Tóm tắt một hướng mở rộng định lý tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach nửa sắp thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGÔ QUANG HƯNG MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ LÕM TRONG KHÔNG GIAN BANACH NỬA SẮP THỨ TỰ TÓM TẮT LUẬN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ QUANG HƯNG

MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ LÕM

TRONG KHÔNG GIAN BANACH NỬA SẮP THỨ TỰ

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy

HÀ NỘI, 2014

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học : PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 vào hồi giờ ngày tháng năm 2014

CÓ THỂ TÌM HIỂU LUẬN VĂN TẠI THƯ VIỆN TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI 2

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự 3

1.1 Khái niệm nón trong không gian định chuẩn 3

1.2 Quan hệ thứ tự trong không gian định chuẩn 4

1.3 Các phần tử thông ước 5

1.4 Một số nón đặc biệt 6

1.5 Không gian định chuẩn thực l2 7

1.5.1 Định nghĩa không gian l 2 và một số tính chất quan trọng 7

1.5.2 Nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian l2 8

1.5.3 Các phần tử thông ước 8

Chương 2 Toán tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thứ tự 9 2.1 Khái niệm toán tử lõm 9

2.1.1 Các định nghĩa 9

2.1.2 Một số tính chất đơn giản 10

2.2 Toán tử lõm trên không gian Banach thực nửa sắp thứ tự l2 10

2.3 Mở rộng định lí về sự tồn tại của điểm bất động của toán tử lõm 11 2.3.1 Định lí mở rộng 11

2.3.2 Áp dụng 11

Kết luận 12

Tài liệu tham khảo 13

Mở đầu

Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của bộ môn giải tích hàm phi tuyến, chính vì thế ngay từ đầu thế kỷ 19 các nhà toán học trên thế giới đã rất quan tâm và phát triển nó hết sức sâu rộng và trở thành công cụ để giải quyết nhiều bài toán do thực tế đặt ra

Năm 1956 nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki M.A đã nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định Năm 1962 ông mở rộng cho toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón là tập con của nón còn lại

Năm 1975 GS TSKH Bkhatin I.A đã mở rộng các kết quả trên trong công trình cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0)-lõm lần lượt tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định và trong không gian Banach thực với hai nón

cố định chung nhau ít nhất một phần tử khác không Các lớp toán tử được các nhà toán học Kranoxelxki và Bakhtin nghiên cứu đều có tính chất u0-đo được Năm 1987, PGS TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối với lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất u0-đo được

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo, PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi chọn nghiên cứu đề tài: Một hướng mở rộng định lí tồn tại điểm bất động của toán

tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thự tự

Trong các bài báo, công trình của các tác giả nêu trong mục tài liệu tham khảo

từ [1] đến [9], khi mở rộng định lí các tác giả thường bổ sung điều kiện đối với

các toán tử, còn đề tài này mở rộng một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm theo hướng bổ sung các điều kiện cho nón

Chương 1 Không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự

1.1 Khái niệm nón trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E là một không gian định chuẩn thực và K là tập hợp con khác rỗng của E Tập hợp K được gọi là một nón nếu tập hợp K thỏa mãn các điều kiện sau:

i) K là tập đóng trong không gian E;

ii) Với mọi x, y ∈ K ta có x + y ∈ K;

iii) Với mọi x ∈ K và mọi α ∈ R+ ta có αx ∈ K;

iv) Với mọi x ∈ K và x 6= θ ta có −x /∈ K, ở đây θ kí hiệu là phần tử không của không gian E

Ta có một vài tính chất đơn giản của nón K trong không gian định chuẩn thực E

Định lý 1.1.1 Giả sử K là một nón trong không gian E Khi đó K là một tập hợp lồi

Định lý 1.1.2 Giả sử K1, K2 là hai nón trong không gian E Khi đó, nếu

K = K1 ∩ K2 chứa ít nhất một phần tử khác không, thì K cũng là một nón trong không gian E

Định lý 1.1.3 Giả sử M là một tập con khác rỗng của không gian định chuẩn

E thỏa mãn các điều kiện: lồi, đóng, bị chặn và θ /∈ M Khi đó tập

K(M ) = {tz : t ≥ 0, z ∈ M }

là một nón.

