500 bài toán nâng cao lớp 4

Có đỉnh là O và 2 cạnh là OA, OB Góc nhọn Góc vuông Góc tù Góc bẹt Nhiều đoạn thẳng trong đó có điểm cuối của đoạn thẳng thứ nhất là điểm đầu của đoạn thẳng thứ hai, điểm cuối của đoạn t

A Đoạn thẳng AB

(hoặc BA)

D C

Đoạn thẳng CD (hoặc DC)

E

G Đoạn thẳng EG (hoặcGE)

B A

Đoạn thẳng AB Đoạn thẳng AB

a

CHƯƠNG IV CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

-1 ĐƯỜNG THẲNG - GÓC

A ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG

1 Điểm:

Điểm là khái niệm cơ bản trong hình học được xây dựng từ các hình ảnh cụ thể như: một dấu chấm nhỏ trên trang giấy trắng, một vì sao trên bầu trời, đầu bút chì vót nhọn…

Các điểm thường được vẽ bằng một dấu chấm nhỏ “.”, một dấu khuyên tròn nhỏ “.”, một dấu gạch chéo nhỏ “x”, …

Người ta thường ký hiệu các điểm bằng các chữ cái in hoa A, B, C, D,…

x • ∙

A B C

2 Đoạn thẳng:

Nối 2 điểm A và B bằng thước thẳng ta có đoạn thẳng AB

Điểm A và điểm B là hai đầu mút của đoạn thẳng Đoạn thẳng AB được ký hiệu là AB

Khi không cần xác định rõ hai đầu mút, thì có thể ký hiệu đoạn thẳng bằng một chữ cái nhỏ như a, b, c, …

0 x

2

B A

Đường thẳng AB

Boiduongtoantieuhoc.com

3 Tia:

Nếu từ một điểm ta vẽ một nét thẳng về một phía thì được một tia Điểm đó gọi là gốc của tia

* Tia số:

Nếu ta gắn các số tự nhiên lên một tia đã được định hướng (bằng mũi tên) như sau:

Thì ta có một tia số

4 Đường thẳng:

Kéo dài mãi một đoạn thẳng về hai phía thì được một đường thẳng

Khi không cần chỉ rõ đường thẳng đi qua hai điểm xác định nào đó, ta có thể ký hiệu đường thẳng bằng một chữ cái nhỏ (để tránh nhầm lẫn với đoạn thẳng a, ta nhớ nêu rõ đường thẳng a)

A B đường thẳng AB

a đường thẳng a

Cũng có khi người ta ký hiệu đường thẳng như sau:

x y đường thẳng x, y

B Đường gấp khúc

B

C

D

E

G

O

B A

Góc AOB.

(Có đỉnh là O và 2 cạnh là OA, OB)

Góc nhọn

Góc vuông

Góc tù

Góc bẹt

Nhiều đoạn thẳng trong đó có điểm cuối của đoạn thẳng thứ nhất là điểm đầu của đoạn thẳng thứ hai, điểm cuối của đoạn thẳng thứ hai là điểm đầu của đoạn thẳng thứ ba, … tạo thành một đường gấp khúc

Đường gấp khúc ABCDEG gồm có 5 đoạn thằng AB, BC, CD, DE, EG

* Muốn tìm độ dài của đường gấp khúc ta cộng độ dài của các đoạn thẳng tạo nên đường gấp khúc đó

C Góc

1 Góc:

Góc là một hình tạo bởi hai tia có cùng chung một gốc Hai tia đó gọi là cạnh của góc Gốc chung gọi là đỉnh của góc

2 Các loại góc:

Góc vuông: có độ lớn bằng 90o (90 độ)

Góc bẹt: có độ lớn bằng 180o (bằng 2 lần góc vuông)

Góc nhọn: có độ lớn nhỏ hơn 90o (nhỏ hơn góc vuông)

Góc tù: có độ lớn nhỏ hơn 180o nhưng lớn hơn 90o (lớn hơn góc vuông và nhỏ hơn góc bẹt)

900

600

Boiduongtoantieuhoc.com

3 Vòng đo góc:

Người ta đo góc bằng vòng đo góc

* Cách sử dụng:

- Đặt tâm của vòng đo góc trùng với đỉnh của góc

- Cạnh của vòng đo góc trùng với một cạnh của góc

- Đọc số ghi trên vạch trùng với cạnh kia

* Dùng vòng đo góc để vẽ góc có số đo cho trước:

Muốn vẽ một góc (ví dụ: 40o), ta vẽ một tia OA tuỳ ý rồi:

- Đặt tâm của vòng đo góc trùng với O, cạnh vòng đo góc trùng với OA

- Chấm một điểm B (trên vòng đo góc) tương ứng với vạch 40o

- Nối O với B, ta có góc BOA = 40o

4 Ê ke

Quy ước: Gọi tắt 2 cạnh góc vuông của ê ke là 2 cạnh của ê ke, đỉnh góc vuông của

ê ke là đỉnh của ê ke

Dùng ê ke để vẽ góc vuông:

a/ Vẽ góc vuông có đỉnh tuỳ ý:

Chỉ việc tô theo 2 cạnh của ê ke

b/ Vẽ góc vuông có một cạnh a cho trước và đỉnh A cho trước:

Đặt đỉnh của ê ke trùng với A rồi tô theo 2 cạnh của ê ke

c/ Vẽ góc vuông có một cạnh a cho trước và đỉnh A cho trước:

- Nếu A nằm trên cạnh a: cho một ê ke trượt trên đường thẳng a cho đến khi đỉnh ê

ke trùng với điểm A Tô theo cạnh còn lại của ê ke ta có góc vuông đỉnh A và một

cạnh là a

A B

C

D

- Nếu A không nằm trên a: ta cũng trượt như trên, cho đến khi cạnh còn lại của ê

ke đi qua điểm A Tô theo cạnh đó, ta có đường thẳng đi qua A vuông góc với A

4 Hai đường thẳng vuông góc

có đỉnh chung gọi là hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau (khi vẽ ta chỉ cần ký hiệu 1 góc vuông thôi)

AB vuông góc với CD, ta ký hiệu : AB CD

5 Hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng song song với nhau gà hai đường thẳng mà nếu ta kéo dài mãi về

2 phía, chúng cũng không cắt nhau

* Chú ý:

- Hai đường thẳng (hoặc đoạn thẳng) cùng vuông góc với một đường thẳng (hoặc đoạn thẳng) thì chúng song song với nhau

* Kiểm tra sự song song của hai đường thẳng:

Muốn kiểm tra sự song song của hai đường thẳng a và b, ta làm như sau:

Vẽ đường thẳng d vuông góc với một trong hai đường thẳng a hoặc b, rồi dùng ê

ke kiểm tra xem d có vuông góc với đường thẳng còn lại không

BÀI TẬP

274 Trên các hình dưới đây, mỗi hình có bao nhiêu đoạn thẳng: Viết tên các đoạn thẳng đó:

A B C D E G

B A

m m

O m

n m

b m

a m

x m

y m

Boiduongtoantieuhoc.com a/

b/

c/

d/

275 Kẻ được bao nhiêu đường thẳng đi qua:

a/ 3 điểm không thẳng hàng?

b/ 4 điểm không thẳng hàng?

c/ 5 điểm không thẳng hàng?

276

a/ Vẽ một hình tam giác thì phải kẻ mấy đoạn thẳng?

b/ Kẻ một hình tứ giác thì phải kẻ mấy đoạn thẳng?

c/ Mấy đường thẳng cắt nhau tạo thành 1 tam giác?

d/ Mấy đường thẳng cắt nhau tạo thành một hình 5 cạnh?

277 Trên hình vẽ dưới đây, mỗi hình có bao nhiêu đoạn thẳng, tia, đt? Kể tên các đoạn thẳng, tia, đường thẳng đó

278 Trên hình vẽ dưới đây, mỗi hình có bao nhiêu đoạn thẳng, tia, đường thẳng?

Kể tên các đoạn thẳng, tia, đường thẳng đó

A m

B m

C m

M m

A m

D m

B m

C m

OO m

279 Tính độ dài đường gấp khúc ABCDE, biết đoạn thẳng AB dài 5cm, đoạn BC dài gấp đôi AB, đoạn thẳng CD bằng đoạn thẳng AB và DE gáp 5 lần đoạn BC

280 Một đường gấp khúc gồm 5 đoạn Hai đoạn đầu bằng nhau, mỗi đoạn dài 7cm Ba đoạn sau bằng nhau, mỗi đoạn so với đường gấp khúc thì dài hơn 2cm Tính chiều dài đường gấp khúc đó

281 Cho các góc: góc vuông, góc bẹt, góc nhọn, góc tù Hãy xếp các góc đó theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

Dùng ê ke (hoặc vòng tròn đó góc) kiểm tra xem góc vuông bao nhiêu độ, góc bẹt bao nhiêu độ?

hình vẽ) Kẻ AM Hãy dùng ê ke đo các góc AMB,

AMC Xem AM có vuông góc với BC không?

nhiêu độ?

283 Hãy tìm xem trên hình vẽ:

a/ Những cặp đoạn thẳng nào vuông góc với nhau? Viết tên từng cặp đoạn thẳng đó

b/ Những cặp đoạn thẳng nào song song với nhau? Viết tên từng cặp đoạn thẳng

đó Giải thích vì sao biết các cặp đoạn thẳng đó song song với nhau

(ABCD là hình vuông)

A A

Boiduongtoantieuhoc.com

284 Hãy vẽ đoạn thẳng AH vuông góc với BC (H nằm trên cạnh BC) của các hình sau:

285 Trên đường thẳng x, y lấy điểm A, từ A dùng ê ke vẽ đường thẳng a, b vuông góc với đường thẳng x, y Trên đường thẳng a, b lấy điểm B Từ B dùng ê ke vẽ đường thẳng m, n vuông góc với a, b Trên đường thẳng m, n lấy điểm C, từ C dùng ê ke vẽ đường thẳng c, d vuông góc với đường thẳng m, n Đường thẳng c, d cắt đường thẳng x, y tại D:

a/ Có nhận xét gì về hai đường thẳng x, y và c, d?

b/ Tìm các cặp đường thẳng sốngng vớin hau

c/ Em có nhận xét gì về hình ABCD?

B A

C D

Chiều rộng Chiều dài

2 HÌNH VUÔNG VÀ HÌNH CHỮ NHẬT

TÓM TẮT KIẾN THỨC

A HÌNH CHỮ NHẬT

1 Hình chữ nhật:

Hình chữ nhật là hình tứ giác có 4 góc vuông, có hai chiều dài bằng nhau và hai chiều rộng bằng nhau

* AB và CD là chiều dài Ta có: AB = CD

* AD và BC là chiều rộng Ta có AD = BC

2 Chi vi hình chữ nhật:

Muốn tính chu vi hình chữ nhật, ta lấy số đo chiều rộng cộng với số đo chiều dài (cùng một đơn vị đo), rồi nhân tổng đó cho 2

P = (a + b) x 2

Từ công thức tính chu vi ta có các công thức sau:

a + b = P : 2

a = P : 2 – b

3 Diện tích hình chữ nhật

Muốn tính diện tích hình chữ nhật ta lấy số đo chiều ruộng nhân với số đo chiều dài (cùng một đơn vị đo)

Từ công thức tính diện tích ta có các công thức sau:

S = a x b

B A

C D

cạnh

cạnh

Boiduongtoantieuhoc.com

a = S : b

b = S : a

B HÌNH VUÔNG

1 Hình vuông:

Hình vuông là hình tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau

* AB, AC, BC và CD là cạnh

* AB = AC = BC = CD

Hình vuông là hình chữ nhật “đặc biệt” có chiều dài bằng chiều rộng

2 Chu vi hình vuông:

Muốn tính chu vi hình vuông, ta lấy số đo một cạnh nhân với 4

P = a x 4

a : số đo cạnh hình vuông

P : chu vi hình vuông

Từ công thức tính chu vi ta có công thức sau:

a = P : 4

3 Diện tích hình vuông:

Muốn tính diện tích hình vuông, ta lấy số đo một cạnh nhân với chính nó (cạnh nhân với cạnh)

P = a xa

Từ công thức tính diện tích suy ra: Khi biết diện tích hình vuông muốn tìm cạnh ta dùng phương pháp thử chọn

BÀI TẬP

HÌNH VUÔNG

286 Tính chu vi và diện tích của một hình vuông có cạnh là:

a) 28 cm b) 305 cm

287 Một cái sân hình vuông có chu vi 56m Tính:

a) Cạnh của cái sân đó

b) Diện tích cái sân đó

288 An đi chung quanh một khu vườn hình vuông mất 15 phút, mỗ phút đi được 56m Tính diện tích khu vườn đó

289 Một hình vuông có diện tích 25cm2 Tính chu vi của hình vuông đó

290 Để lát nền một căn phòng, người ta dùng 500 viên gạch hình vuông có chu vi 80cm Tính diện tích của nền phòng bằng mét vuông

291 Tính chu vi, diện tích của một hình vuông, biết rằng nếu thêm vào một cạnh của hình vuông 5cm và bớt cạnh kế nó 5cm thì hình vuông trở thành hình chữ nhật có hiều dài gấp hai lần chiều rộng

292 Một hình vuông có cạnh 7cm, có thể tìm được bao nhiêu hình chữ nhật có cùng chu vi với hình vuông đó? (số đo các cạnh là số tự nhiên tính theo đơn vị centimet)

293 Hai hình vuông có số đo cạnh gấp 3 lần Hỏi:

a) Chu vi của chúng gấp nhau bao nhiêu lần

b) Diện tích của chúng gấp nhau bao nhiêu lần

294 Hai hình vuông có chu vi gấp nhau 5 lần Hỏi diện tích của chúng gấp nhau bao nhiêu lần

295 Hai miếng tôn hình vuông có số đo cạnh gấp nhau 2 lần và cùng được cắt ra từ một tấm lá tôn lớn Miếng tôn lớn nặng hơn miếng tôn bé 6kg Tính khối lượng mỗi miếng tôn

296 Người ta mở rông một cái sân hình vuông về cả 4 phía, mỗi phía thêm 4m nên diện tích tăng thêm 240m2 Hãy tính:

a) Cạnh sân sau khi mở rộng là bao nhiêu mét

b) Cạnh sân trước khi mở rộng là bao nhiêu mét

1dm

Boiduongtoantieuhoc.com

297 Trên một thửa đất hình vuông người ta đào một cái ao cũng hình vuông Chu vi mảnh đất lớn hơn chu vi cái ao là 160m Diện tích đất còn lại là 2800m2 Tính diện tích cái ao

298 Trong một cái sân hình vuông, người ra xây một bể cảnh hình vuông

ở chính giữa sân, Cạnh bể cảnh song song với cạnh sân và cách đều cạnh sân 15m

Diện tích đất còn lại là

1500m2 Tính diện tích sân

299 Tính tổng chu vi và tổng diện tích các hình vuông có trong hình vẽ Biết rằng mỗi ô của hình vẽ đều là một hình vuông có cạnh là 1dm

300 Xung quanh một miếng vườn hình vuông, người ta làm một lối đi cách đều mỗi cạnh 35 dm Biết diện tích lối đi là 749m2 Tìm cạnh của miếng vườn lúc đầu?

HÌNH CHỮ NHẬT

301 Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật có:

a) Chiều rộng là 3m và chiều dài 5m b) Chiều rông là 80dm và chiều dài 15m

302 Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng là 70m, diều dài gấp đôi chiều rộng tính chu vi, diện tích khu vườn đó

303 Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 70m, chiều dài gấp đoi chiều rộng Tính chu vi, diện tích khu vườn đó

304 Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng 75m, chiều dài bằng chiều rộng tính chu vi, diện tích thửa ruộng đó

305 Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 75m, chiều dài bằng chiều rộng tính chu vi, diện tích thửa ruộng đó

306 Một hình chữ nhật có chiều rộng 45m và bằng lần chiều dài Tính chu

307 Một cái sân hình chữ nhật có chu vi 250m, chiều rộng là 56m Tính diện tích cái sân đó

308 Một hình chữ nhật có diện tích 1305m2 và chiều rông là 29m Tính chu vi hình chữ nhật đó

309 Một hình vuông có chu vi 300cm Một hình chữ nhật có diện tích vằng diện tích hình vuông và chiều rộng là 45cm Tính chu vi hình chữ nhật

310 Một hình chữ nhật có chu vi 120cm Chiều dài gấp 4 lần chiều rộng Tính diện tích của hình chữ nhật đó

311 Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 480m, chiều rộng kém chiều dài 40m Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích mảnh vườn và

có chiều dài 200m Tính chu vi thửa ruộng đó

312 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 250m, chiều dài gấp 4 lần chiều rộng Một thửa ruộng hình vuông có cạnh bằng chiều dài khu vườn Tính:

a) Chiều dài và chiều rộng khu vườn

b) Chu vi thửa ruộng

c) Diện tích khu vườn, thửa ruộng

313 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 480m, chiều dài hơn chiều rộng 22m Ở giữa khu vườn có 1 cái ao hình vuông có chu vi 100m Tính diện tích còn lại của khu vườn

314 Một hình chữ nhật có chu vi bằng 6 lần chiều rộng Tìm diện tích của hình chữ nhật, biết chiều dài hơn chiều rộng 15cm

315 Một hình chữ nhậtc ó chu vi 120cm Tìm diện tích của hình chữ nhật

đó, biết rằng chiều dài bằng trung bình cộng của nửa chu vi và chiều rộng

316 Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng và diện tích là 64cm2 Tính chu vi hình chữ nhật đó

317 Một hình chữ nhật có 4 lần chiều dài bằng 9 lần chiều rộng Tính diện tích hình chữ nhật đó, biết rằng số đo chiều dài, chiều rộng tính ra mét là các số nguyên và số đo diện tích là một số có 3 chữ số nhỏ hơn 200

318 Khi vẽ hình chữ nhật nếu chỉ chú ý đến việc đo các cạnh dài bằng nhau, cạnh ngắn bằng nhau mà không chú ý đến việc đo góc vuông thì hình ta vẽ được có phải là hình chữ nhật không? Khi đó là hình gì?

319 Một hình chữ nhật có chu vi là 48cm Hỏi:

a) Chiều rộng của hình chữ nhật có số đo lớn nhất là bao nhiêu?

(a) (b) (c)

A

M

B

N

Boiduongtoantieuhoc.com

b) Chiều dài của hình chữ nhật có số đo nhỏ nhất là bao nhiêu?

(Biết số đo chiều dài và chiều rộng là các số nguyên xentimet)

320 Hai hình chữ nhật, hình chữ nhật thứ nhất có chiều rộng 5cm và chiều dài 7cm HÌnh chữ nhật thứ hai có chiều rộng và chiều dài đều gấp 5 lần chiều rộng

và chiều dài của hình chữ nhật thứ nhất Tính xem chu vi, diện tích của hình chữ nhật thứ hai gấp mấy lần chu vi, diện tích của hình chữ nhật thứ nhất

321 Cho hai hình chữ nhật A và B

a) Diện tích hình A gấp diện tích hình B 16 lần, chiều rộng hình A gấp chiều rộng hình B 4 lần Hỏi chiều dài của hình A gấp chiều dài hình B bao nhiêu lần

b) Diện tích hình A gấp diện tích hình B 12 lần Chiều rộng hình A gấp chiều rộng hình B 4 lần Hỏi chiều dài hình A gấp chiều dài hình B bao nhiêu lần

c) Diện tích hình A bằng diện tích hình B chiều rộng hình A gấp chiều rộng hình B 5 lần Hỏi chiều dài hình B gấp chiều dài hình A bao nhiêu lần

322 Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi là 12cm thì hình nào có diện tích lớn nhất? (Số đo các cạnh là số nguyên xentimet)

323 Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi là 154cm Bạn An cắt miếng bìa đó thành hình chữ nhật Tổng chu vi hai hình chữ nhật (vừa cắt ra) là 214cm Tính diện tích miếng bìa ban đầu

324 Một miếng bìa hình chữ nhật như hình (a) Muốn cắt miếng bìa đó thành hai hình chữ nhật thì có hai cách cắt như (b) và (c) Hỏi như thế nào thì tổng chu vi của hai hình chữ nhật mới sẽ lớn nhất? Tại sao?

325 Đoạn thẳng MN chi hình vuông ABCD thành hai hình chữ nhật (như hình vẽ) Biết tổng và hiệu chu vi của hai hình chữ nhật là 1992 và 172cm Tính diện tích hai hình chữ nhật đó

326 Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng 10m, chiều dài gấp rưỡi chiều rộng Hỏi phải mở rộng chiều dài bao nhiêumét (về 1 phía) để được một mảnh vườn có diện tích là 180 m2

327 Một hình chữ nhật có chiều rộng 10cm Hỏi nếu ta giảm chiều dài của hình chữ nhật thì phải tăng chiều rộng thêm bao nhiêu xentimet để diện tích của hình chữ nhật không thay đổi?

328 Một hình chữ nhật có chiều dài gấp rưỡi chiều rộng và chu vi bằng 200cm Người ta kéo chiều dài thêm 3cm hỏi phải kéo chiều rộng thêm bao nhiêu xentimet để được một hình vuông

329 Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng Tính diện tích hình chữ nhật, biết rằng nếu giảm chiều rộng 5cm và tăng chiều dài thêm 5cm thì diện tích hình chữ nhật giảm đi 325cm2

330 Môtk khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng Tính diện tích khu vườn đó, biết rằng nếu giảm đi chiều dài 5m và tăng chiều rông 5m thì diện tích tăng thêm 225m2

331 Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng Ta mở rộng hình chữ nhật về cả 3 phía (như hình vẽ), mỗi phía thêm 5cm, nên diện tích hình chữ nhật tăng thêm 425cm2 Tính diện tích hình chữ nhật trước khi mở rộng

chiều dài 60m và chiều rộng 30m Người ta làm 4 luống hoa bằng nhau hình chữ nhật Xung quanh các luống hoa đều có đường đi rộng 2m Tính diện tích các đường đi trong vườn hoa (như hình vẽ)