TOÁN ỨNG DỤNG TRONG HÀNG HẢI

Giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng được gọi là đường tròn lớn nếu mặt phẳng đó đi qua tâm hình cầu, gọi là đường tròn nhỏ nếu mặt phẳng không đi qua tâm hình cầu.. Trục của một đường t

Chương 1

Các kiến thức cơ bản

1 Hình cầu là một vật thể giới hạn bởi một mặt bao gồm các điểm có khoảng cách

không đổi tới một điểm cố định, gọi là tâm của hình cầu Đoạn thẳng nối điểm bất kì trên mặt cầu với tâm được gọi là bán kính Đoạn thẳng đi qua tâm nối 2 điểm bất kì trên mặt cầu gọi là đường kính.

2 Giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng là một đường tròn.

Giả sử AB là giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng nào đó, O là tâm hình cầu

Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng; lấy D thuộc giao tuyến và nối OD, CD Vì OC

vuông góc với mặt phẳng nên góc OCD là góc vuông; do đó CD = √ OD2− OC2

Do O vàC cố định nên OC là hằng số; OD cũng là hằng số vì bằng bán kính hìnhcầu vậy nên CD cũng là hằng số Như vậy mọi điểm trên giao tuyến đều cách C

một khoảng không đổi, tức C là tâm của đường tròn giao tuyến

2 Các kiến thức cơ bản

3 Giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng được gọi là đường tròn lớn nếu mặt phẳng

đó đi qua tâm hình cầu, gọi là đường tròn nhỏ nếu mặt phẳng không đi qua tâm

hình cầu Như vậy bán kính đường tròn lớn bằng với bán kính hình cầu

4 Trục của một đường tròn là đường kính của hình cầu vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn; hai điểm đầu của đường kính gọi là các cực của đường tròn.

Khoảng cách từ các cực của đường tròn lớn đến mặt phẳng chứa đường tròn làbằng nhau Các cực của đường tròn nhỏ có khoảng cách khác nhau đến mặt phẳng

chứa đường tròn; chúng được gọi tương ứng là cực gần và xa.

O C

B A

F

T

S

D R

Trên hình vẽ, EAB là một đường tròn lớn, vì mặt phẳng chứa nó đi qua tâm O

của hình cầu Giả sử QOP là đường kính của hình cầu vuông góc với mặt phẳng(EAB) Lấy điểm R tùy ý trên OP, vẽ mặt phẳng qua R và song song với (EAB)giao với hình cầu theo đường tròn nhỏF CD Các điểm P, Q là các cực của đường

tròn lớnEAB và đường tròn nhỏ F CD

Giả sử P CAQ là đường tròn lớn đi qua các cực P, Q và cắt F CD, EAB lần lượttại C vàA; P DB là một cung của đường tròn lớn khác đi qua P, Q Khi đó ta nóitại P có 1 góc cầu và được xác định theo cách sau: Vẽ tiếp tuyến P S, P T tươngứng với các cungP A, P B; hiển nhiên P T song song với OB, P S song song vớiOA.Góc SP T gọi là góc cầu tại P tạo bởi 2 cung đường tròn lớn P A, P B và nó bằngvới góc AOB

5 Khoảng cách từ các điểm trên đường tròn đến cực của nó luôn bằng nhau Giả sử

1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ 3

O là tâm của hình cầu, AB là đường tròn bất kì, C là tâm, P vàP 0 là các cực củađường tròn LấyDthuộc đường tròn; nốiCD, OD, P D Khi đóP D =√ P C2+CD2;

P C và CD không đổi do đó P D cũng không đổi Giả sử có đường tròn lớn qua P

và D thì dây cung P D không đổi, tức là cung của đường tròn lớn nằm giữa P và

D là hằng số khi D chạy trên đường tròn AB

Giả sử P là cực của đường tròn lớn ABC thì cung P A có số đo bằng 900

Thật vậy: dễ thấy P O vuông góc với (ABC) vì P là cực của (ABC), do đó góc

P OA bằng 900, nghĩa là sđ P A bằng 900

7 Góc trương ở tâm hình cầu của một cung đường tròn lớn nối các cực của 2 đường

tròn lớn bằng góc giữa 2 mặt phẳng chứa các đường tròn đó.

