
x
Biến ñổi phương trình : 9 + 2 x( 9 −x) = −x2 + 9x+m
m x x x
Xét hàm số y =x2 − 9x+ 9 + 2 −x2 + 9x
• Miền xác ñịnh : D=[ ]0 , 9
• ðạo hàm :
x x
x x
y
9
) 9 2 ( 9 2 '
2 +
−
+
−
−
−
=
9
1 1
) 9 2 ( 0 '
+
− +
−
⇔
=
x x x
y
2
9
=
⇔ x
• Bảng biến thiên :
Vậy phương trình có nghiệm khi : 9
4
9
≤
≤
d) 4 x2 + − x =m
1
ðiều kiện : x≥ 0 Xét hàm số : y= 4 x2 + − x
1
• Miền xác ñịnh : D= ,[0 +∞)
x
0
2
9 9 '
y – 0 +
y 9 9
4 9
−
Trang 4• ðạo hàm :
x x
x y
2
1 ) 1 ( 2
'
+
=
) 1 ( 0
' = ⇔x x = x +
y
) 1 ( +
=
⇔ x2 =x2 + 1 (vô nghiệm) Suy ra y ' x( ) không ñổi dấu trên D, mà 0
2
1 8 2
1 ) 1 ( '
4 − <
=
y
Do ñó y' (x) < 0 ∀x∈D ⇔hàm số ñồng biến
• Giới hạn:
0 ) 1 )(
1 (
1 lim
) 1 (
lim lim
2
4 2
+ + +
+
=
− +
=
+∞
→ +∞
→ +∞
→
x x
x x
x x
y
x x
x
• Bảng biến thiên:
Vậy phương trình có nghiệm khi : 0< m≤ 1
e) 4 x4 − 13x+m+x− 1 = 0
Biến ñổi phương trinh : 4 x4 − 13x+m = 1 −x
−
= +
−
≥
−
) 1 ( 13
0 1
x m
x x
x
= +
−
−
≤
⇔
m x x
x
x
13 )
1 (
1
4 4 Xét hàm số y= ( 1 −x) 4 −x4 + 13x
• Miền xác ñịnh : D=(− ∞ , 1]
• ðạo hàm :
y' = − 4 ( 1 −x)3− 4x3 + 13 = − 12x2 + 12x+ 9
y' = 0 ⇔ − 12x2 + 12x+ 9 = 0
−
=
=
⇔
) ( 2 1
) ( 2 3
n x
l x
• Giới hạn : = [ − − + ]= +∞
−∞
→
−∞
x
xlim lim ( 1 ) 4 4 13
• Bảng biến thiên:
x 0 + ∞
'
y 1
0
Trang 5Vậy ñể phương trình có nghiệm khi :
2
3
−
≥
m
4 2
2 )
4 2
2 ( x− + x − − x+ = x −
m
ðiều kiện : x≥ 2
VP
VT
≠
⇔
=
−
= 0
2
(loại) Khi x> 2 : Chia 2 vế cho 4 2
4
−
x ta ñược :
2
2 2
2
2
4
−
+
−
+ +
−
x
x x
x
ðặt 4
2
2
−
+
=
x
x t
Tìm ñiều kiện cho t
2
2 )
−
+
x
x x f
ðạo hàm :
0 2
2 2
1
2
2 4
1 2
2 )
( '
4
3 2
4
3
'
<
−
+
−
−
=
− +
−
+
=
x
x x
x x x
x x f
Suy ra hàm số f (x) nghịch biến ∀x> 2
1 )
( lim ) ( > ⇔ >
⇔
+∞
x f
x
Cách 2: Ta có x> 2
2
2
−
+
=
x
x t
2
2 4
−
+
=
⇔
x
x t
1
) 1 ( 2
2 )
2 (
4 4 4
−
+
=
⇔
+
=
−
⇔
t
t x
x x
t
Do ñó:
>
−
<
⇔
−
<
>
⇔
>
−
⇔
>
−
⇔
>
− +
1
1 1
1 0
1
0 1
4 2
1
) 1 ( 2
2
2 4
4 4
4
t
t t
t t
t t
t
x − ∞
2
1
− 1 '
y — 0 +
y + ∞ 12
2 3
−
Trang 6Mặc khác t > 0 ⇒t > 1
1 2
2 2
2
t f m g t
t t m t
t
+
+
=
⇔
=
−
+
⇒
Xét hàm số
1 2
2 )
( 2 +
+
=
t
t t t f
• Miền xác ñịnh : D= ,(1 +∞)
+
+ +
1 2
2 2 2 ) (
2
t
t t t
• Giới hạn : = +∞
+∞
→ ( )
lim f t
t
• Bảng biến thiên:
Vậy ñể phương trình có nghiệm : g(m) > 1 ⇔m> 1
g) tan2 x+ cot2 x+m(tanx+ cotx) + 3 = 0 ðặt t= tanx+ cotx⇒t2 = tan2 x+ cot2 x+ 2
Tìm ñiều kiện cho t :
2 cot
tan 2 cot tan
cot
t
(vì tanx cotx= 1 )
2
t
t m mt
Xét hàm số
t
t t
2 +
=
• Miền xác ñịnh: D= ( −∞ , − 2 ) ∨ ( 2 , +∞ )
t
t t
f' ( ) = −1> 0 ∀ ∈
2 2
±∞
→
±∞
t t
f
t t
1 lim ) ( lim
2
• Bảng biến thiên :
x 1 + ∞
'
y + ∞
1
x − ∞ − 2 2 + ∞ '
y + +
y
2
5
− + ∞
∞
−
2 5
Trang 7Vậy ñể phương trình có nghiệm:
>
−
<
2
52 5
m m
Bài 2.Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt
a) 4 2x+ 2x+ 2 4 6 −x+ 2 6 −x =m
b) x4 − 4x3 + 16x+m+4 x4 − 4x3 + 16x+m = 6
Bài làm :
a) 4 2x+ 2x+ 2 4 6 −x+ 2 6 −x =m (1)
0 6
0 2
≤
≤
⇔
≥
−
≥
x x
x
Xét hàm số y= 4 2x+ 2x+ 2 4 6 −x+ 2 6 −x
• Miền xác ñịnh: D=[ ]0 , 6
• ðạo hàm
x x
x x
y
−
−
−
− +
=
6
1 )
6 ( 2
1 2
1 )
2 ( 2
1 '
0 6
1 2
1 )
6 ( 2
1 )
2 ( 2
1 0
'
−
− +
−
−
⇔
=
x x
x x
y
0 6
1 2
1 )
6 ( 2
1 6
1 2
1 2
1 6
1 2
1
4 4
4 4
− + +
−
+
−
+
−
−
⇔
x x
x x x
x x
x
4
1 2
1
x
⇔
x
2
=
⇔ x
• Bảng biến thiên:
ðể (1) có hai nghiệm phân biệt: 2 ( 4 6 + 6 ) ≤m< 3 ( 4 4 + 4 )
x 0 2 6 '
y + 0 —
y 3 ( 4 4 + 4 )
) 6 6 (
2 4 + 4 12 + 12
Trang 8b) x4 − 4x3 + 16x+m+4 x4 − 4x3 + 16x+m = 6
ðặt t=4 x4 − 4x3 + 16x+m (t≥ 0 )
Lúc ñó : t2 +t = 6 ⇔t2 +t− 6 = 0
− = = ⇔ ) ( 3 ) ( 2 l t n t Với t= 2 ⇔x4 − 4x3 + 16x+m= 16 ⇔ x4 − 4x3 + 16x= 16 −m (*) Xét hàm số : f(x) =x4 − 4x3 + 16x • Miền xác ñịnh: D = R • ðạo hàm : f' (x) = 4x3 − 8x2 + 16 f' (x) = 0 ⇔ 4x3 − 8x2 + 16 = 0
= − = ⇔ 2 1 x x • Giới hạn = − + = +∞
+∞ → +∞ → ( ) lim ( 4 16 ) lim f x x4 x3 x x x = − + = +∞
−∞ → −∞ → ( ) lim ( 4 16 ) lim f x x4 x3 x x x • Bảng biến thiên: Vậy ñể có hai nghiệm khi : 16 −m> − 11 ⇔m< 27 3.Tìm m ñể phương trình mx2 + 1 = cosx có ñúng 1 nghiệm thuộc ) 2 , 0 ( π Bài làm: Biến ñổi phương trình: mx2 = cosx− 1 (1) Nhận xét: (1) có nghiệm khi m≤ 0 ( vì m> 0 lúc ñó VT > 0 , VP< 0 ) Lúc ñó (1) m x x x x m = − ⇔ − = ⇔ 2 2 2 2 4 2 sin 2 1 cos x − ∞ -1 2 + ∞
' y — 0 + 0 +
y + ∞ + ∞
16
-11
Trang 9m
x
x
2 2
2 sin 2
2
−
=
⇔ (2)
ðặt
2
x
∈
⇒
∈
4 , 0 2
,
t x
t
t m
t
t
2
sin 2
2
2
−
=
⇔
−
=
⇔
Xét hàm số:
t
t t
f( ) = sin
• Miền xác ñịnh
= 4 ,
0 π
D
t
t t t t
t t t t
