7 thi online các bài toán liên quan đến mặt cầu và mặt phẳng có lời giải chi tiết

Mục tiêu đề thi Đề thi xét hai bài toán liên quan đến mặt cầu và mặt phẳng: Bài toán tiếp xúc: Xét mặt cầu S có tâm I bán kính R và mặt phẳng P.. Khi đó S tiếp xúc với P IHR Bài toán

ĐỀ THI ONLINE – TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

MÔN TOÁN: LỚP 12

I Mục tiêu đề thi

Đề thi xét hai bài toán liên quan đến mặt cầu và mặt phẳng:

Bài toán tiếp xúc:

Xét mặt cầu (S) có tâm I bán kính R và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu

vuông góc của I xuống mặt phẳng (P) Khi đó

(S) tiếp xúc với (P) IHR

Bài toán cắt nhau:

(S) và (P) cắt nhau tạo ra giao tuyến là 1 đường

tròn

IA R : bán kính của mặt cầu

HA r : bán kính của đường tròn giao tuyến

IH d I; P khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P)

Ta có: IA2  AH2IH2

II Nội dung đề thi

Câu 1: (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;-1) và tiếp xúc với mặt

phẳng ( ) có phương trình 2x2y  z 3 0 Bán kính của (S) là

2

4

3

Câu 2: (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;-1) và đi qua điểm

A(2;1;2) Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A?

A.x y 3z 8 0 B.x y 3z 3 0 C.x y 3z 9 0 D.x y 3z 3 0

Câu 3: (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x2y  z 3 0 và điểm (1; 2;3)

I Mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình:

A.(x1)2(y2)2 (z 3)24 B (x1)2(y2)2 (z 3)2 4

C (x1)2(y2)2 (z 3)2 2 D (x1)2(y2)2 (z 3)22

Câu 4: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2

( ) :S x y z 2x4y4z0 Phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại M(3; 4;3) là:

A.2x+4y+z-25 =0 B 2x2y z 170 C.4x4y2z220 D x  y z 100

Câu 5: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( ) : (S x1)2(y1)2 (z 2)24 và

2 đường thẳng 1

2 : 1

x t

y t

z t







   

 



và 2: 1

  Một phương trình mặt phẳng (P) song song với  1, 2 và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

A x  z 3 2 2 0 B y  z 3 2 20 C x  y 3 2 20 D y  z 3 2 2 0

Câu 6: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình

2

1 3

3 2

x t

 



   



   



và mặt phẳng (P) có phương trình x2y  z 9 0 Phương trình mặt cầu nào trong các phương trình sau tiếp

xúc với mặt phẳng (P) có tâm thuộc đường thẳng d và có bán kính 3

2

R

A. 2 ( 1)2 ( 1)2 3

2

x  y  z  B ( 3)2 ( 10)2 ( 5)2 3

2

x  y  z 

C.( 3)2 ( 4)2 ( 1)2 3

2

x  y  z  D ( 5)2 ( 10)2 ( 3)2 3

2

x  y  z 

Câu 7 (thông hiểu)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

(x2) (y1) z 14 Mặt cầu (S) cắt trục Oz tại A và B (z A 0) Phương trình nào sau đây là phương trình tiếp diện của (S) tại B

A.2x y 3z 9 0 B.x2y  z 3 0 C.2x y 3z 9 0 D.x2y  z 3 0 Câu 8 (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm B(1;1;9) và C(1;4;0) Mặt cầu (S) đi

qua điểm B và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại C có phương trình là

A.(x1)2(y4)2 (z 5)2 25 B.(x1)2(y4)2 (z 5)2 25

C.(x1)2(y4)2 (z 5)2 25 D.(x1)2(y4)2 (z 5)2 25

Câu 9: (vận dụng thấp) Trong không gian Oxyz, cho ( ) :P x y 2z 6 0 Một phương trình mặt cầu (S) có bán kính R 6và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M( 1; 1; 2) 

A.

