bài giảng kinh tế lượng căn bản

+ P6 = 1 Các biến ngẫu nhiên Một biến mà giá trị của nó được xác định bởi kết quả của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên random varibale - rv.. Vậy, fx được gọi là PDF

A.1 TOÁN TỬ TỔNG VÀ TÍCH

Ký tự hoa Hy Lạp ∑ (sigma) được sử dụng để biểu thị tổng Vậy,

Một số tính chất quan trọng của toán tử tổng ∑ gồm có:

1 ∑i n=1k=nk , với k là hằng số Vậy, ∑4i=13= ⋅ =4 3 12

2 kx i k x

i

n

i i

n

và 2 ở trên

4 (x i y i) x i y

i

n

i i n i

x ij x x x j

m i

1 2 1

m

ij i n j m

n i

A.2 KHÔNG GIAN MẪU, ĐIỂM MẪU VÀ BIẾN CỐ

Tập hợp tất cả các kết quả có khả năng xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên hay tình

cờ được gọi là tổng thể hay không gian mẫu, và từng phần tử của không gian mẫu này được gọi là điểm mẫu Vậy, trong phép thử tung hai đồng xu, không gian mẫu bao

gồm 4 kết quả có khả năng xảy ra như sau: HH, HT, TH và TT, với HH là hai lần tung đều sấp, HT có nghĩa là lần thứ nhất sấp và lần thứ hai ngửa, và v.v Mỗi trường hợp ở

trên là một điểm mẫu

Một biến cố là tập con của không gian mẫu Vậy, nếu gọi A là trường hợp 1

đồng sấp và 1 đồng ngửa thì trong số các kết quả có thể xảy ra ở trên, chỉ có hai kết

quả thuộc A, cụ thể là HT và TH Trong trường hợp này, A tạo thành một tập con

Tương tự, việc xảy ra hai lần sấp khi tung hai đồng xu là một biến cố Các biến cố

được gọi là xung khắc nếu việc xảy ra biến cố này loại trừ khả năng xảy ra biến cố

kia Nếu trong ví dụ trên, HH xảy ra thì biến cố HT không thể cùng đồng thời xảy ra

Các biến cố được gọi là các biến cố đầy đủ nếu chúng đại diện cho toàn bộ các kết

quả có thể xảy ra của một phép thử Vậy, trong ví dụ trên, các biến cố (a) hai sấp, (b) hai ngửa và (c) một sấp, một ngửa đại diện cho toàn bộ các kết quả; có nghĩa là chúng là các biến cố đầy đủ

A.3 XÁC SUẤT VÀ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

Xác suất

Gọi A là một biến cố trong một không gian mẫu P(A), xác suất của biến cố A, là tỷ lệ số lần biến cố A sẽ xảy ra trong các lần lặp lại của một phép thử Nói một cách khác, trong tổng số n kết quả đồng khả năng của một phép thử, nếu m trong số đó

thuận lợi cho việc xảy ra biến cố A, ta định nghĩa tỷ lệ m/n là tần suất tương đối của

A Với các giá trị lớn của n, tần suất tương đối này sẽ cho ta một con số gần đúng tốt cho xác suất của A

Các tính chất của xác suất P(A) là hàm giá trị thực1 và có các tính chất sau:

1 0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi A

2 Nếu A, B, C, tạo thành một tập hợp đầy đủ của các biến cố thì P(A + B + C + ) =

1, với A + B + C nghĩa là A hoặc B hoặc C, và v.v

3 Nếu A, B, C, là các biến cố xung khắc, thì

P(A + B + C + ) = P(A) + P(B) + P(C) +

Ví dụ 1 Xem xét phép thử tung một con súc sắc với các mặt đánh số từ 1 đến 6 Không