f' ( ) = .cos 2−sin = cos .( −2 tan ) < 0 ∀ ∈ ( vì t∈D⇒ cost> 0 , tant<t )
Do ñó hàm f (t) nghịch biến
• Giới hạn : lim ( ) lim sin 1
0
=
→
t t
f
t t
• Bảng biến thiên:
Vậy ñể phương trình có ñúng một nghiệm :
2 2
2 2
4 2
1 1 2
8 1 sin
8 1 ) ( 2 2
π π
π
<
⇔
<
t
t t
f
4.Tìm m ñể phương trình m x2 + 2 = x+m có ba nghiệm phân biệt
Bài làm:
Biến ñổi phương trình: m( x2 + 2 − 1 ) =x
1 2
2 + −
=
⇔
x
x
m (vì x2 + 2 ≥ 2)
Xét hàm số
1 2 )
(
2 + −
=
x
x x
f
• Miền xác ñịnh : D = R
t
0
4
π
) (
' t
)
(t
f 1
π
2 2
Trang 10
• ðạo hàm :
2 2 2 2 ) 1 2 ( 2 2 2 ) ( ' − + + + − = x x x x f f' (x) = 0 ⇔ x2 + 2 = 2 ⇔ x= ± 2 • Giới hạn 1
1 ) 1 2 ( lim 1 2 lim ) ( lim 2 2 2 = + + + = − + = +∞ → +∞ → +∞ → x x x x x x f x x x 1
1 ) 1 2 ( lim 1 2 lim ) ( lim 2 2 2 = − + + + = − + = −∞ → −∞ → −∞ → x x x x x x f x x x • Bảng biến thiên: Vậy ñể phương trình có 3 nghiệm phân biệt: − 2 <m< 2 Loại 2: Bài toán tìm m ñối với bất phương trình Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x a) x2 − 6x+ 5 + 2mx> 1 b)m 9x − 3x + 1 ≥ 0 c)m.x4 − 4x+m≥ 0 Bài làm : a) Xét hàm số : y= f(x) = x2− 6x+ 5 + 2mx
< < − + + − = ≥ ∨ ≤ + − + = = ) 5 1 ( 5 ) 3 ( 2 ) ( ) 5 1 ( 5 ) 3 ( 2 ) ( ) ( 2 2 2 1 x x m x x f x x x m x x f x f
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x
{ ( 1 ), ( 5 ), ( 3 )} 1 min 1 ) ( min > ⇔ 1 1 1 − > ⇔ f x f f f m 1 5 0 5 6 10 1 2 1 1 ) 3 ( 1 ) 5 ( 1 ) 1 ( 2 1 1 1 < < ⇔ < + − > > ⇔ > − > > ⇔ m m m m m m f f f Vậy với 1< m< 5 bất phương trình có nghiệm ñúng với mọi x x − ∞ − 2 2 + ∞
' y — 0 + 0 —
y −1 2
− 2 1
Trang 11b) ðặt t= 3x (t> 0 )
2 2
2
t f m g t
t m t
mt t
t
Xét hàm số ( ) 21
t
t t
=
• Miền xác ñịnh D= ,(0 +∞)
2 2 ) ( '
t
t t t
=
=
⇔
=
−
⇔
=
2
0 0
2 0 ) (
t
t t
t t
f
• Giới hạn : lim ( ) lim 2 4 0
2
=
=
+∞
→ +∞
t t t
f
x x
• Bảng biến thiên:
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x ⇔g(m) ≥ max f(t)
4
1
≥
⇔ m
c) Biến ñổi bất phương trình có dạng : m(x4 + 1 ) ≥ 4x
( ) ( )
1
4
x
x
+
≥
⇔
Xét hàm số
1
4 ) (
4 +
=
x
x x
f
• Miền xác ñịnh D = R
• ðạo hàm ( 4 )2
4
1
12 4 ) ( '
+
−
=
x
x x
f
4 3
1 0
) ( ' x = ⇔x= ±
f
• Giới hạn : lim ( ) = 0
±∞
→ f x
x
• Bảng biến thiên:
x 0 2 + ∞
'
y + 0 —
y
4
1
∞
− 0