6

   



6

   



C

6

   



6

   





Câu 10 (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình

2x2y  z 4 0 và mặt cầu (S) có phương trình x2y2z22x4y6z 11 0 Bán kính đường tròn giao tuyến là

Câu 11 (nhận biết)Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z22x4y 4 0 cắt mặt phẳng ( ) :P x   y z 4 0 theo giao tuyến là đường tròn ( )C Tính diện tích S của hình tròn giới hạn bởi

( )C

3

S 

3

S 

D.S2 6

Câu 12 (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z24x2y10z140

và mặt phẳng ( ) :P x   y z 4 0 Biết mặt cầu ( )S cắt mặt phẳng ( )P theo một đường tròn ( )C Tính chu

vi của đường tròn ( )C

Câu 13 (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu ( ) :S x2y2z2    x y z 1 0 cắt mặt phẳng Oxy theo giao tuyến là một đường tròn Tìm tâm và bán kính của đường tròn này

A. ' 1 1, , 0 , 6

C. ' 1 1, , 0 , 2 2

2

Câu 14 (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình

2x y 2z100 và điểm I(2;1;3) Phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt mặt phẳng (P) theo một giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính bằng 4 là

(x2) (y1)  (z 3) 25 B. 2 2 2

(x2) (y1)  (z 3) 9

C.(x2)2(y1)2 (z 3)2 7 D.(x2)2(y1)2 (z 3)2 25

Câu 15 (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;0;1)và mặt phẳng

( ) : 2P x2y  z 5 0 Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) tâm I theo giao tuyến là 1 đường tròn diện tích là 10 Phương trình mặt cầu (S) là:

3

x y  z 

9

x y  z 

Câu 16 (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 4) và mặt phẳng (P) có

phương trình x   y z 1 0 Phương trình mặt cầu (S) có tâm I, biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là một đường tròn có chu vi 4 là

A.( 1)2 ( 2)2 ( 4)2 76

3

x  y  z  B.(x1)2(y2)2 (z 4)2 9

C.( 1)2 ( 2)2 ( 4)2 76

3

x  y  z  D (x1)2(y2)2 (z 4)2 9

Câu 17 (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ( ) :P x  y z 3 30và mặt cầu

( ) : (S x1) (y2)  (z 3) 25 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là 1 đường tròn có chu vi là 8

A ( ) :Q x   y z 3 0 B ( ) :Q x  y z 30

C ( ) :Q x  y z 30 D ( ) :Q x  y z 3 30

Câu 18 (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình

2x3y  z 2 0 Một phương trình mặt cầu ( )S có tâm I thuộc tia Ox sao cho mặt phẳng (P) cách I một khoảng bằng 14 và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn có đường kính bằng 4 là:

A.(x8)2y2z2 18 B.x2(y8)2 z2 8

C.(x8)2y2z2 8 D.x2 (y 8)2z2 16

Câu 19 (vận dụng cao)Trong không gian Oxyz, gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng

( ) : 3P x2y3z0 và mặt cầu ( ) :S x2y2 z2 2x2y4z0 Phương trình của mặt cầu chứa đường tròn ( )C và đi qua điểm A(1; 2; 1) là

A.x2y2 z2 5x4y7z0 B.x2y2 z2 4x2y2z0

C x2y2 z2 5x4y7z0 D.x2y2 z2 7x z 0

Câu 20 (vận dụng cao)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x1)2 (y 1)2 (z 2)2 4

và điểm A(1;1; 1) Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu (S) theo ba giao tuyến là các đường tròn (C1), (C2), (C Tính tổng diện tích của ba hình tròn 3) (C1), (C2), (C 3)

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM Câu 1

Phương pháp:

 Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng ( ) nên ta có Rd I( , ) (*)

 Khoảng cách từ điểm M x y z đến mặt phẳng ( ;0 0; 0) ( ) : axP by  cz d 0 là

ax ( , ) by cz d

d M P

a b c



Cách giải:

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng ( ) nên ta có Rd I( , )

Suy ra ( , ) 2.2 2.1 6 2

3

3 4

1) 4

( 1

 







Chọn A

Câu 2

Phương pháp:

Dựa vào điều kiện (P) tiếp xúc với (S) tại A ( ) .