gian mẫu gồm các kết quả 1, 2, 3, 4, 5 và 6 Do vậy, sáu biến cố này chiếm toàn bộ không gian mẫu Xác suất của bất cứ một trong các số này xuất hiện là 1/6 do có sáu kết quả đồng khả năng và bất cứ một trong số chúng có cơ hội xuất hiện bằng nhau Do 1, 2, 3, 4, 5

và 6 tạo thành một tập hợp đầy đủ các biến cố, P(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 1 với 1, 2, 3,

có nghĩa là xác suất xuất hiện số 1 hay số 2 hay số 3, v.v Và do 1, 2, , 6 là các biến cố

xung khắc, tức là hai số không thể cùng xảy ra, , P(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = P(1) + P(2) + + P(6) = 1

Các biến ngẫu nhiên

Một biến mà giá trị của nó được xác định bởi kết quả của một phép thử ngẫu nhiên

được gọi là biến ngẫu nhiên (random varibale - rv) Các biến ngẫu nhiên thường được

1 Một hàm số có miền và khoảng giá trị la øcác tập con của các số thực thường được gọi là hàm giá trị

thực Về chi tiết, xem Alpha C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics (Các phương

pháp toán kinh tế căn bản), Xuất bản lần bậc 3, Mc Graw-Hill, 1984, Chương 2

biểu thị bởi các ký tự hoa X, Y, Z, v.v , và các giá trị mà chúng nhận được biểu thị bởi các ký tự thường x, y, z, v.v

Một biến ngẫu nhiên có thể rời rạc hay liên tục Một biến ngẫu nhiên rời rạc

chỉ nhận một số các giá trị có giới hạn (hay vô hạn đếm được).2 Ví dụ, trong việc tung

hai con súc sắc, mỗi con đánh số từ 1 đến 6, nếu ta định nghĩa biến ngẫu nhiên X là tổng các số xuất hiện trên mặt của con súc sắc, thì X sẽ nhận một trong các giá trị: 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 hay 12 Như vậy, nó là một biến ngẫu nhiên rời rạc Mặt khác, một biến ngẫu nhiên liên tục là biến có thể nhận mọi giá trị trong một khoảng các giá trị Vậy, chiều cao của một người là một biến liên tục − trong khoảng, ví dụ, 60 đến 65

in, nó có thể nhận bất cứ giá trị nào, phụ thuộc vào độ chính xác của phép đo

A.4 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT (PDF)

Hàm mật độ xác suất của một biến rời rạc

Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị riêng rẽ x1, x2, , xn, Vậy, hàm số

f(x) = P(X = x i) với i = 1, 2, , n,

được gọi là hàm mật độ xác suất rời rạc (PDF) của X, với P(X = x i) là xác suất mà

biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x i

Ví dụ 2 Trong việc tung hai con súc sắc, biến ngẫu nhiên X, tổng của các số xuất hiện

trên mặt hai con súc sắc, có thể nhận một trong 11 giá trị PDF của biến này có thể được biểu diễn như sau (xem cả Hình A.1):

f(x) = 1

36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36



               

Các xác suất này có thể được dễ dàng chứng minh Trong tất cả 36 kết quả có thể xảy ra, trong đó một thuận lợi cho số 2, hai thuận lợi cho số 3 (do tổng 3 có thể xảy ra hoặc 1 ở con súc sắc đầu tiên và 2 ở con súc sắc thứ hai hay 2 ở con súc sắc đầu tiên và 1 ở con súc sắc thứ hai) và v.v

2 Đối với thảo luận đơn giản về khái niệm tập hợp vô hạn đếm được, xem R G D Allen, Basic

Mathematics (Toán học cơ bản), Macmillan, London, 1964, trang 104

HÌNH A.1

Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên rời rạc trong Ví dụ 2

Hàm xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục

Gọi X là một biến ngẫu nhiên liên tục Vậy, f(x) được gọi là PDF của X nếu các điều

kiện sau được thỏa mãn:

Đối với một biến ngẫu nhiên liên tục, trái với biến ngẫu nhiên rời rạc, xác suất

X nhận một giá trị cụ thể bằng 0;3 xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục chỉ tính

được trong một khoảng, như (a, b) trong Hình A.2

Ví dụ 3 Xem xét hàm mật độ sau:

Ta có thể chứng minh ngay rằng f(x) ≥ 0 với mọi x trong khoảng 0 tới 3 và 1

2 0

x | ) = 1) Nếu muốn đánh giá PDF ở trên trong khoảng, ví dụ, 0 và 1, ta có 1

9

127

127

2 0

1

3 0 1

x dx x

∫ = ( | )= ; tức là, xác suất x nằm giữa 0 và 1 là 1/27

Hàm đồng mật độ xác suất

Đồng PDF rời rạc Gọi X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc Hàm số

Hàm mật độ xác suất biên tế

Trong quan hệ với f(x, y), f(x) và f(y) được gọi là các hàm mật độ xác suất riêng rẽ hay

biên tế Các PDF biên tế này được thiết lập như sau:

0 a b

HÌNH A.2

Hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục

với, ví dụ, ∑y là tổng tính theo tất cả các giá trị của Y và ∑ x là tổng tính theo tất cả các

X là 1 và ∑ y f(y) của tất cả các giá trị Y cũng vậy (Tại sao?)

PDF có điều kiện Như đã lưu ý ở Chương 2, trong phân tính hồi quy ta thường quan

tâm tới việc nghiên cứu hành vi của một biến theo các giá trị của (các) biến khác Điều này có thể thực hiện bằng cách xem xét PDF có điều kiện

Hàm số

f(x | y) = P(X = x | Y = y)

được gọi là PDF có điều kiện của X; nó cho ta xác suất X nhận giá trị x với điều kiện

là Y có giá trị y Tương tự,

f(y | x) = P(Y = y |X = x) cho ta PDF có điều kiện của Y

PDF có điều kiện có thể tính như sau:

),()(

y f

y x f y x

)(

),()(

x f

y x f x y

Như biểu thức trên cho thấy, PDF có điều kiện của một biến có thể được biểu diễn bằng tỷ số giữa đồng PDF và PDF biên tế của một biến khác

Ví dụ 6 Tiếp tục với Ví dụ 4 và 5, hãy tính các xác suất có điều kiện sau:

53.051/27,0)3,2()32

f

Y X f Y

X f

Lưu ý rằng xác suất không có điều kiện f(X = −2) là 0,27, nhưng nếu Y đã nhận giá trị 3, xác suất X nhận giá trị −2 là 0,53

20.049,0/10,0)6(

6,2()62

) Y X f Y

X f

Cũng lưu ý rằng xác suất không có điều kiện X nhận giá trị 2 là 0,26, khác với 0,20 là xác suất X nhận giá trị 2 khi Y đã nhận giá trị 6

Độc lập về thống kê

Hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập về mặt thống kê khi và chỉ khi

f (x, y) = f(x)f(y)

tức là, nếu đồng PDF có thể được biểu diễn bằng tích của các PDF biên tế

Ví dụ 7 Một túi chứa 3 quả cầu đánh số 1, 2 và 3 Hai quả cầu được lấy ra từ túi một cách

ngẫu nhiên, có thay thế (nghĩa là quả cầu thứ nhất lấy ra được đưa trở lại vào túi trước

khi lấy lần thứ hai) Gọi X là chữ số quả cầu thứ nhất được lấy ra và Y là chữ số quả cầu thứ hai được lấy ra Bảng sau cho ta đồng PDF của X và Y

1 (tính bằng cách cộng hàng thứ nhất) Do f(X, Y) = f(X)f(Y) trong ví dụ này, ta có thể nói

rằng hai biến độc lập về mặt thống kê Ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng đối với mọi tổ

hợp khác của các giá trị X và Y trong bảng trên, đồng PDF có thể được tính bằng tích của

các PDF riêng rẽ

Ta có thấy rằng các biến X và Y được cho trong ví dụ 4 là không độc lập về thống kê bởi

vì tích của hai PDF riêng rẽ không bằng với đồng PDF (lưu ý: f(X,Y)=f(X)f(Y) phải đúng với tất cả các tổ hợp của X và Y nếu hai biến này độc lập về thống kê

Đồng PDF liên tục. PDF f(x, y) của hai biến liên tục X và Y:

f (x, y) ≥ 0

1)

()

f( ) ( , ) PDF biên tế của Y

Ví dụ 9 Hai PDF biên tế của đồng PDF trong Ví dụ 8 được tính như sau:

2 2

3 2

3 2

2 2

1

0

2 1

0 1

0

1

0

2 1

xy x x dy

dx y

x

0 2

| ) 2 / 2

3 ( y−y có nghĩa là biểu thức trong ngoặc được tính tại giá trị giới hạn trên (bằng 1) và giá trị giới hạn dưới (bằng 0); giá trị trước trừ đi giá trị sau cho ta giá trị tích phân Vậy, trong ví dụ trên, các giới hạn là 

1 2

3 tại y = 1 và tại y = 0, từ đó cho ta giá trị của tích phân là 1

x y

f

y x

1

0

2

0 ≤ y ≤ 1

Để xem xét xem hai biến trong Ví dụ 8 có độc lập về thống kê hay không, ta cần phải tìm

xem f(x, y) có bằng f(x)f(y) không Do (2 − x − y) ≠ 

3 , ta có thể nói rằng hai biến không độc lập về thống kê

A.5 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Một phân phối xác suất thường có thể được tóm tắt bằng một vài đặc điểm của nó, gọi

là các mômen của phân phối Hai trong số các mômen được sử dụng rộng rãi nhất là

giá trị trung bình hay giá trị kỳ vọng và phương sai

Giá trị kỳ vọng

Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu bởi E(X), được định nghĩa

với ∑x là tổng tính theo tất cả các giá trị của X và với f(x) là PDF (rời rạc) của X

Ví dụ 10 Xem xét phân phối xác suất của tổng hai số trong phép thử tung hai con súc sắc

ở Ví dụ 2 (Xem Hình A.1) Nhân các giá trị khác nhau của X thu được với các xác suất

của chúng và cộng theo tất cả các quan sát, ta có:

)36

1(12

)36

3(4)36

2(3)36

1(2)

E

= 7 Kết quả trên là giá trị trung bình của tổng các số quan sát khi tung hai con súc sắc

Ví dụ 11 Ước lượng E(X) và E(Y) từ số liệu trong Ví dụ 4 Ta đã thấy rằng

f(x) 0.27 0,12 0,26 0,35

f(y) 0,51 0,49 E(Y) = ∑

9 dx

x x

9

= 2,25

Các tính chất của giá trị kỳ vọng

1 Giá trị kỳ vọng của một hằng số là chính hằng số đó Vậy, nếu b là một hằng số thì

E (b) = b

2 Nếu a và b là hằng số,

E (aX + b) = aE(X) + b Biểu thức này có thể được tổng quát hóa Nếu X1, X2, , X N là N biến ngẫu nhiên và

a1, a2, , a N và b là hằng số, thì

E (a1X1 + a2X2 + + a N X N + b) = a1E (X1) + a2E (X2) + + a N E (X N ) + b

3 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, thì

E (XY) = E(X)E(Y) Tức là, kỳ vọng của tích XY bằng tích của các kỳ vọng (riêng rẽ) của X và Y

4 Nếu X là một biến ngẫu nhiên với PDF f(x) và nếu g(X) là một hàm bất kỳ của X, thì

E [g(X)] = ∑

x

x f X

g( ) ( ) nếu X rời rạc

= ∫−∞∞g(X)f(x)dx nếu X liên tục

Vậy, nếu g(X) = X2,

E (X2) = ∑

x

X f

= ∫−∞∞x2f(X)dx nếu X liên tục

Ví dụ 13 Xem xét PDF sau:

Phương sai

Gọi X là một biến ngẫu nhiên và đặt E(X) = µ Phân phối, hay sự phân tán, của các giá

trị X xung quanh giá trị kỳ vọng có thể được tính bằng phương sai với định nghĩa như

sau:

var(X) = σX2 = E(X − µ)2

Căn bậc hai dương của σX2, σX , được định nghĩa là độ lệch chuẩn của X Phương sai

hay độ lệch chuẩn cho biết các giá trị của biến X phân phối gần hay xa giá trị trung

Để thuận tiện cho tính toán, công thức phương sai ở trên cũng có thể được biểu diễn như sau:

207

64 3

2

− −  = = ,23

Ví dụ 14 Hãy tìm phương sai của biến ngẫu nhiên trong Ví dụ 3

var(X) = E(X2) − [E(X)]2

Bây giờ

E(X2) = x2 x dx

2 0 3

Các tính chất của phương sai

1 E (X − µ)2 = E(X2) − µ2, như đã trình bày ở trên

2 Phương sai của một hằng số bằng 0

3 Nếu a và b là hằng số thì

var(aX + b) = a2var(X)

4 Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

var(X + Y) = var(X) + var(Y) var(X − Y) = var(X) + var(Y)

Các biểu thức trên có thể được tổng quát hóa cho nhiều hơn hai biến

5 Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, a và b là hằng số, thì

var(aX + bY) = a2var(X) + b2var(Y)

Hiệp phương sai

Gọi X và Y là hai biến ngẫu nhiên với giá trị trung bình tương ứng là µx và µy Hiệp

phương sai giữa hai biến được định nghĩa là

cov(X, Y) = E{(X − µx )(Y − µy )} = E(XY) − µxµy

Ta có thể thấy ngay rằng phương sai của một biến là hiệp phương sai của biến đó với chính nó

Hiệp phương sai được tính như sau:

x y

Các tính chất của hiệp phương sai

1 Nếu X và Y độc lập, hiệp phương sai của chúng bằng 0, bởi vì

cov(X, Y) = E(XY) − µxµy

= µxµy − µxµy do E(XY) = E(Y)E(Y) = µxµy khi X và Y độc lập

= 0

với a, b, c và d là các hằng số

Ví dụ 15 Hãy tìm hiệp phương sai giữa các biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y với đồng PDF

được trình bày trong Ví dụ 4 Từ Ví dụ 11, ta đã biết rằng µx = E(X) = 1,03 và µy = E(Y)

= 4,47

x y

( , )

∑

∑

= (−2)(3)(0,27) + (0)(3)(0,08) + (2)(3)(0,16) + (3)(3)(0) + (−2)(6)(0) + (0)(6)(0,04) + (2)(6)(0,10) + (3)(6)(0,35)

Hệ số tương quan

Hệ số tương quan (tổng thể) ρ (rô) được định nghĩa là:

Với định nghĩa này, ρ là đại lượng đo lường mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến và

nằm giữa −1 và +1, − biểu thị quan hệ nghịch biến hoàn hảo và +1 biểu thị quan hệ đồng biến hoàn hảo

