Tóm tắt khóa luận mô đun artin

Khoá luận này đợc viết với hai mục tiêu: Mục tiêu đầu tiên của khoá luận này là giúp các bạn sinh viên năm cuối của khoa toán và những ai quan tâm làm quen với một cấu trúc đại số mới: c

Trờng đại học s phạm Hà nội 2

Trờng đại học s phạm Hà nội 2

Mục lục

Lêi nãi ®Çu………2

Ch¬ng 1: Nh÷ng kiÕn thøc bæ trî………4

Bµi 1: Lý thuyÕt vµnh……….4

Bµi 2: M« ®un……….4

Ch¬ng 2: M« ®un Artin………5

Bµi 1: §Þnh nghÜa vµ vÝ dô……… 5

Bµi 2: M« ®un Artin víi tÝnh h÷u h¹n sinh……….6

Bµi 3: §é dµi m« ®un……… 10

KÕt luËn……… 18

Tµi liÖu tham kh¶o………19

LỜI NóI ĐầU

Có thể nói rằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều cần tới cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biết sâu sắc về các cấu trúc này Điều này cũng dễ hiểu vì ta biết rằng hai đặc tính cơ bản nhất của toán học là tính trừu tợng và tính tổng quát, mà hai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số Khoá luận này đợc viết với hai mục tiêu:

Mục tiêu đầu tiên của khoá luận này là giúp các bạn sinh viên năm cuối của khoa toán và những ai quan tâm làm quen với một cấu trúc đại số mới: cấu trúc mô đun, cấu trúc quan trọng nhất của đại số

Mục tiêu thứ hai là giới thiệu và chứng minh một số kết quả quan trọng của lý thuyết ‘mô đun Artin’

Do khuôn khổ luận văn nên trong phần nội dung của khoá luận chỉ trình bày một số khái niệm, các định lý, bổ đề để làm rõ hơn các tính chất của ‘mô

Chơng 2: nội dung chính của khoá luận: trình bày khái niệm ‘mô

đun Artin’ và một số kết quả quan trọng.

Do điều kiện thời gian và khả năng còn hạn chế của bản thân nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các thầy cô giáo và các bạn sinh viên nhận xét, đóng góp ý kiến để bản thân rút kinh nghiệm, có hớng hoàn thiện và phát triển luận văn sau này

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Huy Hng- giảng viên tổ đại số khoa toán đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khoá luận này

Sinh viên

Đỗ Thị Hằng Nga

- Định nghĩa mô đun con và tính chất.

2 Mô đun thơng và đồng cấu mô đun.

i) ∀( )G i i∈N họ các mô đun con của M sao cho:G1 ⊆G2 ⊆ ⊆G i ⊆G i+1 ⊆

đều ∃k∈N sao cho G k =G k+i∀i∈N

(điều kiện dãy tăng các mô đun con của M)

ii) Mọi tập con khác rỗng các mô đun con của M đều chứa phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm)

(điều kiện cực đại các mô đun con của M)

Định nghĩa 2.1.2

Giả sử M là một mô đun trên vành giao hoán R Ta nói M là R- mô đun Artin nếu nó thoả mãn một trong các điều kiện sau:

i) ∀( )G i i∈N họ các mô đun con của M sao cho:G1 ⊇G2 ⊇ ⊇G i ⊇G i+1 ⊇

đều ∃k∈N sao cho G k =G k+i∀i∈N

(điều kiện dãy giảm các mô đun con của M)

ii) Mọi tập con khác rỗng các mô đun con của M đều chứa phần tử cực tiểu(theo quan hệ bao hàm)

(điều kiện cực tiểu các mô đun con của M)

Định nghĩa 2.1.4

Giả sử R là vành giao hoán Ta nói R là vành Noether nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau:

i) ∀( )i i∈N- họ các iđêan của R mà I1 ⊆I2 ⊆ ⊆I n ⊆I n+1 ⊆ thì luôn ∃k∈N

sao cho Ik = Ik+i ∀i∈N

ii) Mọi tập con khác rỗng các iđêan của R đều chứa phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm)

i) V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều

ii) V là K- mô đun Noether

iii) V là K- mô đun Artin

Chứng minh:

+ 'i⇒ii' ',i⇒iii'

Giả sử V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều, vdimV=n

Gọi L là không gian véc tơ con của V thì L cũng hữu hạn chiều và vdimL≤ n

Cũng gọi M là không gian véc tơ con của V thoả mãn L⊆M thì

vdimL≤ vdimM

Ta có dãy hữu hạn bất kỳ L0 ⊂ L1 ⊂ ⊂ L t−1 ⊂L t ⊂ các không gian véc tơ con của V(với quan hệ bao hàm thực sự), với số hạng thứ t +1 thoả mãn

i) M là mô đun Noether ⇔N và M N/ là các mô đun Noether.

ii) M là mô đun Artin ⇔N và M N/ là các mô đun Artin

Chứng minh sơ lợc:

Giả sử M là một mô đun trên vành giao hoán R, N là mô đun con nào đó của M

+ Vì mỗi mô đun con của N là một mô đun con của M nên mọi dãy tăng các mô đun con của N cũng là dãy tăng các mô đun con của M Vì M là Noether nên N là Noether.

+ Ta chứng minh đợc mỗi mô đun con của M N/ có dạng M N/ với P là mô

đun con của M sao cho: N ⊆P⊆Mthì M N/ cũng là môđun Noether

N vàM N/ là các mô đun Noether ta cần chứng minh M là Noether

Ta chứng minh:M + N = M + N = n n+1 sau đó đi chứng minh:

) (

i) M là Noether ⇔ L và N là các mô đun Noether.

ii) M là Artin ⇔ L và N là các mô đun Artin.

Chứng minh sơ lợc:

i) ‘⇒’ Giả sử M là Noether Vì kerg là mô đun con của M nên kerg là mô đun Noether, mà L ≅kerg nên L là mô đun Noether.

Vì M là Noether và kerg là mô đun con của M nên M/ kerg là mô đun

Noether, mà M/kerg≅N nên N là mô đun Noether.

‘⇐’ Giả sử L và N là các mô đun Noether Vì L ≅kerg và M/kerg≅N nên kerg

và M/ kerg là các mô đun Noether

Giả sử R là một vành giao hoán

i) Nếu R là một vành Noether thì mọi R-mô đun hữu hạn sinh đều là mô đun Noether

ii) Nếu R là một vành Artin thì mọi R-mô đun hữu hạn sinh đều là mô đun Artin

7 Bổ đề 2.2.7

Giả sử M là một mô đun trên vành giao hoán R và m∈M thì có một R-

đẳng cấu mô đun f :R/( 0 :m) ≈Rm thỏa mãn f (r + (0:m)) = rm ∀r∈R

8 Định lý 2.2.8

Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R và G bị triệt tiêu bởi một tích hữu hạn các idean cực đại của R(không nhất thiết phải khác nhau) nghĩa

là tồn tại n∈N và M1, , Mn là các idean cực đại của R sao cho M1 MnG =

0 thì G là R-mô đun Noether⇔ G là R-mô đun Artin

9 Định nghĩa 2.2.9

Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R thì G đợc gọi là mô đun

đơn nếu G≠0 và G chỉ có 2 mô đun con là 0 và chính nó

10 Bổ đề 2.2.10

Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R thì G là mô đun đơn ⇔G

đẳng cấu với một mô đun có dạng R/ M với M là idêan cực đại nào đó của R

Ngời ta gọi độ dài của dãy là số các liên kết của dãy

(Trong trờng hợp này ta có độ dài của dãy bằng n)

Ta coi mô đun không có độ dài bằng 0

Một dãy các mô đun con của G cho bởi:

ii) Mọi dãy hợp thành của G có độ dài đúng bằng n

iii) Mỗi dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G có độ dài

'

n ≤n.iv) Mọi dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G có độ dài n là dãy hợp thành của G

Chứng minh: Giả sử n > 0, với mọi R- mô đun M ta kí hiệu l(M) là độ dài tối

thiểu của dãy hợp thành của M nếu M có một dãy hợp thành và l(M) = ∞ nếu

M không có dãy hợp thành

Trớc hết ta chứng minh nếu H là mô đun con thực sự của G thì l(H) < l(G).

Giả sử l(G) = t và 0 =G0 ⊂G1 ⊂G2 ⊂ ⊂ G t−1 ⊂G t =G là một dãy hợp

thành của G có độ dài t

Với mỗi i =0,t ta giả sử H i = ∩H G i

Theo định lý đẳng cấu các mô đun:

đơn nênH H i/ i−1 là mô đun không hoặc là mô đun đơn

Vì thế ta bỏ đi các số hạng lặp trong dãy :

0 =H ⊆H ⊆ ⊆ H t− ⊆H t = ∩H G t =H

(ví dụ Hi = Hi-1thì ta bỏ đi Hi) ta sẽ đợc một dãy hợp thành của H

Vì vậy l(H)≤ l(G) Hơn nữa ta phải có l(H) < l(G) vì giả sử ngợc lại

i) Giả sử G' 0 ⊂G' 1 ⊂G' 2 ⊂ ⊂ G'r−1 ⊂G'rlà một dãy nghiêm ngặt tuỳ ý các mô

đun con của G thoả mãn G' 0 = 0 và G'r =G

ii) Giả sử G có một dãy hợp thành có độ dài n1 thì n1 ≤l G( ) =n( theo phần i),

lại có l(G) ≤n1theo định nghĩa của l(G) suy ra n1 = n

Vậy mọi dãy hợp thành của G có độ dài bằng nhau và bằng n

iii, iv) Từ định nghĩa 2.3.1 và phần I, ii ta thấy một dãy nghiêm ngặt các mô

đun con của G có độ dài n’ < n = l(G) không thể là một dãy hợp thành của G vì theo ii mọi dãy hợp thành đều có độ dài n và vì nó có thể kéo dài tới một dãy nghiêm ngặt có độ dài n’+1 bằng cách thêm một phần tử

Mặt khác một dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G có độ dài n phải

là một dãy hợp thành của G vì ngợc lại nó có thể kéo dài tới một dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G có độ dài n+1 mâu thuẫn với phần i

3 Định nghĩa 2.3.3

Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R

Ta nói G có độ dài hữu hạn khi G có một dãy hợp thành.

Độ dài của G kí hiệu là l(G) hoặc lR(G) (khi cần chỉ rõ trên vành nào)

đợc định nghĩa là độ dài của bất kì dãy hợp thành nào của G

(Ta đã biết mọi dãy hợp thành của G là có cùng độ dài)

Khi G không có độ dài hữu hạn tức khi đó G không có dãy hợp thành ta

quy ớc l(G) = ∞.

4 Mệnh đề 2.3.4

Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R thì G có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi G vừa là mô đun Noether vừa là mô đun Artin hay G thoả mãn cả dãy điều kiện tăng cả dãy điều kiện giảm các mô đun con của G

Chứng minh sơ lợc:

Giả sử G có độ dài hữu hạn l(G) thì theo 2.3.3 mọi dãy tăng bất kì các mô

đun con của G không thể có độ dài lớn hơn l(G) (kể cả dãy nghiêm ngặt) và phải là dãy dừng Do đó G là Noether

Tơng tự bất kì một dãy giảm các mô đun con của G phảilà dãy dừng do đó G

là Artin

⇐’ Giả sử G vừa là mô đun Artin vừa là mô đun Noether thế thì G phải thoả mãn cả dãy điều kiện tăng cả dãy điều kiện giảm các mô đun con của G và thoả mãn có mô đun con cực đại và mô đun con cực tiểu

Ta giả sử G không có một dãy hợp thành nào tức l(G) = ∞ ta phải chỉ ra mâu thuẫn

Đặt θ = {M/ M là mô đun con của G và l(M) = ∞}

Sử dụng điều kiện cực đại, cực tiểu để suy ra điều mâu thuẫn

(G G i/ i−1)i n=1 là họ các thừa số hợp thành trên dãy hợp thành ( tất nhiên họ các thừa số hợp thành là φ khi G = 0)

Bây giờ giả sử G≠ 0 và G' 0 ⊂G' 1 ⊂G' 2 ⊂ ⊂ G'n−1 ⊂G'n là một dãy hợp

thành thứ 2 của G ( chú ý rằng bất kì 2 dãy hợp thành của G là có cùng độ dài) Ta nói rằng hai dãy hợp thành của G là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một hoán vị Φ của tập {1, 2, ,n} của n số nguyên dơng đầu tiên sao cho

G G − ≅G G − suy ra dãy (*) đẳng cấu với(**)

+ Nếu H ≠ 0 ⇒ ⊂ 0 H ⊂G n−1 ⊂G n là một dãy nghiêm ngặt các mô đun con của

b Khi L, M, N có độ dài hữu hạn thì l(M) = l(L) + l(N).

Chứng minh:

i) Vì R- mô đun M có độ dài hữu hạn⇔ nó vừa là mô đun Noether vừa là mô

đun Artin⇔ L và N vừa là mô đun Noether vừa là mô đun Artin ⇔ L và N có

độ dài hữu hạn

Do đó R- mô đun M có độ dài hữu hạn⇔ L và N có độ dài hữu hạn.

Để ý L≅ Im f = kergvà theo định lý đẳng cấu thứ nhất về mô đun ta có

/ ker

M g ≅ N vì vậy ta có kerg và M/ kerg có độ dài hữu hạn Điều này cho thấy nếu G là mô đun con của M (với M có độ dài hữu hạn ) thì

l(M) = l(G) + l(M/ G) Thật vậy:

Kết quả đợc trực tiếp suy ra khi G = 0 hoặc G = M

Bây giờ ta giả sử 0 ⊂ ⊂G M ta có thể thêm vào dãy trên các mô đun con của m để đợc một dãy hợp thành của M M0 ⊂M1 ⊂M2 ⊂ ⊂ M n−1 ⊂M n

- Giả sử kết quả đúng với 1< k < n

Giả sử v V v∈ , ≠0 đặt U = Kv là một không gian con một chiều của V

Xét dãy khớp ngắn: 0 → U i→ →V f V U/ → 0 của K- không gian

và K- ánh xạ tuyến tính trong đó I là ánh xạ bao hàm, f là toàn cấu

U và V/ U là các không gian có số chiều hữu hạn

vdimKV = vdimK(kerf) + vdimK(V/ U) ⇒vdimK(V/ U) = vdimKV - vdimK(kerf)

mà kerf = Imi = U ⇒vdimK(kerf) = 1

⇒ vdimK(V/ U) = n-1

Theo giả thiết quy nạp thì l(V/ U) = vdimK(V/ U) = n-1 mà vdimKU = l(U)

⇒ vdimKV = vdimKU + vdimK(V/ U) = l(U) + l(V/ U) = 1 + n-1 =n (đpcm)

Kết luận

Trên đây là bảng tó tắt toàn bộ nội dung đề tài: ‘ Mô đun Artin ’

Trớc tiên ngời đọc đa ra một hệ thống lý thuyết về các định nghĩa, định

lý, bổ đề, mệnh đề làm cơ sở cho việc nghiên cứu những tính chất của mô đun Artin

Sau đó là nghiên cứu mô đun Artin với các tính chất riêng của nó và trong mối quan hệ của nó với một số mô đun đặc biệt dựa trên các tính chất

độc đáo thể hiện mối liên quan giữa chúng

Hi vọng rằng tài liệu này sẽ góp ích đợc một phần nào đó đối với các bạn sinh viên quan tâm đến đại số nói riêng, đến toán học nói chung

Chắc chắn rằng cuốn khoá luận không thể tránh khỏi những sai xót, rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến chân thành của các thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 5, năm 2009

Sing viên Đỗ Thị Hằng Nga

Tài liệu tham khảo

1

2 Nguyễn Hữu Việt Hng, Đại số đại cơng, NXB GD 1999;

3 Ngô Thúc Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), NXB GD 1982;