Dai so tuyen tinh.pdf
Trang 1Giải các phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
Câu 1:
0 1 1
0
= 4z
-3
= 3z + 3y
-0
3
= z -3y
-3
= 3z + 3y
-0
=
y +
x
3
=
z
-2y
-x
3
=
3z
+
y
-2x
0
=
y
+
x
3 2 3 3
1 3
2 1 2 2
z y
x y
x
d d d d
d d
d d d
Câu 2:
3 1 7
2
3 2
1
-17
= 5z -2y
9
27
-= 8z -3y
17
= 5z -2y
9
0 5
6
3
1 3
4
2
9
3 2 2 3 3
1 3 3
2 1 2 2
z y x
z
z y x z
y x
z y
x
z y
x
z
y
x
d d d d
d d
d d d
Câu 3:
1
2
1
1
3 -3w
-4 2w z
0 w y
0 y
-x
5 w 2z
4 2w z
0 w y
0 y
-x
5 w 2z
0 w y
4 2w z
0 y
-x
5
w
2z
0
w
y
4 2w z
2y
-2x
0
y
-x
4 3 2 4 3
2 2
1 2 2
w
z
y
x
d d d d
d d
d d
Câu 4:
1 4 1
3 3
1 3 0 4
1 3 0 4
1
3
0
3 2 3 3
1 3 2 1 3 2
z y x
z
z y
z x
y
z y
z x
z
y
x
y
x
z
x
d d d d
d d d d d
Câu 5:
0 0
2
15 2
5 2 5 1
5 2
1
2
15 2
5 2 5 1
5 2
9 2
4
0 3
1
5 2
4 2 4 4
1 2 4
3 1 2 3
w z
w y
w z x
w y
w z
w y
w z x
w z
y
x
w
z
x
w
y
w
z
x
d d d d
d d
d d d
Bài toán có vô số nghiệm
Câu 6: Với giá trị nào của k thì bài toán vô nghiệm, vô số nghiệm và có nghiệm
duy nhất
k
y
x
y
x
3
3
1
Trang 2
k
y x k
y
x
y
3 0
1 3
3
Vậy bài toán vô nghiệm khi k 3, có vô số nghiệm khi k 3, bài toán không có trường hợp có nghiệm duy nhất
Câu 7: Bài toán này không phải là tuyến tính
9 tan cos
3
sin
6
10 tan 2 cos
2
sin
4
3 tan 3 cos
sin
2
Vì thế không thể áp dụng phương pháp Gauss Hãy đưa nó về dạng tuyến tính và giải
Đặt xsin,y cos,z tan , khi đó ta có hệ phương trình tuyến tính
0 1 2
0 8
4 8 4
3 3 2
9 3
6
10 2
2
4
3 3
2
3 1 3 3 2 1 2 2
z y x
z
z y
z y x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
d d d d d d
Vì không có thỏa sin 2 nên bài toán vô nghiệm
Với điều kiện nào của các hằng số b s thì những bài toán sau có nghiệm
Câu 8:
4 3 2 1
4 2
7
3
3
b y x
b y x
b y x
b y x
4 2 1
3 2 1
2 1 1
4 2 4 3 2 3
4 1
3 1
2 1 1
4 1 2 4 3 1 3 2 1 3 2
4 3
2
1
0
2 0
3 10 3
2 10 10
3 10 3
4
2
7
3
3
b b b
b b b
b b y
b y x
b b y
b b y
b b y
b y x
b y
x
b
y
x
b
y
x
b
y
x
d d d d d d d
d d d d d d d d
Vậy bài toán có nghiệm khi
2 1 4
2 1 3
4 2 1
3 2
0
0 2
b b b
b b b
b b b
b b b
Câu 9:
3
2
1 3
5
2
3
2
b
z
x
b z
y
x
b z
y
x
Trang 3
3 2 1
2 1
1 3
2 2 3
3 1
2 1
1 3
1 3 2 1 2 2
3
2 1
2 5
2 3
3 2
5 2
2
3 2 3
5
2
3
2
b b b z
b b z y
b z y x
b b z y
b b z y
b z y x
b
z
x
b z
y
x
b z
y
x
d d d d
d d d d d
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi b s
Câu 10: Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị phương trình f x ax2 bxc
đi ngang qua các điểm 1,2, 1,6 , 2,3
Bởi vì f 1 2,f 1 6,f 2 3 nên ta có hệ phương trình tuyến tính sau:
3 2 1
9 3
4 2
2
-5 3c -2b
-4 2b
-2
3
=
c
+
2b
+
4a
6
=
c
+
1b
1a
2
=
c
+
1b
+
1a
3 2 3 3
1 4 3 2 1 2
c b a
c b
c b a c
b a
d d d d
d d d d d
Câu 11: Chứng minh rằng nếu ad bc 0 thì hệ phương trình
k dy cx
j by ax
có 1 nghiệm duy nhất
Ta có 3 trường hợp xảy ra là a 0; a 0 và c 0 a 0 và c 0
Trường hợp 1: a 0 Khi đó ta giải hệ theo phương pháp Gauss như sau:
k a
cj y d a cb
j by ax k
dy
cx
j
by
Như vậy bài toán có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi d 0
a
cb
, vì a 0 nên ta
có 0 0 adbc 0
a
ad cb d
a
cb
Trường hợp 2: a 0 và c 0 Khi đó hệ phương trình có dạng
k
dy
cx
j
by
Hệ trên có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi b 0 Kết hợp với a 0
và c 0 ta có adbc bc 0
Trường hợp 3: a 0 và c 0, khi đó hệ phương trình có dạng
k dy
j by
, hệ này hoặc có vô số nghiệm (nếu d tb,k tj,t 0) hoặc là không có nghiệm (với các trường hợp còn lại) nhưng không có nghiệm duy nhất và ad bc 0 vì a 0 và
0
Vậy nếu ad bc 0 thì hệ phương trình
k dy cx
j by ax
có 1 nghiệm duy nhất
Câu 12: Lấy ra 4 số tự nhiên, sau đó lấy trung bình cộng của 3 số bất kỳ cộng với
số thứ 4 ta có kết quả là 29, 23, 21, 17 Hãy tìm bốn số ban đầu
Trang 4Đặt 4 số ban đầu là a, b, c, d Ta có hệ phương trình sau:
18 12 9
29 3
18 12 9
29 3
12 3
2 3 2
8 3
2 3 2
6 3
2 3 2
29 3
1
17 3
1
21 3
1
23 3
1
29 3
1
4 1 4 3 1 3 2 1 2
d c
d b
d a
d c b a
d c
d b
d a
d c b a
d c
d b
d a
d c b a
c b
a
d
b a
d
c
a d
c
b
d c
b
a
d d d d d d d d d
Từ đây ta có
21 3 9 12
d c b a
, Vậy 4 số cần tìm là 12, 9, 3, 21