AOB =AOM − BOM =BON − BOM =MON

8 Hai đường tròn lớn chia đôi nhau Vì mặt phẳng chứa các đường tròn lớn đi qua

tâm của hình cầu, tức là đường nối các giao điểm chính là đường kính của hìnhcầu và mỗi đường tròn lớn chỉ có duy nhất một đường kính, do đó các đường tròn

đó được chia thành 2 phần bằng nhau bởi các giao điểm

9 Các đường tròn lớn đi qua các cực của một đường tròn lớn cho trước được gọi là

các đường tròn phái sinh (secondaries circle) Trong hình vẽ C là cực củaABMN,

do đó CM và CN là các phần của các đường tròn phái sinh; góc giữa CM và CN

bằng số đo cung MN ; như vậy, góc giữa 2 đường tròn lớn bằng số đo cung chúng

chắn trên đường tròn lớn mà chúng là các đường tròn phái sinh.

10 Cung tròn trên mặt cầu

Hai điểm A, B bất kì trên đường tròn sẽ chia đường tròn thành 2 cung Cung có

số đo nhỏ hơn gọi là cung tròn nhỏ, cung có số đo lớn hơn gọi là cung tròn lớn.Sau đây ta chỉ xét cung tròn nhỏ

11 Qua tâm và 2 điểm A, B tùy ý trên mặt cầu chỉ vẽ được duy nhất một mặt phẳng(trừ trường hợp 2 điểm đó là các điểm đầu, và điểm cuối của đường kính), do vậychỉ có duy nhất một cung cầu lớn qua 2 điểm A, B Ngược lại, có vô số cung cầunhỏ qua 2 điểm trên mặt cầu

4 Định lý 1 Đường đi ngắn nhất giữa 2 điểm trên mặt cầu là theo cung cầu lớn.

Chứng minh Giả sử σ : [a, b] −→ S là đường cong cho dưới dạng tham sốtrên mặt cầu S với σ(a) = A, σ(b) = B Trong tọa độ Đề Các σ viết dưới dạng

σ(t) =¡x(t), y(t), z(t)¢ Khi đó độ dài của σ được tính bởi công thức:

12 Số đo cung đường tròn nhỏ và số đo cung đường tròn lớn trương cùng một góc ở

tâm Giả sử ab là cung đường tròn nhỏ, C là tâm đường tròn, P là cực, O là tâmhình cầu Qua P vẽ đường tròn lớn P aA và P bB, gặp đường tròn lớn cực là P tại

6 Các kiến thức cơ bản

2 điểmA, B; nối Ca, Cb, OA, OB Khi đó Ca, Cb, OA, OB đều vuông góc với OP,

vì mặt phẳngaCb,AOB vuông góc vớiOP nên Casong song vớiOA, Cb song songvới OB

A B

radiusOA ⇒

arcab arcAB = Ca

OA = Ca

Oa = sinP Oa

• Trong nhiều bài toán thực tế Trái đất được xem như 1 quả cầu tuyệt đối với bánkính khoảng 6400km, quay xung quanh 1 trục nối 2 cực từ trường trái đất N, S

N gọi là cực bắc, S gọi là cực nam Đường tròn lớn nằm trong mặt phẳng vuông góc với NS gọi là xích đạo Mặt phẳng chứa đường xích đạo gọi là mặt phẳng xích đạo Nó chia mặt cầu thành 2 bán cầu gọi là bán cầu bắc và bán cầu nam.