P





Cách giải:

Ta có AI 1;1; 3  Vì (P) tiếp xúc với (S) tại AIA( )P IAn P

Do đó, phương trình mặt phẳng (P) có dạng x y 3z d 0(*)

Mặt khác, vì A( )P nên ta có 2 1 3.2     d 0 d 3

Vậy ta có (P):x y 3z 3 0

Chọn D

Câu 3

Phương pháp:

Dựa vào dữ kiện (S) tiếp xúc với (P)  R d I P( ; ), ta tìm được R

Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) và bán kính R có phương trình là:

(x a )  (y b)  (z c) R

Cách giải:

Ta có:

2.1 2.2 3 3 6

3

2 2 ( 1)

  

Chọn đáp án: B

Câu 4

Phương pháp:

 Dựa vào điều kiện (P) tiếp xúc với (S) tại M IM ( )P Do đó, n PIM

 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và có tiếp tuyến là IM

Cách làm:

* (S) có tâm I(1; 2; 2)và R 1 4 4  3

* (P) tiếp xúc với (S) tại M IM ( )P Do đó, phương trình mặt phẳng (P) có

(2; 2;1)

(3; 4;3) ( )

P

  







Chọn B

Câu 5

Phương pháp:

 (P) song song với  1, 2 suy ra ta có n P [ ,u u1 2]

 (S) tiếp xúc với (P)  R d I P( ; )

Cách giải:

(S) có tâm I(1; 1; 2);  R2

Vì (P) song song với  1, 2 có vtcp tương ứng là u12; 1;1 ;  u2   1;1; 1  ta có

1 1 1 2 2 1

1 1 1 1 1 1

P

Gọi ( ) :P y  z d 0

( ; )

3

2

d d

d I P

d



Chọn D

Câu 6

Phương pháp:

Lấy tâm I thuộc d Sau đó, dựa vào điều kiện (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên ta có phương trìnhRd I P( , )

Cách giải:

 Vì I d I(2  t; 1 3 ; 3 2 )t   t

 Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên ta có Rd I P( , )(*)

Ta có:

2 2( 1 3 ) 3 2 9 3 6

( ; )

d I P         

 

Từ (*) suy ra ta có phương trình

3

2

1

3 6

3 6

t t

t

         



(3; 4; 1)

3 ( ) : ( 3) ( 4) ( 1) 3

2 2

(5; 10;3)

3 ( ) : ( 5) ( 10) ( 3) 3

2 2

I

R

I

R

  





 





 









 





Chọn D

Câu 7

Phương pháp:

 Tìm tọa độ hai điểm A và B

 Dựa vào điều kiện (P) tiếp xúc với (S) tại B ( )

P





Cách giải:

Tọa độ giao điểm của A và B là nghiệm của hệ





Vì (z A0) nên ta có A0;0; 3 ,  B 0;0;3

(S) có tâm I2; 1;0  BI 2; 1; 3  

Vì (P) tiếp xúc với (S) tại B IB( )P BI n P

Do đó, phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2x y 3z d 0(*)

Mặt khác, vì B( )P nên ta có 2.0 0 3.3     d 0 d 9

Vậy ta có (P): 2x y 3z 9 0

Chọn A

Câu 8

Phương pháp:

(S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại C nên ta có CI k.(0; 0;1)

BI CI

 









Cách giải:

Mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến là n(0;0;1)

Giả sử I a b c( ; ; )CI (a1;b4; )c

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại C nên ta có

1 4 (1; 4; )

a

CI k n b I k

c k







 

 Mặt khác ta có IBIC nên suy ra

(1 1) (1 4) (9 ) (1 1) (4 4) (0 )

(9 ) 9

(9 ) 9

90 18 0 5 (1; 4;5)

Chọn A

Câu 9

Phương pháp:

Dựa vào điều kiện (P) tiếp xúc với (S) tại M ( ) .