1.2 Quan hệ thứ tự trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử E là không gian định chuẩn thực, K là một nón trong không gian E Với x, y ∈ E ta viết x ≤ y nếu y − x ∈ K

Định lý 1.2.1 Quan hệ "≤" xác định trong Định nghĩa 1.2.1 là một quan hệ sắp thứ tự trong E

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử E là không gian định chuẩn thực, K là một nón trong không gian E và "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trên E Khi đó ta gọi cặp (E, ≤) (ta thường viết gọn là E) là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K

Ta có một vài khái niệm liên quan trong không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự như sau

Định nghĩa 1.2.3 (Về dãy đơn điệu)

Dãy điểm (xn)∞n=1 ⊂ E gọi là dãy không giảm, nếu

xn ≤ xn+1, n = 1, 2, Dãy điểm (yn)∞n=1 ⊂ E gọi là dãy không tăng, nếu

yn+1 ≤ yn, n = 1, 2, Các dãy không giảm, dãy không tăng gọi chung là dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.2.4 (Về tập bị chặn trên, bị chặn dưới bởi phần tử)

Tập hợp M ⊂ E gọi là bị chặn trên bởi phần tử u ∈ E, nếu

(∀x ∈ M ) x ≤ u

Tập hợp L ⊂ E gọi là bị chặn dưới bởi phần tử v ∈ E, nếu

(∀x ∈ L) v ≤ x

Định nghĩa 1.2.5 (Về cận trên, cận dưới đúng)

+) Phần tử x∗ gọi là cận trên đúng của tập M, nếu

i) (∀x ∈ M ) x ≤ x∗;

ii) Nếu z ∈ E sao cho (∀x ∈ M ) x ≤ z thì x∗ ≤ z

Kí hiệu x∗ = sup M

+) Phần tử y∗ gọi là cận trên đúng của tập L, nếu

i) (∀y ∈ L) y∗ ≤ y;

ii) Nếu w ∈ E sao cho (∀w ∈ L) w ≤ y thì w ≤ y∗

Kí hiệu y∗ = inf L

Ta có một số tính chất đơn giản suy ra từ các định nghĩa trên

Định lý 1.2.2 Giả sử hai dãy bất kì (xn)∞n=1 ⊂ E, và (yn)∞n=1 ⊂ E, thỏa mãn xn ≤ yn ∀n = 1, 2, 3 Khi đó, nếu limn→∞xn = x, limn→∞yn =

y trong E, thì x ≤ y

1.3 Các phần tử thông ước

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E, x, y ∈ E Phần tử x gọi là thông ước với phần tử y, nếu ∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho αy ≤ x ≤ βy

Nhận xét 1.3.1 Nếu phần tử x thông ước với phần tử y thì phần tử y thông ước với phần tử x

Định lý 1.3.1 Hai phần tử cùng thông ước với phần tử thứ ba thì thông ước với nhau

Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E,

và H là một nón trong không gian E, u0 ∈ H \ {θ}, kí hiệu H(u0) là tập hợp tất cả phần tử của không gian E thông ước với u0

Ta có tính chất của tập H(u0) qua định lý dưới đây

Định lý 1.3.2 H(u0) là tập lồi Nếu u0 ∈ K \ {θ} thì H(u0) ⊂ K \ {θ}

1.4 Một số nón đặc biệt

Định nghĩa 1.4.1 Nón H gọi là chuẩn tắc nếu ∃δ > 0 sao cho

∀e1, e2 ∈ H : ke1k = ke2k = 1 thì ke1 + e2k ≥ δ

Định lý 1.4.1 Nón H là chuẩn tắc khi và chỉ khi nón H thỏa mãn điều kiện

∃N > 0, ∀x, y ∈ H : y − x ∈ H để có bất đẳng thức

Định nghĩa 1.4.2 (Về nón h-cực trị)

Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E, H là một nón trong không gian E Nón H được gọi là h-cực trị, nếu:

i) Mỗi dãy (xn)∞n=1 ⊂ H không giảm và bị chặn trên bởi u ∈ H luôn có sup(xn) thuộc H

ii) Mỗi dãy (yn)∞n=1 ⊂ H không tăng và bị chặn dưới bởi v ∈ H luôn có inf(yn) thuộc H

Định lý 1.4.2 Nếu H là nón h-cực trị thì H là nón chuẩn tắc

1.5 Không gian định chuẩn thực l2

1.5.1 Định nghĩa không gian l2 và một số tính chất quan trọng

Xét tập hợp

l2 = {x = (xn)∞n=1 : xn ∈ R,

∞

X

n=1

|xn|2 < +∞}

Trên l2 trang bị hai phép toán cộng và nhân với vô hướng thông thường xác định bởi:

Phép cộng:

+ : l2 × l2 −→ l2 (x, y) 7−→ x + y xác định bởi x + y = (xn + yn)∞n=1

Phép nhân với vô hướng:

· : R × l2 −→ l2 (λ, x) 7−→ λx xác định bởi λx = (λxn)∞n=1

Dễ dàng thấy rằng tập hợp l2 cùng với hai phép toán cộng và nhân với vô hướng ở trên lập thành một không gian tuyến tính thực

Định lý 1.5.1 Không gian vector thực l2 cùng với ánh xạ

k · k : l2 −→ R

x = (xn)∞n=1 7−→ k · k =

v u u t

∞

X

n=1

x2 n

là một không gian định chuẩn thực

Định lý 1.5.2 Không gian định chuẩn thực l2 là một không gian Banach thực

1.5.2 Nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian l2

Định lý 1.5.3 Các tập hợp

K = {x = (xn)∞n=1 ∈ l2 : xn ≥ 0 (n = 1, 2, )} ⊂ l2, và

H = {x = (xn)∞n=1 ∈ l2 : x1 ≥ |x2|, xn ≥ 0, n = 3, 4, }

là các nón trong không gian l2

Nhận xét 1.5.1 Với bất kì x = (xn)∞n=1 ∈ l2, y = (yn)∞n=1 ∈ l2 ta có

x ≤ y ⇔ xn ≤ yn (n = 1, 2, )

Nhận xét 1.5.2 Quan hệ "≤" trên l2 theo nón K được xây dựng ở trên là quan hệ sắp thứ tự bộ phận

Định lý 1.5.4 Mỗi dãy x(m)
∞m=1 ⊂ l2 không giảm và bị chặn trên bởi phần

tử u ∈ l2 có cận trên đúng sup x(m) = x ∈ l2 và x ≤ u

Mỗi dãy y(m)
∞m=1 ⊂ l2 không tăng và bị chặn dưới bởi phần tử v ∈ l2 có cận dưới đúng inf y(m) = y ∈ l2 và y ≥ v

Định lý 1.5.5 Các nón K và H là chuẩn tắc và h-cực trị

1.5.3 Các phần tử thông ước

Định lý 1.5.6 (Về việc chọn u0 và xác định tập H(u0) trong không gian l2.) Trong không gian l2 Chọn u0 = (u1, u2, ) ∈ l2 \ {θ} sao cho

u1 ≥ |u2|,

I1 = {n ∈ N∗ : un > 0}, I1 6= ∅ và hữu hạn, I1 \ {2}

I2 = {n ∈ N∗ : un = 0}

Khi đó, u0 ∈ K ∩ H \ {θ},

H(u0) = {x = (xn)∞n=1 : xn > 0, n ∈ I1; xn = 0, n ∈ I2, x1 ≥ x2}

Chương 2 Toán tử lõm trong không gian Banach

nửa sắp thứ tự

2.1 Khái niệm toán tử lõm

Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E, H là một nón trong không gian E, u0 ∈ K ∩ H \ {θ}, A : E → E là một toán tử nào đó

2.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1 Toán tử A gọi là toán tử dương trên nón H, nếu AH ⊂ H Định nghĩa 2.1.2 Toán tử A gọi là toán tử đơn điệu trên nón H, nếu x, y ∈ H

và x ≤ y thì Ax ≤ Ay

Định nghĩa 2.1.3 Toán tử A gọi là u0-đo được trên nón H, nếu ∀x ∈ H\{θ}, ∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho

αu0 ≤ Ax ≤ βu0 Định nghĩa 2.1.4 Toán tử A gọi là toán tử lõm, nếu A thỏa mãn các điều kiện:

1) A là toán tử dương và đơn điệu trên nón H;

2) A là toán tử u0-đo được trên nón H;

3) (∀x ∈ H\{θ}) (∀t ∈ (0; 1)) , (∃c = c(x, t) > 0) sao cho

Atx ≥ (1 + c)tAx

Định nghĩa 2.1.5 Phần tử x∗ ∈ E gọi là điểm bất động của toán tử A nếu

Ax∗ = x∗

2.1.2 Một số tính chất đơn giản

Định lý 2.1.1 Nếu A là toán tử lõm thì (∀α ∈ R+∗) thì toán tử αA là toán tử lõm

Định lý 2.1.2 Nếu A, B là hai toán tử lõm thì toán tử tổng A + B là toán tử lõm

Định lý 2.1.3 Nếu A là toán tử lõm thì An là toán tử lõm với mọi n ∈ N∗

2.2 Toán tử lõm trên không gian Banach thực nửa sắp

Giả sử không gian l2 nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ l2, các nón K và H xác định

ở trang 25, tức là hai nón K, H trong Định lý 1.5.3,

K = {x = (xn)∞n=1 ∈ l2 : xn ≥ 0 (n = 1, 2, )} ⊂ l2, và

H = {x = (xn)∞n=1 ∈ l2 : x1 ≥ |x2|, xn ≥ 0, n = 3, 4, }

Còn u0 = (un) được chọn như sau

I1 = {n ∈ N∗ \ {2} : un > 0}, I1 6= ∅ và I1 hữu hạn,

I2 = {n ∈ N∗ : un = 0}

Xét toán tử A cho như sau:

Với x = (xn)∞n=1 ∈ l2, ta đặt Ax = (zn)∞n=1 = z, trong đó

zn =







5

√

xn + 1 với n ∈ I1,

0 với n ∈ I2 Khi đó A là toán tử lõm trong không gian l2

2.3 Mở rộng định lí về sự tồn tại của điểm bất động của

toán tử lõm

2.3.1 Định lí mở rộng

Định lý 2.3.1 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:

1) A là toán tử lõm;

2) Tồn tại x0 ∈ H(u0) sao cho x0 ≤ Ax0 và dãy xn = Axn−1, n = 1, 2, bị chặn trên bởi phần tử u ∈ H(u0), u0 là phần tử cố định thuộc K ∩ H \ {θ}; 3) H là nón h-cực trị

Khi đó, toán tử A có điểm bất động khác không

Định lý 2.3.2 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:

1) A là toán tử lõm;

2) Tồn tại y0 ∈ H(u0) sao cho Ay0 ≤ y0 và dãy yn = Ayn−1, n = 1, 2, bị chặn dưới bởi phần tử v ∈ H(u0), u0 là phần tử cố định thuộc K ∩ H \ {θ}; 3) H là nón h-cực trị

Khi đó, toán tử A có điểm bất động khác không

2.3.2 Áp dụng

Xét toán tử A ở mục 2.2 trên đây, tức là

Ax = zn =







5

√

xn + 1 với n ∈ I1,

0 với n ∈ I2

Ta chứng tỏ được tất cả các điều kiện của Định lý 2.3.1 đều được thỏa mãn Vậy toán tử A có điểm bất động khác không trong không gian l2

Kết luận

Luận văn trình bày được các vấn đề sau đây:

1 Trình bày hệ thống kiến thức về không gian Banach nửa sắp thứ tự, giới thiệu một số nón và chứng minh tính chất của chúng;

2 Giới thiệu về toán tử lõm trong không gian Banach tổng quát và trong không gian l2, chứng minh một số tính chất của toán tử lõm;

3 Mở rộng một số định lý về sự tồn tại của điểm bất động của toán tử lõm trong không gian Banach thực với hai nón theo hướng bổ sung điều kiện phù hợp cho nón

Do năng lực nghiên cứu và trình độ của bản thân còn hạn chế nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, sắp xếp và trình bày các kết quả theo mục đích của luận văn đã đề ra Luận văn chắc chắn khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong được sự góp ý của thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Tài liệu tham khảo

[A] Tài liệu Tiếng Việt

[1] Nguyễn Phụ Hy (1987), Các điểm bất động của toán tử lõm chính quy, Tạp chí toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Tập 15, số

1, trang 27-32

[2] Nguyễn Phụ Hy (1987), Các vectơ riêng của toán tử lõm chính quy, Tạp chí toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Tập 15, số

1, trang 17-23

[3] Nguyễn Phụ Hy (2002), Sự phụ thuộc liên tục của vectơ riêng và các giá trị riêng của một lớp toán tử phi tuyến, Thông báo khoa học các trường đại học, tập Toán-Tin, 2002, tr 62-64

[4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học và kĩ thuật, Hà Nội

[5] Nguyễn Phụ Hy (2013), Các điểm bất động của toán tử (K, u0)-lõm chính quy, Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 22/2012 trang 157-167 [6] Nguyễn Phụ Hy (2013), Các véc tơ riêng dương của toán tử (K, u0)-lõm chính quy, Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 24/2013 trang 118-127

[B] Tài liệu Tiếng Nga

[7] Bakhtin I.A (1959), Về các phương trình tuyến tính với các toán tử lõm và lõm đều, DAN Liên Xô (cũ), T.126, số 1, trang 9-12

[8] Kraxnoxelxki M.A(1962), Các nghiệm dương của các phương trình toán tử, NXB Toán-Lý, Maxkva

[9] Bakhtin I.A (1984), Các nghiệm dương của các phương trình không tuyến tính với các toán tử lõm, Voronegiơ