• Các mặt phẳng song song với mặt phẳng xích đạo cắt mặt cầu theo giao tuyến là

các đường tròn nhỏ, gọi là các vĩ tuyến Các vĩ tuyến ở bán cầu bắc gọi là vĩ tuyến

bắc, ở bán cầu nam gọi là vĩ tuyến nam

1.2 Kinh độ và vĩ độ trên Trái Đất 7

O G

H

ϕ λ

• Qua 2 cực nam, bắc có vô số các đường tròn lớn Hai cực này chia các đường tròn

lớn thành 2 nửa, mỗi nửa đường tròn lớn đó gọi là 1 kinh tuyến Đặc biệt, kinh tuyến đi qua đài thiên văn Greenwich được quy ước là kinh tuyến gốc; trên hình

(1.2) đó là NGKS

• Giả sử kinh tuyến NHLS cắt xích đạo tại L Số đo góc KOL được gọi là kinh độ

của kinh tuyến NHS Nó bằng số đo cung KL nằm trên xích đạo và bằng số đogóc cầu cực KNL Kinh độ kí hiệu là λ và được đo từ O0 đến 1800 đông hoặc tây

so với kinh tuyến gốc (theo hướng mũi tên gần K)

Trên hình (1.2), kinh độ củaNXS khoảng 1000 E (east), kinh độ củaNMSkhoảng

600 W(west) Các điểm nằm trên cùng kinh tuyến thì có cùng kinh độ

¯Qui ước: Trái đất quay từ tây sang đông (W−→E), tức là khi một người đứng

ở tâm trái đất, đầu hướng về phía bắc nhìn về xích đạo thì chiều quay ngược chiềukim đồng hồ

• Để xác định chính xác vị trí của 1 điểm trên mặt cầu, ta cần xác định vị trí củađiểm đó trên kinh tuyến qua nó Điều này được thực hiện nhờ tham chiếu đến xíchđạo Xét điểm J trên kinh tuyến NHS Kinh tuyến qua J cắt xích đạo tại L và

số đo góc LOJ, hay cung tròn lớn LJ được gọi là vĩ độ của J, kí hiệu là ϕ Nếu

J nằm giữa xích đạo và cực bắc N thì ta nói J có vĩ độ bắc (N), nếu J nằm giữaxích đạo và cực nam S thì ta nói J có vĩ độ nam (S)

Chương 2

Tam giác cầu

2.1.1 Tam giác cầu và các yếu tố cơ bản

1 Cho 3 điểmA, B, C trên mặt cầu tâm O bán kính R Ta gọi phần mặt cầu giới hạnbởi 3 cung tròn lớn AB, _ BC, _ AC _ là tam giác cầu ABC, các điểm A, B, C được gọi

là đỉnh của tam giác cầu

2 Nối OA, OB, OC kéo dài ta được tam diện Oxyz đỉnh O Các góc ở đỉnh \BOC =

số đo BC _ =a, AOC[ = số đo AC _ =b, BOA[ = số đoAB _ =c là các cạnh của tam giáccầu, viết tắt là a=BC _ ,b=AC _ ,c=AB _

3 Giả sử At là tiếp tuyến của AB _ tại A, At 0 là tiếp tuyến của AC _ tại A (các tiếptuyến hướng từ A về B, C); khi đó tAt 0 là góc tại đỉnh A của tam giác cầu Đóchính là góc nhị diện cạnh OA tạo bởi 2 mặt phẳng (OAC) và (OBC) Tương tự

ta cũng xác định được 2 góc còn lại tại B và C

10 Tam giác cầu

Vậy tam giác cầu có 6 yếu tố cơ bản là: 3 cạnh a, b, c và 3 góc A, B, C đối diện lầnlượt với các cạnh

4 Quy ước: Số đo của các cạnh trong tam giác cầu luôn nhỏ hơn 1800 hay π

B

A

C F

E

D

Trong hình vẽ cung ADEB lớn hơn nửa vòng tròn, và có thể xem ADEB, AC và

BC là các cạnh của tam giác cầu với các góc là A, B, C Tuy nhiên theo quy ướctrên ta không xét tam giác cầu loại này; ở đây tam giác với các gócA, B, C đượchiểu là tam giác với 3 cạnh AF B, BC và CA