6

P

k IM n



Cách làm:

Ta có n P1;1; 2 

I a b c MI  a b c  a  b  c 

Vì 1 1 2 0

P

a b

k IM n

b c

 



Ta có hệ phương trình

0

0; 0; 0

( 2; 2; 4) ( 2) ( 2) ( 4



      



  



        

) 6









Chọn B

Câu 10

Phương pháp:

 IA R : bán kính của mặt cầu

 HA r : bán kính đường tròn giao tuyến

 IH d I; P

Ta có hệ thức IA2 AH2IH2

Cách giải:

(S) có tâm I(1; 2;3),R 5 IA5

Ta có IH d I; 2.1 2.2 3 4 9

3

4 1

4 Mặt khác ta có: IA2 AH2IH2AH IA2IH2  5232 4 Suy ra r4

Chọn D

Câu 11

Phương pháp: Với

 IA R : bán kính của mặt cầu

 HA r : bán kính đường tròn giao tuyến

 IH d I; P

Ta có hệ thức IA2 AH2IH2, tìm được bán kính r của đường tròn giao tuyến Sau đó, áp dụng công thức

2

S r

Cách giải:

(S) có tâm I(1; 2;0), R 3 IA3

Ta có IH d 1 2 0 4 3 3

1 1 1

;

3

I P

Mặt khác ta có: IA2 AH2IH2AH 32( 3)2  6 Suy ra r  6

Áp dụng công thức 2

S r  

Chọn B

Câu 12

Phương pháp: Với

 IA R : bán kính của mặt cầu

 HA r : bán kính đường tròn giao tuyến

 IH d I; P

Ta có hệ thức IA2 AH2IH2, tìm được bán kính r của đường tròn giao tuyến Sau đó, áp dụng công thức

2

C  r

Cách giải:

(S) có tâm I(2;1; 5), R 4 IA4

1 1 1

1 5 4

IH d I; P

3 Mặt khác ta có: IA2 AH2IH2 AH  42(2 3)2 2 Suy ra r2

Áp dụng công thức C2  r4

Chọn B

Câu 13

Phương pháp: Với

 IA R : bán kính của mặt cầu

 HA r : bán kính đường tròn giao tuyến

 IH d I; P

Ta có hệ thức 2 2 2

IA AH IH

Cách giải:

Phương trình mặt phẳng (Oxy) là z0

(S) có tâm 1 1; ; 1 , 7 7

I   R IA

Ta có 1

Ox

IH d I; y

2

Mặt khác ta có:

IA AH IH AH    

        

 

  Suy ra

6 2

r

Tâm của đường tròn là hình chiếu vuông góc của 1 1; ; 1

2 2 2

  lên mặt phẳng (Oxy) suy ra

1 1

' ; ; 0

2 2

Chọn A

Câu 14

Phương pháp:

Với

 IA R : bán kính của mặt cầu

 HA r : bán kính đường tròn giao tuyến

 IH d I; P

Ta có hệ thức IA2 AH2IH2ta tìm được bán kính R của mặt cầu

Sau đó, viết phương trình mặt cầu tâm I và bán kính R

Cách giải:

 Giả thiết cho r  4 AH 4

 ( ; ) 2.2 1 2.3 1 9 3 3

3

4 1 4

0

d I P      IH 

 



16 9 25 25

IA AH IH    R 

Phương trình mặt cầu tâm (2;1;3)I bán kính R là: (x2)2 (y 1)2 (z 3)2 25

Chọn đáp án: D

Câu 15

Phương pháp:

Áp dụng công thức S.r2 để tìm bán kính của đường tròn giao tuyến

Với

 IA R : bán kính của mặt cầu

 HA r : bán kính đường tròn giao tuyến

 IH d I; P

Ta có hệ thức IA2 AH2IH2ta tìm được bán kính R của mặt cầu

Sau đó, viết phương trình mặt cầu tâm I và bán kính R

Cách giải:

S r   r   r AH 

 ( ; ) 2.2 2.0 1 5 10 10

4 4 1

 

10

IA AH IH    R 

Phương trình mặt cầu tâm I(2;0;1) bán kính R là:  2 2 2 190

9

x y  z 

Chọn đáp án: D

Câu 16

Phương pháp:

Áp dụng công thức C2 r để tìm bán kính của đường tròn giao tuyến

Với

 IA R : bán kính của mặt cầu

 HA r : bán kính đường tròn giao tuyến

 IH d I; P

Ta có hệ thức IA2 AH2IH2ta tìm được bán kính R của mặt cầu

Sau đó, viết phương trình mặt cầu tâm I và bán kính R

Cách giải:

 C2r4  r 2 AH 2

1 1

1

3

2

3

4 1

1

d I P   IH 

 

  

4

IA AH IH    R 

Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 4) bán kính R là: 2 2 2 76

( 1) ( 2) ( 4)

3

x  y  z 

Chọn đáp án: A

Câu 17

Phương pháp:

Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên ( ) :Q x   y z m 0m 3 3

Áp dụng công thức C2 r để tìm bán kính của đường tròn giao tuyến

Với

 IA R : bán kính của mặt cầu

 HA r : bán kính đường tròn giao tuyến

 IH d I;Q

Ta có hệ thức IA2 AH2IH2 ta tìm được IH d I;Q

Áp dụng công thức tính khoảng cách d I; Q và từ IH d I;Q tìm được m Kết luận

Cách giải:

Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên ( ) :Q x   y z m 0

 C2r8  r 4 AH 4

 (S) có tâm I( 1; 2;3)  vàR 5 IA5

5 4 3

IA AH IH IH IA AH   

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Q) là: 1 2 3

1 1 1 3

m m

   



 

Ta có ( ; ) 3 3 3

m m

d I Q IH

 

 

Vậy ( ) :Q x  y z 3 3 0

Chọn đáp án: D

Câu 18

Phương pháp:

+Với

 IA R : bán kính của mặt cầu

 HA r : bán kính đường tròn giao tuyến

 IH d I; P

Ta có hệ thức IA2 AH2IH2 ta tìm được R

+ I thuộc tia Ox và mặt phẳng (P) cách I một khoảng bằng 14 tìm được tâm I

Cách giải:

 Đường tròn có đường kính bằng 4 Suy ra r  2 HA2

 IH d I;P 14

 2  2 2     2 

Mặt khác, I thuộc tia Ox nên giả sử I a( ;0;0)

Ta có: | 2a 3.0 0 2 | 2a 2 |

4 9

|

d I; P

Mặt phẳng (P) cách I một khoảng bằng 14 Suy ra ta có phương trình

2a 2 14 a 8 I(8;0;0)

| 2a 2 |

14 | 2a 2 | 14

2a 2 14 a 6 I( 6;0;0) 14

Vậy ta có

I(8;0;0); R 18 (S) : (x 8) y z 18

I( 6;0;0); R 18 (S) : (x 6) y z 18

Chọn A

Câu 19

Phương pháp:

Thiết lập hệ phương trình đường tròn giao tuyến

Suy ra phương trình tham số của mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến

Dựa vào điều kiện mặt cầu qua điểm A để tìm tham số

Kết luận

Cách giải:

Phương trình đường tròn giao tuyến (C) được xác định bởi hệ

( ) : 3 2 3 0

S x y z x y z

P x y z





Suy ra mặt cầu chứa (C) có dạng: 2 2 2  

x y  z x y zm x y z 

Vì mặt cầu qua (1; 2; 1)A  nên ta có phương trình:

2 ( 1) 2.1 2.2 4.( 1) 3.1 2.2 3.( 1)

1        m      0 4 4m   0 m 1

Suy ra phương trình cần lập là: 2 2 2

5 4 7 0

x y  z x y z

Chọn C

Câu 20

Phương pháp:

Đổi hệ trục tọa độ mới

Cách giải: