CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶGV.. Sau đây tơi đi vào một số pp cụ thể... Suy ra pt đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
GV Cao Thanh Phương Bài tốn mở đầu:
Giải phương trình:1 2 2 1 1( )
Đ/k: 0≤ ≤x 1
Cách 1:
=
2
2
2
x
x x
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x=0,x=1
Cách 2:
Đặt t= x + 1−x 1≤ ≤t 2
2
2
t
Phương trình trở thành:
+ − = ⇔ = = ( ) ⇔ + − = ⇔ = =
2 không thỏa mãn
Cách 3: Đặt a= x b; = 1−x a; ≥0,b≥0
Ta cĩ:
2
2 2
1
3
1
không tồn tại ,
2
ab a b
x
a b
b ab
Cách 4:
Đặt sin ,0
2
x = α ≤ ≤α π
Phương trình trở thành:
3
α
π
=
=
=
0
2
x x
Qua ví dụ trên ta thấy cĩ rất nhiều cách để giải pt vơ tỷ Sau đây tơi đi vào một số pp cụ thể
Trang 21.Phương pháp 1:Biến đổi tương đương
Bài toán: Giải phương trình sau
Đk: x3+2x+ ≥1 0; x2+5x+ x3+2x+ ≥1 0;
+ ≥
≥ −
+ + = −
2
3
2 3
1 0
1
1
0 (TMÑK) 3
3
x
x
2.Phương pháp2:Đặt ẩn số phụ
Bài toán: Giải phương trình: x3 35−x x3 ( +335−x3)=30
Đặt
3
3
t
t
−
Phương trình đã cho trở thành
3 3
3
3
3 Phương pháp 3:Phương pháp làm xuất hiện biểu thức liên hợp
Bài toán: Giải phương trình: ( x− +1 x+2) ( x2+ − − =x 2 1 3)
Đk:x≥1
+ − ≥
− − =
2 2
2
2 2
2
2 1 0
2 1
2
2 0
1
x x
x x
x
x x
x
4 Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích
Bài toán: Giải phương trình: x+ +3 2x x+ =1 2x+ x2+4x+3
Đk:x≥ −1
2
⇔1 + −3 21 0=0⇔ = 10(TMÑK)
x
Trang 35 Phương pháp 5:Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Bài toán: Giải phương trình: 2x+ −8 32x− =9 5
Đk:x≥ −4
Đặt a= 2x+ ≥8 0;b= 32x− ≥ −9 3 17
1
b
= −
Với
3 3 3
1
2 73
2
Vậy nghiệm của pt là =4, =1, = 73
6 Phương pháp 6: Phương pháp đánh giá:
Bài toán: Giải phương trình: 1 2012 1 2012 1 1
1
x
+
2012 x 2012
+
1
1
x
x Dấu = xảy ra khi x = 0.
Ta có:
( 1 2012− x + 1 2012+ x)2 ≤2 1 2012( − x+ +1 2012x) = ⇒4 1 2012− x+ 1 2012+ x ≤2 Dấu = xảy ra khi x = 0 Vậy x = 0 là nghiệm của pt
7 Phương pháp 7: Phương pháp hàm số
Bài toán: Giải phương trình: x− = − +1 x2 2x+17
Đk:x≥1
Dễ thấy
Hàm số f x( ) = x−1 đồng biến trên (1;+∞)
Hàm số g x( ) = − +x2 2x+17 nghịch biến trên (1;+∞)
Suy ra pt đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta có:f ( ) ( )5 =g 5
Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất
Trang 48 Phương pháp 8: Phương pháp lượng giác hĩa
Bài tốn: Giải phương trình: 1+ 1−x2 =2x2
Đk: 1− ≤ ≤x 1
Đặt x=cos ,0α ≤ ≤α π
Phương trình trở thành
( )
α
α π
α π α
=
sin 1 loại
sin
2 3
6
2 5
6
c
x
9 Phương pháp 9: Phương pháp vectơ
Bài tốn:Giải phương trình: x2−4x+ −5 x2−10x+50 5=
Chọn ar=(x−2;1 ;) br=(x−5;5)
r
r
Suy ra:
r r
Ta cĩ: ar− br ≤ −a br r, dấu bằng xảy ra khi ar=(x−2;1 ;) br=(x−5;5) cùng hướng⇔ =a kb kr r( >0)
5
1 5
5 0
4
k
x k
Vậy 5
4
x=