5 Với quy ước trên dễ dàng dẫn đến kết quả sau: trong tam giác cầu số đo của góc

có thể có 2 hay 3 góc vuông và có thể có vô số đường cao kẻ từ một đỉnh

2.1.2 Tính chất của tam giác cầu

1 Với mỗi tam giác cầuABCcó một góc tam diện đỉnh là tâm cầuOcạnhOA, OB, OC

2.1 Khái quát về tam giác cầu 11

2 Tổng 2 cạnh bất kì bao giờ cũng lớn cạnh còn lại, tức là: a+b > c, a+c > b, b+c > a

3 Tổng của 3 cạnh tam giác cầu luôn nhỏ hơn chu vi của đường tròn lớn

Thật vậy, tổng 3 góc tại đỉnh O của tam diện OABC luôn nhỏ hơn 3600, do đó:

5 Tổng 3 góc của tam giác cầu lớn hơn 1800 và nhỏ hơn 5400.

Giả sử A, B, C là các góc của tam giác cầu; a 0, b 0, c 0 là các cạnh của tam giác cầucực Theo trên ta có: a 0+b 0+c 0 <2π ⇔ π − A+π − B+π − C <2π ⇔ A+B+C > π

Vì mỗi góc A, B, C đều nhỏ hơn π nên A+B+C <3π

6 Đại lượng ²=A+B+C − π là thặng dư cầu Khi đó với tam giác cầu ABC trênmặt cầu bán kính R thì diện tích tam giác cầu S ABCcầu =²R2 (² đo bằng radian)

7 Trong tam giác cầu đối điện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại, tức là:

a > b ⇔ A > B

2.1.3 Tam giác cầu cực

1 Tam giác cầu cực Cho ABC là một tam giác cầu, A 0 là cực của BC _ cùng phía với

A, B 0 là cực của CA _ cùng phía với B, C 0 là cực của AB _ và nằm cùng phía với C.Khi đó A 0 B 0 C 0 được gọi là tam giác cầu cực của ABC

¯Chú ý Vì mỗi cạnh của tam giác cầu đều có 2 cực, do đó sẽ có 8 tam giáccầu được tạo nên bởi các đỉnh là các cực đó Tuy nhiên chỉ có tam giác A 0 B 0 C 0 tạo

bởi quy tắc trên được gọi là tam giác cầu cực Tam giác ABC gọi là tam giác gốc

tương ứng với tam giác A 0 B 0 C 0

2 NếuA 0 B 0 C 0 là tam giác cầu cực của ABC thìABC là tam giác cầu cực của A 0 B 0 C 0

A 0 A

12 Tam giác cầu

3 Các cạnh và các góc của tam giác cầu cực lần lượt là phần bù của các góc và các

cạnh của tam giác gốc.

Giả sử B _ 0 C 0 cắt AB _ , AC _ lần lượt tại D và E Do A là cực của B 0 C 0 nên số đogóc tại A bằng số đo DE _ Hơn nữa B _ 0 E, C _ 0 D đều có số đo bằng 900, do đó số đo

Nếu kí hiệu A, B, C, a, b, c lần lượt là các góc và các cạnh của tam giác cầu ABC

cònA 0 , B 0 , C 0, a 0 , b 0 , c 0 là các góc và các cạnh của tam giác cầu cực thì ta có:

A 0=π−a, B 0=π−b, C 0=π−c, a 0 =π−A, b 0=π−B, c 0 =π−C.