Trang 12Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x
4 27 )
( max )
Bài 2: Tìm m ñể bất phương trình có nghiệm
a)mx− x− 3 ≤m+ 1
2
sin
3 3
c) x2 − 4x+ 3 + 2mx− 6 > 0
Bài làm :
a) mx− x− 3 ≤m+ 1
ðiều kiện : x≥ 3
ðặt t= x− 3 (t≥ 0 )
Lúc ñó : m(t2 + 3 ) −t≤m+ 1
2
1 1
) 2
+
+
≤
⇔ +
≤ +
⇔
t
t m t
t m
⇔ g(m) ≤ f(t) Xét hàm số:
2
1 )
(
2 +
+
=
t
t t f
• Miền xác ñịnh D= ,[0 +∞)
• ðạo hàm (2 )2
2
1
2 2 )
( '
+
+
−
−
=
t
t t t f
3 1 0
) ( ' t = ⇔ x= − ±
f
2
1 lim ) (
+
+
= +∞
→ +∞
t t
f
t t
• Bảng biến thiên :
ðể bất phương trình có nghiệm:
4
1 3 )
( max )
m t f m
g
y 0 4 27
− 4 27 0
x 0 − 1 + 3 + ∞
'
y + 0 —
y
4
1
3 +
2
1
0
x − ∞
4 3
1
−
4 3
1 + ∞ '
y — 0 + 0 —
Trang 13b) 2 sin x + 3 cos x ≥m 3 sin x (*)
Chia 2 vế của (*) cho sin2x
3 ta có:
) 1 ( 9
1 3 3
2 3
3 3
2
2 2
2
2 2
sin sin
sin
sin 1 sin
m m
x x
x
x x
≥
+
⇔
≥ +
Xét hàm số
x x
y
2 2
sin sin
9
1 3 3
2
+
Lúc ñó :
0 0
sin sin
1 1
2
9
1 3 3
2 9
1 3 3
2 9
1 3 3
2 1 sin 0
2 2
+
≤
+
≤
+
⇔
≤
≤
x x
x
⇔ 1 ≤ y≤ 4
ðể (1) có nghiệm maxy≥m⇔m≤ 4
c) x2 − 4x+ 3 + 2mx− 6 > 0 (*)
Xét hàm số f(x) = x2 − 4x+ 3 + 2mx− 6
≤
≤
− + +
−
=
≥
∪
≤ +
− +
=
=
⇔
) 3 1
( 9 ) 2 ( 2 )
(
) 3 1
( 5 ) 3 ( 2 )
( ) (
2 2
2 1
x x
m x
x f
x x
x m x
x f x f
Vậy (*) có nghiệm ⇔ max f(x) > 0 ⇔ max{f2( 1 );f2( 3 ); f2(m+ 2 )}> 0
<
<
⇔
>
+
−
>
+
>
−
⇔
>
+
>
>
0 5 6
0 5 6
0 6 2
0 ) 2 (
0 ) 3 (
0 ) 1 (
2 2
2
2
m m
m m m
m f f f
Bài 3: Tìm tất cả m ñể bất phương trình 3 13
2 3
x mx
Bài làm:
Biến ñổi bất phương trình về dạng: 3 13
2 3
x x
3
3
x
x x
≤
3 6
1 2 )
(
x
x x x
• Miền xác ñịnh : D= ,[1 +∞)
x
x x x
x x x
f' ( ) = 2 −2 +4 = 2 ( −1)+4 > 0 ∀ ∈
5
3 3 5
3 6
+∞
→ +∞
3 6
4 2 2 lim ) ( lim
x
x x x
f
x x
• Bảng biến thiên :
Trang 14ðể bất phương trình nghiệm ñúng với x≥ 1
) ( ) ( min f x ≥ g m
⇔
3
2 2
Bài 4: Tìm tất cả m ñể bất phương trình m
x
x
≥
−1 log
log 2 2
2
2 nghiệm ñúng với mọi x> 0
Bài làm:
ðặt t= log22 x
