luật mạch số lớn và sự hội tụ trong l1

T½nhm-phö thuëc,m-phö thuëc æi mët,m-phö thuëc theo khèi v m-phö thuëc æi mët theo khèi... Tr¦n Xu¥n Sinh v· sü gióp ïtrong qu¡ tr¼nh håc tªp... T½nh m-phö thuëc, m-phö thuëc æi mët, m-p

Möc löc

1.1 Khæng gian Lp 4

1.2 T½nh ëc lªp, ëc lªp æi mët 4

1.3 T½nhm-phö thuëc,m-phö thuëc æi mët,m-phö thuëc theo khèi v m-phö thuëc æi mët theo khèi 5

1.4 Kh¡i ni»m bà ch°n ng¨u nhi¶n 7

1.5 Mët sè kh¡i ni»m hëi tö cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n 7

1.6 Mët sè b§t ¯ng thùc 10

Chuong 2 Luªt m¤nh sè lîn v  sü hëi tö trong L1 cho d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n m-phö thuëc æi mët theo khèi 16

2.1 Luªt m¤nh sè lîn cho d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n m-phö thuëc æi mët theo khèi èi vîi c¡c khèi b§t ký 16

2.2 Sü hëi tö trong L1 cõa d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n m-phö thuëc æi mët theo khèi èi vîi c¡c khèi b§t ký 21

Mð ¦u

Sü hëi tö trong Lp èi vîi d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n l  mët kh¡i ni»m quenthuëc trong lþ thuy¸t x¡c su§t N«m 1987, Moricz [5] ÷a ra kh¡i ni»m m-phöthuëc theo khèi cõa d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n V  ¢ câ nhi·u b i b¡o nghi¶n cùuv· sü hëi tö cho d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n m-phö thuëc, xem [5] v  [6]

N«m 1985, Choi v  Sung [4] ¢ thi¸t lªp sü hëi tö trong L1 cho d¢y c¡c bi¸nng¨u nhi¶n ëc lªp æi mët Sau â, n«m 2007, Tr¼nh Ho i Nam [2] ¢ mð rëngk¸t qu£ cõa Choi v  Sung [4] ¸n tr÷íng hñp m-phö thuëc æi mët theo khèi èivîi c¡c khèi f [ 2k; 2k+1); k  0 g

Tr¶n cì sð åc v  t¼m hiºu t i li»u tham kh£o, chóng tæi nghi¶n cùu · t i

Sü hëi tö cõa d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n m-phö thuëc æi mët theokhèi Möc ½ch ch½nh cõa · t i l  thi¸t lªp Luªt m¤nh sè lîn v  sü hëi trong

L1 cho d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n m-phö thuëc æi mët theo khèi èi vîi c¡c khèib§t ký

Trong kho¡ luªn n y, chóng tæi ¢ ¢ thi¸t lªp ÷ñc sü hëi tö trong L1 cõad¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n m-phö thuëc æi mët theo khèi èi vîi c¡c khèi b§t ký.Khâa luªn gçm 2 ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi ÷a ra c¡c kh¡i ni»m v· khæng gian Lp, t½nh ëclªp, ëc lªp æi mët, kh¡i ni»m v· m-phö thuëc, m-phö thuëc æi mët, m-phöthuëc theo khèi, m-phö thuëc æi mët theo khèi, kh¡i ni»m v· bà ch°n ng¨unhi¶n, mët sè kh¡i ni»m hëi tö cõa d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n, kh¡i ni»m v· luªt sèlîn çng thíi chóng tæi ÷a ra mët sè b§t ¯ng thùc v  bê · th÷íng sû döng

º chùng minh Luªt m¤nh sè lîn

Ch÷ìng 2 Luªt m¤nh sè lîn v  sü hëi tö trong L1 cho d¢y c¡cbi¸n ng¨u nhi¶n m-phö thuëc æi mët theo khèi

¥y l  nëi dung ch½nh cõa kho¡ luªn, bao gçm 2 möc Möc 2.1 chóng tæitr¼nh b y Luªt m¤nh sè lîn cho d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n m-phö thuëc æi mëttheo khèi èi vîi c¡c khèi b§t ký K¸t qu£ ch½nh cõa möc 2.1 ¢ ÷ñc Vô ThàNgåc nh tr¼nh b y chi ti¸t trong [1] n¶n chóng tæi ch¿ tr¼nh b y v­n t­t c¡cb÷îc chùng minh Möc 2.2 chóng tæi thi¸t lªp sü hëi tö trong L1 cõa d¢y c¡cbi¸n ng¨u nhi¶n m-phö thuëc æi mët theo khèi èi vîi c¡c khèi b§t ký K¸t qu£ch½nh trong ti¸t n y mð rëng k¸t qu£ cõa Tr¼nh Ho i Nam [2]