Từ công thức ở trên, ta có thể thấy rằng

cov(X, Y) = ρσxσy

Ví dụ 16 Ước lượng hệ số tương quan cho số liệu trong Ví dụ 4

Từ các PDF trong Ví dụ 11, ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng σx = 2,05 và σy = 1,50 Ta đã tính được rằng cov(X, Y) = = 2,24 Do vậy, áp dụng công thức ở trên, ta ước lượng ρ

bằng 2,24/[(2,05)(1,50)] = 0,73

Phương sai của các biến tương quan. Gọi X và Y là hai biến ngẫu nhiên Ta có

var(X + Y) = var(X) + var(Y) + 2cov(X, Y)

với σ1, σ2 và σ3 tương ứng là các độ lệch chuẩn của X1, X2 và X3, và với ρ12 là hệ số

tương quan giữa X1 và X2, ρ13 là hệ số tương quan giữa X1 và X3 và ρ23 là hệ số tương

quan giữa X2 và X3

Kỳ vọng có điều kiện và phương sai có điều kiện

Gọi f(x, y) là đồng PDF của các biến ngẫu nhiên X và Y Kỳ vọng có điều kiện của X, với điều kiện Y = y, được định nghĩa như sau:

i < j

i < j

với E(X Y = y) có nghĩa là kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y = y và f(x Y =

y ) là PDF có điều kiện của X Kỳ vọng có điều kiện của Y, E(Y X = x), được định

Ví dụ 17 Tính E(X Y = 2) và var(X Y = 2) cho số liệu trong Ví dụ 4

Các mômen bậc cao hơn của phân phối xác suất

Mặc dù giá trị trung bình, phương sai và hiệp phương sai là những thước đo tổng hợp cho PDF đơn và đa biến được sử dụng nhiều nhất, đôi khi ta cần phải xem xét các mômen bậc cao hơn của PDF, như mômen bậc ba và bậc bốn Các mômen bậc ba và

bậc bốn của PDF đơn biến f(x) xung quanh giá trị trung bình (µ) được định nghĩa như sau:

Mômen bậc ba: E(X − µ)3

Mômen bậc bốn: E(X − µ)4

Tổng quát, mômen bậc r xung quanh giá trị trung bình được định nghĩa như sau:

Mômen bậc r: E(X − µ)r

Các mômen bậc ba và bậc bốn của một phân phối thường được sử dụng để

nghiên cứu “hình dạng” của một phân phối xác suất, đặc biệt là skewness, S ( nghĩa là

bất cân xứng) và kurtosis (nghĩa là nhọn hay phẳng), như mô tả trong Hình A.3

HÌNH A.3

(a) Skewness; (b) kurtosis

Một đại lượng skewness được định nghĩa như sau:

Cân xứng Lệch về bên trái Lệch về bên phải

X E S

bình trung trị giá quanh xung

hai bậc mômen của

phương Lập

bình trung trị giá quanh xung ba bậc mômen của

phương Bình

=

Lưu ý: Mômen bậc hai xung quanh giá trị trung bình đơn giản là phương sai

Một đại lượng kurtosis thường được sử dụng là:

2 2 4

])([

)(

X E K

hai bậc mômen của

phương Bình

bình trung trị giá quanh xung bốn bậc Mômen

=

Các PDF với giá trị của K nhỏ hơn 3 được gọi là platykurtic (mập hay đuôi ngắn) và các PDF với giá trị K lớn hơn được gọi là leptokurtic (ốm hay đuôi dài) Xem Hình

A.3 Một PDF với giá trị kurtosis bằng 3 được gọi là mesokurtic Phân phối chuẩn là

một ví dụ điển hình (Xem thảo luận về phân phối chuẩn trong Mục A.6)

Chúng tôi sẽ trình bày ngắn gọn làm thế nào các đại lượng skewness và kurtosis có thể được kết hợp để xác định xem một biến ngẫu nhiên có tuân theo phân phối chuẩn hay không Nhớ lại rằng thủ tục kiểm định giả thiết của chúng ta, như kiểm

định t và F, được dựa vào giả thiết (ít nhất là đối với các mẫu nhỏ hay có giới hạn) là

phân phối của biến đang xem xét (hay thống kê mẫu) tuân theo quy luật chuẩn Do vậy, trong các ứng dụng cụ thể, việc tìm xem giả thiết này có được thỏa mãn không là điều rất quan trọng