Tìm ñiều kiện cho t : Vì x> 0 ⇔t > 1 Lúc ñó : ( ) ( ) 1 m f t g m t t ≥ ⇔ ≥ − Xét hàm số 1 ) ( − = t t t f • Miền xác ñịnh D= ,(1 +∞) • ðạo hàm : ( ) 3 12 2 2 ) ( ' − − = t t t f 2 0 ) ( ' t = ⇔t = f • Giới hạn : ( − ) = − = +∞ → +∞ → 3 12 2 2 lim ) ( lim t t t f t t + ∞ ( − ) =+∞ − = + + → → 1 1 3 2 1 2 2 lim ) ( lim t t t f t t • Bảng biến thiên : ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x> 0 ⇔ f(t) ≥ g(m) ∀t > 0 ⇔ min f(t) ≥ g(m) ⇔ 1 ≥m Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình m x x < log4(− 2−2 +3 ) 4 3 nghiệm ñúng với mọi (− 2 , 0) ∈ x y + ∞
2
x 1 2 + ∞
' y — 0 +
y + ∞ + ∞
1 x 1 + ∞
'
Trang 15Bài làm:
ðiều kiện : −x2 − 2x+ 3 > 0 ⇔ − 3 < x< 1 Nhận xét : ñề bài yêu cầu thoả mãn x∈(− 2 , 0)
Do ñó ta xét giao của hai tập hợp trên : x∈(− 2 , 0)
Xét hàm số : ( ) log ( 2 2 3 )
x f
• Miền xác ñịnh D=(− 2 , 0)
• ðạo hàm
) 3 2 (
2 ln 2
2 2 4
ln
) 3 2 ln(
) (
' 2
+
−
−
−
−
=
=
x x
x x
x x
f
1 0
) ( ' x = ⇔x= −
f
• Bảng biến thiên:
Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
) 0 , 2 (−
∈
⇔
<
⇔
3 log4 4
3 )
( max
Loại 3: Bài toán tìm m ñối với hệ phương trình
Bài 1: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm:
= +
= +
−
) 2 ( 2
) 1 ( 0
xy y
m y
x
Bài làm:
Từ (2) suy ra:
+
−
=
≥
−
y
y y x
y
4 4
0 2
2
2
y f m g y
y m m
y y
y y
=
⇔
−
=
⇔
= +
− +
−
Xét hàm số
y
y y
f( )= 4 −4
• Miền xác ñịnh D=(− ∞ , 2]\{ }0
• ðạo hàm ' ( ) 4 0
2 >
=
y y
f Hàm số ñồng biến trên D
• Giới hạn
x − 2 − 1 0 )
(
' x
f + 0 — )
(x
f 1
3 log4 log43
Trang 16=
−∞
=
=
− +
→
→
−∞
→
) ( lim
) ( lim
4 ) ( lim
0
0
y f
y f
y f
y y y
• Bảng biến thiên :
Vậy ñể hệ có nghiệm : m∈ ( −∞ , 2 ] ∪ ( 4 , +∞ ) Bài 2: Xác ñịnh m ñể hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt
=
− +
−
>
−
− +
+
− 2 5 ( 2 ) log
) 5 2 (
log
) 1 ( 4 log ) 1 ( log ) 1 ( log
5 2
2 2
3 3
3
2 x x
m x
x
x x
Bài làm :
ðiều kiện x> 1
1
1 4
log 1
1 log 3 3 > ⇔ < <
−
+
⇔
>
−
+
x x
x x
x
ðặt t= log2(x2 − 2x+ 5 ) Tìm ñiều kiện của t:
• Xét hàm số ( ) log ( 2 2 5 ) ( 1 , 3 )
x f
) 3 , 1 ( )
5 2 (
2 ln
2 2 )
( '
+
−
−
x x
x x
f
Hàm số ñồng biến nên ta có f( 1 ) < f(x) < f( 3 ) ⇔ 2 <t< 3 Nhận xét số nghiệm của x thông qua t
• Ta có 2 − 2 + 5 = 2t ⇔ ( − 1 )2 = 2t − 4
x x
x
Suy ra ứng với mỗi giá trị t∈ ( 2 , 3 ) thì ta luôn có một giá trị x∈ ( 1 , 3 )
t
m
t− = 5 ⇔ 2 − 5 = Xét hàm số f(t) =t2 − 5t ∀t∈ ( 2 , 3 )
• ðạo hàm :
2
5 0
5 2 ) ( ' t = t− = ⇔t=
f
• Bảng biến thiên :
x − ∞ 0 2 '
y + +
y + ∞ 2
4 − ∞