4 Tam giác cầu cân có các góc ở đáy bằng nhau

Giả sử tam giác ABC có AC = BC, O là tâm hình cầu Kẻ tiếp tuyến tại A và

B tương ứng với cung AC và cung BC; chúng cùng cắt OC tại điểm S, dễ thấy

5 Nếu hai góc của một tam giác cầu bằng nhau thì hai cạnh đối diện bằng nhau

Vì tam giác gốc có hai góc bằng nhau nên tam giác cầu cực sẽ có hai cạnh bằngnhau Theo trên trong tam giác cầu cực 2 góc đối diện với cạnh đó sẽ bằng nhau

2.2 Các định lý cơ bản 13

Vậy suy ra trong tam giác gốc hai cạnh đối diện với hai góc bằng nhau là bằngnhau

6 Trong tam giác cầu cạnh đối diện với góc lớn hơn là lớn hơn

Giả sử trong tam giác cầu ABC, góc ABC lớn hơn góc góc BAC : khi đó cạnh

AC lớn hơn cạnh BC Từ B ta kẻ BD sao cho góc ABD bằng góc BAD, tức là

7 Trong tam giác cầu góc đối diện với cạnh lớn hơn là lớn hơn.

Dễ dàng chứng minh nhờ tam giác cầu cực và theo kết quả trên

Chứng minh Xét tam giác cầu 4ABC trên mặt cầu tâm O bán kính OA = R Hạ

AH ⊥ OBC và AB 0 ⊥ OB Khi đó HB 0 ⊥ OB, hay ∠AB 0 H =B Tương tự kẻ AC 0 ⊥ OC

tại C 0 ta sẽ có ∠AC 0 H = C Trong tam giác vuông AB 0 O có AB 0 = Rsinc, 4AHB 0 có

AH =AB 0sinB =RsincsinB Trong tam giác vuông AC 0 O có AC 0 =Rsinb, 4AHC 0 có

14 Tam giác cầu

AH =AC 0sinC =RsinbsinC Từ đó ta có RsincsinB =RsinbsinC Với 0< B, C < π

Trong tam giác cầu ABC thì

cosa = cosbcosc+ sinbsinccosA

cosb = cosacosc+ sinasinccosB

cosc = cosacosb+ sinasinbcosC

A

O

B

C M

N E

Chứng minh Xét tam giác cầu ABC trên mặt cầu tâm O Lấy điểm M bất kỳ trên

OA rồi trong 4AOC kẻ MN ⊥ OA, trong 4AOB kẻ ME ⊥ OA Khi đó ta có ∠NM E làgóc phẳng nhị diện cạnh OA hay ∠NME =A

Xét tam giác vuông MNO có MN = OMtanb, ON = OM

cosb, trong 4OM E ta có

ME =OMtanc, OE = OM

cosc.Xét4ONE có: NE2 =ON2+OE2−2ONOEcosa, trong 4MNE có: NE2 =MN2+

ME2−2MN.MEcosA Từ đó suy ra:

cosbcosc = tan2b+ tan2c −2 tanbtanccosA

⇔ 1 + tan2b+ 1 + tan2c −2 cosa

cosbcosc = tan2b+ tan2c −2 tanbtanccosA

cosbcosc = −tanbtanccosA

⇔ cosbcosc −cosa = −sinbsinccosA

Hai công thức còn lại chứng minh tương tự

• Ví dụ 3 Một tầu đi từ cảng A đến cảng B biết ϕ A = 15◦2003000 N, λ A = 72◦4001500 E, ϕ B =

12◦1505000 S, λ B = 112◦5004000 E với vận tốc 12 hải lý/giờ Tính thời gian hành trình của tàu.

O A

B

A 0 θ

NB cắt xích đạo tại B 0, tâm trái đất là O

Ta có:AOA\0=ϕ A = 15◦2003000 ⇒ NA _ = 90◦ −ϕ A = 74◦3903000 , \ BOB 0=ϕ B = 12◦1505000 ⇒ NB _ =

90◦+ϕ B = 102◦1505000 , \ ANB =λ B − λ A = 40◦1002500

Theo định lý cosin thứ nhất: cosAB _ = cos NA _ cos NB _ + sinNA _ sin NB _ cos\ =

