De thi khao sat giao vien vinh phuc

Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong trên.. Gọi các điểm ,I G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm của tam giác ABC , biết đường thẳng IG vuông góc với đường

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN

NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN- CẤP THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình 22 2 2 ( ; )

x y



b) Tìm a để hàm số 2

y= a+ x − a− x+ a− xác định với ∀ ∈x ¡ c) Giải phương trình 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0(x∈¡ )

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2 51

n

x x

(x∈¡ ,x>0), biết n∈¥ thỏa mãn điều kiện * 0 1 1 n2 10 30

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình mặt phẳng , ( )P đi

qua điểm M(5;4;3) và cắt các trục tọa độ Ox Oy Oz lần lượt tại ba điểm , ,, , A B C (

, ,

A B C không trùng với O ) sao cho OA OB OC= =

Câu 3 (3,0 điểm)

a) Tính tích phân

4 6 0

tan cos 2

xdx x

π

∫ b) Cho hai đường cong lần lượt có phương trình 2

3 10

y x= + x− Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong trên

c) Tìm giới hạn 32

2

lim

4

x

x

→

Câu 4 (1,0 điểm)

Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a b c+ + =1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (a 2 1)(b 2 1)(c 2 1)

P

abc

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho tam giác không cân ABC có AB c BC a CA b= , = , = Gọi các điểm ,I G lần

lượt là tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm của tam giác ABC , biết đường thẳng IG vuông góc với đường thẳng IC Chứng minh rằng

2 3

a b

+ + =

+

-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

 HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN NĂM HỌC 2015-2016

MÔN: TOÁN – CẤP THPT



Câu 1 (3,0 điểm).

2 2

2

2

2

x



2

2

1

2

x

y





0,25

2 2

2 2

1

2

x y x

y



0,25

2

2 1

2

1

2 0

y

y x



⇔  − = ⇔ =



Hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y; = 2;1 . 0,25

Đặt ( ) ( ) 2

f x = a+ x − a− x+ a− Yêu cầu bài toán sẽ tương đương với tìm

a để f x( ) ≥ ∀ ∈0, x ¡

TH1: a+ = ⇔ = −1 0 a 1 ta được ( ) 4f x = x−6, không thỏa mãn yêu cầu bài toán

0,25

TH2: a+ ≠ ⇔ ≠ −1 0 a 1

Khi đó

( ) (2 ) ( )

1 0 ( ) 0,

a

+ >





1 1

1

2

a a

a

a

> −



> −

1

a

1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0

2

1 sinx cosx 2sin cosx x 2cos x 1 0

2

sinx cosx 2sin cosx x 2cos x 0

0,25

1 2cos 0

x



+) ( )

2

2

1 2cos 0 cos

2 2

2 3

 = +



 = − +



¢

0,25

x+ x= ⇔ x+π = ⇔ = − +x π kπ k∈

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: 2 2

3

x= π +k π

3

x= − π +k π

,

, 4

x= − +π k kπ ∈¢

0,25

Câu 2 (2,0 điểm).

Theo giả thiết ta có: 0 11 n 2 10 30

C +C + +C + = n+ ( 1)( 2)

2

3

n

n

=



⇔ − − = ⇔  = − , kết hợp với điều kiện của n ta được n=18 0,25

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là: ( )

18

k

−

=

Số hạng không chứa x tương ứng với k thỏa mãn 6 18 0 3

5

k

k

Vậy số hạng không chứa x cần tìm là 3 3

0,25

Giả sử A a( ;0;0 ,) (B 0; ;0 ,b ) (C 0;0;c a b c) ( , , ≠0) Khi đó mặt phẳng ( )P có

phương trình dạng x y z 1

a+ + =b c

Do ( )P đi qua M(5;4;3) nên ta có: 5 4 3 1

a b c+ + = (1)

0,25

Do OA OB OC= = ⇔ a = =b c Ta có 4 trường hợp:

TH1: a b c= = , thay vào (1) có: 5 4 3 1 a 12 ( ) :P x y z 12 0

TH2: a b= = −c, thay vào (1) có: 5 4 3 1 a 6 ( ) :P x y z 6 0

TH3: a= − =b c, thay vào (1) có: 5 4 3 1 a 4 ( ) :P x y z 4 0

TH4: a= − = −b c, thay vào (1) có:

5 4 3

1 a 2 ( ) :P x y z 2 0

0,25

Câu 3 (3,0 điểm)

Ta có: 6 4 6 4 6 4

cos

dx

x

x= ⇒ =t x= ⇒ =π t

Khi đó:

2

1

π

1 3

0

t t

Ta có hai đường cong y x= 2−5x+6,y x= 3+3x−10 không có tiếp tuyến dạng

x a= , trong đó a là hằng số Do đó tiếp tuyến nếu có phải có hệ số góc.

Giả sử đường thẳng ( )d là tiếp tuyến chung cần tìm, ( )d tiếp xúc với đồ thị hàm số

y x= − x+ tại điểm ( 2 )

t t − +t Khi đó ( )d có phương trình dạng:

( ) ( )

2

2

0,25

( )d tiếp xúc với đồ thị hàm số 3

3 10

y x= + x− khi và chỉ khi hệ phương trình sau

có nghiệm:

2 2

2

x

0,25

2

3

2

2

x

t

⇔ 

=



0,25

0

x

=

Vậy PT tiếp tuyến chung là: y=3x−10

0,25

Ta có

2 lim

x

x x

→

0,25

( ) ( ) ( ) ( )2

lim

0,25

0

16 16

2

4

x

x

→

Câu 4 (1,0 điểm)

Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số dương ta được:

3

Ta có (a 2 1)(b 2 1)(c 2 1)

P

abc

=

0,25

3

0,25

3

3

1

1

3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1

3

a b c= = =

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng ( )3

2 3+

0,25

Câu 5 (1,0 điểm)

Cách 1

Q

N

P

G

M I A

B

C

Đường thẳng GI cắt các BC CA lần lượt tại ,, N P Gọi M là trung điểm của đoạn

thẳng BC , từ M kẻ đường thẳng song song với GI , cắt AC tại Q Đường tròn ( )I

nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại điểm D

0,25

CI vừa là đường cao và phân giác của tam giác CNP⇒tam giác CNP cân tại C⇒

CN =CP, kết hợp với MQ NP|| ⇒ PQ NM=

Theo định lí Talet ta có: GA AP 2 AP 2.PQ 2.NM

0,25

( )

2

1 cos

CN

ab

+ −

CN

0,25

Cách 2.

3

CGuuur= CA CB a IA b IB c ICuuur uuur+ uur+ uur+ uur r= 0,25

a b c

+ +

Khi đó: GI ⊥IC ⇔GI CIuur uur. =0⇔ (2a b c CA− − )uuur+(2b c a CB a CA b CB− − )uuur( uuur+ uuur) =0

(2a b c ab) 2 (2b c a ba) 2 (2a b c bCB CA) (2b c a aCB CA) 0

⇔ − − + − − + − − uuur uuur+ − − uuur uuur=

(ab CA CB b a b c ) [ (2 ) a b a c(2 )] 0 b a b c a b a c(2 ) (2 ) 0

0,25

(do ab CA CB ab ab+uuur uuur = + cosC ab(1 cos ) 0= + C > )

6ab (a b a b c)( )

2 3

a b

+ +

+ (đpcm)

0,25

Yêu cầu:

+ Điểm toàn bài tính đến 0,25;

+ Với các ý từ 0,5 điểm trở lên, tổ chấm thống nhất để chia nhỏ đến 0,25;

+ Với mỗi ý, Hướng dẫn chấm chỉ trình bày 1 cách giải với các bước cùng kết quả bắt buộc phải có Nếu thí sinh giải theo cách khác và trình bày đủ các kết quả thì vẫn cho điểm tối đa của ý đó.

+ Trong mỗi ý, thí sinh sai từ đâu thì không cho điểm từ đó.

+ Bài hình học nếu không phụ thuộc vào hình vẽ thì không bắt buộc phải vẽ hình.