A.6 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT LÝ THUYẾT QUAN TRỌNG

Trong các chương, những phân phối sau đây được sử dụng một cách rộng rãi

Phân phối chuẩn

Nổi tiếng nhất trong số tất cả các phân phối xác suất là phân phối chuẩn Dạng hình chuông của phân phối này khá quen thuộc với những ai có chút ít kiến thức về thống kê

Một biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn nếu PDF của nó

có dạng sau:

f (x) = 1

2

12

2 2

σ π

µσ

với µ và σ2, gọi là các thông số của phân phối, tương ứng là giá trị trung bình và

phương sai của phân phối Sau đây là các tính chất của phân phối chuẩn:

1 Phân phối chuẩn đối xứng qua giá trị trung bình của nó

2 Khoảng 68% diện tích phía dưới đường cong chuẩn nằm giữa giá trị µ ± σ, khoảng 95% diện tích phía dưới đường cong chuẩn nằm giữa giá trị µ ± 2σ, và khoảng 99,7% diện tích phía dưới đường cong chuẩn nằm giữa giá trị µ ± 3σ, như minh họa trong Hình A.4

HÌNH A.4

Các diện tích dưới đường cong chuẩn

3 Phân phối chuẩn phụ thuộc vào hai thông số µ và σ2 Vậy, khi các thông số này

được xác định, ta có thể tìm xác suất X nằm trong khoảng nhất định bằng cách sử

dụng PDF của phân phối chuẩn Nhưng nhiệm vụ này có thể được giảm bớt đáng kể bằng cách tham chiếu Bảng D.1 của Phụ lục D Để sử dụng bảng này, ta chuyển

biến có phân phối chuẩn X với giá trị trung bình µ và phương sai σ2 thành biến

chuẩn hóa Z bằng phép biến đổi sau:

Z = x−µ

σ

Một tính chất quan trọng của mọi biến chuẩn hóa là giá trị trung bình của nó

bằng 0 và phương sai bằng 1 đơn vị Vậy, Z có giá trị trung bình bằng không và phương sai đơn vị Thay thế z vào PDF chuẩn ở trên, ta có:

68% (gần đúng) 95% (gần đúng) 99,7% (gần đúng)

f (Z) = 1

2

12

2

π exp −



 Z 

f (Z) là PDF của biến chuẩn hóa Các xác suất trong Phụ lục D, Bảng D.1 được

dựa vào biến chuẩn hóa này

Theo quy ước, ta ký hiệu biến có phân phối chuẩn là

X ~ N(µ, σ2)

với ~ có nghĩa là “có phân phối”, N đại diện cho phân phối chuẩn và các con số

trong ngoặc là hai thông số của phân phối chuẩn, cụ thể là giá trị trung bình và phương sai Theo quy ước này,

X ~ N(0, 1) nghĩa là X là biến có phân phối chuẩn với giá trị trung bình bằng không và phương sai đơn vị Nói một cách khác, nó là biến chuẩn hóa Z

Ví dụ 18 Giả sử X ~ N(8, 4) Xác suất X nhận giá trị nằm giữa X1 = 4 và X2 = 12 bằng bao

nhiêu? Để tính xác suất yêu cầu, ta tính các giá trị Z sau:

Ví dụ 19 Xác suất X lớn hơn 12 trong ví dụ trên bằng bao nhiêu?

Xác suất X lớn hơn 12 giống như trường hợp lớn hơn 2 Từ Bảng D.1, rõ ràng là xác suất

này bằng (0,5 − 0,4772) hay 0,0228

4 Đặt X1 ~ N(µ1, σ12) và X2 ~ N(µ2, σ22) và giả thiết rằng chúng độc lập Bây giờ, ta xem xét kết hợp tuyến tính

Y = aX1 + bX2

với a và b là hằng số Ta có thể chỉ ra rằng

Y ~ N[(aµ1 + bµ2), (a2σ12 + b2σ22)]