Chú ý: + Biến đổi tương đương là một cách chứng minh khác quen thuộc của định lí thay vì chứng minh khẳng định P đúng, ta biến đổi tương đương về một khẳng định Q đúng, do đó P đúng..
Trang 1Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định lí là một khẳng định đúng, thông thường có dạng ∀ ∈x X P x, ( )⇒Q x( )
Có hai phương pháp chứng minh định lí cơ bản:
+) Phương pháp trực tiếp: Từ x ∈X, P(x) đúng rồi lần lượt suy ra Q(x) đúng
+) Phương pháp gián tiếp: Dùng phương pháp phản chứng Ta biết rằng mệnh đề ∀ ∈x X P x, ( )⇒Q x( ) sai khi P(x)
đúng và Q(x) sai Để chứng minh phản chứng ta thực hiện như sau
- giả sử tồn tại x o thuộc X sao cho P(x o) đúng và Q(x o) sai Khi đó mệnh đề ban đầu sai
- Dùng các phép lập luận đề dẫn đến điều giả sử trên bị mâu thuẫn
Chú ý:
+) Biến đổi tương đương là một cách chứng minh khác quen thuộc của định lí thay vì chứng minh khẳng định P đúng,
ta biến đổi tương đương về một khẳng định Q đúng, do đó P đúng
+) Dạng số nguyên thường gặp:
- số n là số chẵn khi n = 2k, (tức là n chia hết cho 2)
- số n là số lẻ khi n = 2k + 1
- số n chia hết cho 3 khi n = 3k Tổng quát, n chia hết cho a khi n = a.k
- số n không chia hết cho 3 khi n = 3k + 1 hoặc 3k + 2, viết gọn là n = 3k ± 1
- số n không chia hết cho 5 được viết gọn là n = 5k ± 1; n = 5k ± 2
II CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Các ví dụ chứng minh trực tiếp:
Ví dụ 1: [ĐVH].Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có
a) Nếu n là số lẻ thì n3 lẻ
b) Nếu n chia hết cho 3 thì n(n + 1) chia hết cho 6
Hướng dẫn giải:
a) Do n là số lẻ nên n = 2k + 1
k
′
′
= + = + + + = + + + = +
Vậy n3 là số lẻ
b) Do n chia hết cho 3 nên n = 3k với k là một số nguyên Do ta chưa thể xác định được k chẵn hay lẻ, nên có hai khả
năng xảy ra
TH1: k là số chẵn, tức là k =2m→ =n 3k =3.2m=6m
n n+ = m m+ = m +m →n⋮
TH2: k là số lẻ, tức là k=2m+ 1 → =n 3k=3 2( m+ =1) 6m+3
Khi đó n n( + =1) (6m+3 6) ( m+ + =3 1) (6m+3 6) ( m+ =4) (3 2m+1 2 3) ( m+ =2) (6 2m+1 3)( m+ 2) →n⋮ 6
Ví dụ 2: [ĐVH].Chứng minh rằng với mọi số chính phương luôn được biểu diễn dạng 4k hoặc 4k + 1
Hướng dẫn giải:
Gọi n là số chính phương Khi đó n có thể là số chẵn hoặc số lẻ
- Nếu n chẵn, giả sử ( )2 2
n= m = m = k
- Nếu n lẻ, giả sử ( )2 2 ( 2 )
n= m+ = m + m+ = m +m + = k+
Vậy ta được điều phải chứng minh
Ví dụ 3: [ĐVH].Chứng minh rằng với mọi x, y ta luôn có
a) 2− + 2+ >
1 0
b) 4x2+4y2+6x+ ≥3 4xy
Hướng dẫn giải:
02 SUY LUẬN TOÁN HỌC Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!
a) Ta có
− + + = − + + > ∀ ∈
4x +4y +6x+ −3 4xy= x −4xy+4y +3x +6x+ = −3 x 2y +3 x+1 ≥ ∀0, x y, ∈R
Các ví dụ sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh:
Ví dụ 1: [ĐVH].Cho số tự nhiên n Chứng minh rằng
a) nếu n2 là số chẵn thì n chẵn
b) Nếu n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5
Hướng dẫn giải:
Ta biết rằng với mệnh đề nếu P thì Q chỉ sai khi P đúng, Q sai
a) Giả sử n là số lẻ và n2 là số chẵn
Do n là số lẻ nên 2 ( )2 2 ( 2 )
n= k+ → =n k+ = k + k+ = k + k + = k′+
Ta thấy n2là số lẻ, trái với giả thiết phản chứng Vậy mệnh đề phủ định sai, từ đó mệnh đề đã cho là đúng, hay định lí được chứng minh
b) Giả sử n không chia hết cho 5, khi đó n=5k±1;n=5k±2
n= k± → =n k± = k ± k+ = k ± k + = k′+
→ n2 không chia hết cho 5, vậy giả thiết phản chứng là sai
n= k± → =n k± = k ± k+ = k ± k+ − = k′−
→ n2 không chia hết cho 5, vậy giả thiết phản chứng là sai
Vậy n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5
Ví dụ 2: [ĐVH] Chứng minh rằng
a) Nếu a + b > 0 thì có ít nhất một trong hai số a hoặc b phải dương
b) Nếu a và b là hai số dương thì a+ ≥b 2 ab .
Hướng dẫn giải:
a) Giả thiết phản chứng cả a và b đều không dương, tức 0 0
0
a
a b b
≤
→ + ≤
≤
Điều này mâu thuẫn với giả thiết
Vậy nếu a + b > 0 thì có ít nhất một trong hai số a hoặc b phải dương
a+ <b ab→ + −a b ab< ⇔ a− b < →vô lí
Vậy nếu a, b là hai số dương thì a+ ≥b 2 ab
BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Chứng minh rằng
a) nếu a + b < 2 thì một trong hai số a, b phải nhỏ hơn 1
b) cho n là số tự nhiên, nếu 5n + 4 lẻ thì n là số lẻ
c) Nếu abc > 0 thì trong ba số a, b, c có ít nhất một số dương
Bài 2: [ĐVH] Chứng minh rằng
a) nếu bỏ 100 viên bi vào trong 9 cái hộp thì có một hộp chứa ít nhất 12 viên bi
b) một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 600
c) nếu x ≠−1 và y ≠−1 thì x + y + xy ≠−1
Bài 3: [ĐVH] Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:
a) với số tự nhiên n, nếu 3n + 2 lẻ thì n là số lẻ
b) nếu tích hai số nguyên chia hết cho 5 thì phải có ít nhất một số chia hết cho 5
c) nếu tổng bình phương của hai số nguyên dương chia hết cho 7 thì cả hai số đó chia hết cho 7
Bài 4: [ĐVH].Một nhà thông thái bị xử phạt tội chết và bị hành quyết: hoặc chém đầu hoặc treo cổ Trước khi hành quyết nhà vua cho được nói một câu và giao hẹn: nếu nói đúng thì chém đầu, nếu nói sai thì bị treo cổ Nhà thông thái mỉm cười và nói một câu, nhờ đó đã thoát chết Bạn hãy cho biết câu nói đó của nhà thông thái là gì?
Bài 5: [ĐVH]. Cúp Tiger 98 có 4 đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan và Indonesia Trước khi vào đấu vòng bán kết, ba bạn A, B, C dự đoán như sau
Bạn A: Singapor nhì còn Thái Lan ba
Trang 3Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!
Bạn B: Việt Nam nhì còn Thái Lan thứ tư
Bạn A: Singapor nhất và Indonesia nhì
Kết quả là mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội Bạn hãy cho biết mỗi đội chính xác đã đoạt giải mấy?