0,663849992 Do 0 ≤ AB≤ _ 180◦ nên AB _ = 48◦2402100 Trên trái đất ta quy ước 1 hải lýứng với 1’ Vậy khoảng cách hai cảng A và B là l AB = 2904,35 hải lý, suy ra thời gianhành trình tàu là t = l AB

v = 242h104500

16 Tam giác cầu

2.2.3 Hướng tàu

• Quy ước đường trục tàu là đường thẳng từ lái đến mũi tàu

• Giả sử một tầu khởi hành từ A đến B Gọi góc của tiếp tuyến với kinh tuyến tại

A hướng về cực bắc và tiếp tuyến cung tròn lớn AB _ tại A tính theo chiều thuậnkim đồng hồ là hướng chuyển động của tàu, kí hiệu là HT A, 0≤ HT A <360◦

• Các trường hợp riêng

– nếu 0≤ HT A ≤90◦: hướng đông bắc

– nếu 90◦ < HT A <180◦: hướng đông nam

– nếu 180◦ < HT A <270◦: hướng tây nam

– nếu 270◦ < HT A <360◦: hướng tây bắc

• Ví dụ 4 Một tầu đi từ cảng A đến cảng B với vận tốc 14 hải lý/giờ Lượng tiêu hao nhiên liệu là 300 kg/h và tàu cần có lượng dầu dự trữ là 15% Hỏi tàu cần mang theo bao nhiêu nhiên liệu để đến được B và cần chuyển động từ A theo hướng nào ? biết

ϕ A = 55◦ N, λ A = 10◦ E, ϕ B = 12◦300 N, λ B = 8◦1504000 W

O

A

A 0 B

2.2 Các định lý cơ bản 17

Theo định lý hàm số cosin thứ nhất: cos AB _ = cos NA _ cos NB _ + sin NA _ sin NB _

cos\ = 0,709075816 ⇒ AB _ = 44◦5002500 , suy ra l AB = 2690,414 hải lý, tức là t =

Trong tam giác cầu ABC thì

cosA = sinBsinCcosa −cosBcosC

cosB = sinAsinCcosb −cosAcosC

cosC = sinAsinBcosc −cosAcosB

Chứng minh Xét tam giác cầu cực đối A 0 B 0 C 0 của 4ABC Theo định lý hàm cosinthứ nhất ta có: cosa 0 = cosb 0cosc 0+ sinb 0sinc 0cosA 0

⇒cos(π − A) = cos(π − B) cos(π − C) + sin(π − B) sin(π − C) cos(π − a)

⇒cosA= sinBsinCcosa −cosBcosC

Tương tự ta cũng chứng minh được hai công thức còn lại

• Ví dụ 5 Một tầu chạy từ A theo hướng 220 ◦1203500 qua kinh tuyến gốc tại B Biết

ϕ A = 18◦4702000 N, λ A = 22◦5001600 E Hỏi nếu tầu chạy từ B về A thì hướng tầu là bao nhiêu? Xác định vị trí B

18 Tam giác cầu

O

A

B

A 0 θ

W

E N

S

B 0

Giải

Xét tam giác cầuNAB ta có:\ = ˆN =λ A = 22◦5001600 , NA _ = 90◦ −ϕ A = 71◦1204000 , Aˆ=

360◦ −220◦1203500 = 139◦4702500 Theo định lý cosin thứ hai: cosB = sinAsinNcos NA _

−cosAcosN = 0,784522461⇒ Bˆ = 38◦1902400 Vậy hướng tàu chạy từ B về A thì hướngtàu là: HT B = 38◦1902400

Theo định lý hàm số sin: sin

2.2.5 Định lý hàm số cotang

Trong một tam giác cầu ta xét 4 yếu tố liên tiếp gồm 2 cạnh, một góc xen giữa 2 cạnh

ấy và góc đối diện với cạnh thứ nhất trong hai cạnh, tức là viết theo thứ tự: cạnh, góc,cạnh, góc đối diện cạnh thứ nhất, chẳng hạn:aBcA, cBaC, aCbA, .

A

B

C a

b

c