Khâa luªn ÷ñc thüc hi»n t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨n tªnt¼nh cõa ThS L¶ V«n Th nh Nh¥n dàp n y cho ph²p t¡c gi£ b y tä líi c£m ìns¥u s­c nh§t tîi ThS L¶ V«n Th nh, ng÷íi th¦y ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡c gi£trong suèt qu¡ tr¼nh thüc hi»n khâa luªn T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tîi th¦y gi¡oPGS.TS Nguy¹n V«n Qu£ng, th¦y gi¡o PGS.TS Tr¦n Xu¥n Sinh v· sü gióp ïtrong qu¡ tr¼nh håc tªp çng thíi t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»mKhoa To¡n, c¡c th¦y cæ gi¡o trong Khoa To¡n ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y trong thíigian t¡c gi£ håc tªp t¤i Khoa To¡n Cuèi còng t¡c gi£ c£m ìn t§t c£ c¡c b¤nb±, °c bi»t l  c¡c b¤n sinh vi¶n trong lîp 46B1 To¡n ¢ luæn ëng vi¶n t¡c gi£trong suèt thíi gian håc tªp v  ho n th nh khâa luªn

M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng nh÷ng v¼ n«ng lüc cõa t¡c gi£ cán h¤n ch¸ n¶nkhâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât V¼ vªy t¡c gi£ r§t mong nhªn

÷ñc nhúng líi ch¿ b£o quþ b¡u cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  nhúng gâp þ cõa b¤n

åc

Vinh, th¡ng 5 n«m 2009

T¡c gi£

sao cho EjXjp < 1 Khi X 2 Lp; p  1 ta kþ hi»u chu©n bªc p cõa X l 

p = EjXjp1p

:1.2 T½nh ëc lªp, ëc lªp æi mët

1.2.1 ành ngh¾a Gi£ sû X l  bi¸n ng¨u nhi¶n, khi â

÷ñc gåi l  -¤i sè sinh bði X

Hå húu h¤n fFi; 1  i  n g c¡c -¤i sè con cõa F ÷ñc gåi l  ëc lªp n¸u

èi vîi måi Ai 2 Fi ( 1  i  n ) b§t ký

Hå væ h¤n fFi; i 2 I g c¡c -¤i sè con cõa F ÷ñc gåi l  ëc lªp n¸u måi håcon húu h¤n cõa nâ ëc lªp

Hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n fXi; i 2 I g ÷ñc gåi l  ëc lªp n¸u hå c¡c -¤i sèsinh bði chóng fF(Xi); i 2 I g ëc lªp

Hå c¡c bi¸n cè f Ai; i 2 I g ÷ñc gåi l  ëc lªp n¸u hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n

fIAi; i 2 I g ëc lªp

1.2.2 ành ngh¾a Hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n fXi; i 2 I g ÷ñc gåi l  ëc lªp

æi mët n¸u Xi v  Xj ëc lªp vîi måi i 6= j; i; j 2 I

1.3 T½nh m-phö thuëc, m-phö thuëc æi mët, m-phö thuëc theo khèi,m-phö thuëc æi mët theo khèi

Gi£ sû m l  sè nguy¶n khæng ¥m

1.3.1 ành ngh¾a Mët hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n f Xi; 1  i  n g ÷ñc gåi l 

m-phö thuëc n¸u n  m + 1, ho°c n > m + 1 v  hå f Xi; 1  i  k g ëc lªp vîi

hå f Xj; l  j  n g khi l k > m Mët d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n f Xn; n  1 g

÷ñc gåi l  m-phö thuëc n¸u hå f Xi; 1  i  k g ëc lªp vîi hå f Xn; n  l g

khi l k > m

1.3.2 ành ngh¾a Mët hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n f Xi; 1  i  n g ÷ñc gåi l 

m-phö thuëc æi mët n¸u n  m + 1, ho°c n > m + 1 v  hai bi¸n ng¨u nhi¶n Xi

v  Xj ëc lªp vîi nhau khi j i > m:

Mët d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n f Xn; n  1 g ÷ñc gåi l  m-phö thuëc æi mëtn¸u Xi v  Xj ëc lªp vîi nhau khi j i > m:

1.3.3 ành ngh¾a Mët d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n f Xn; n  1 g ÷ñc gåi l 

m-phö thuëc æi mët theo khèi n¸u vîi méi sè nguy¶n khæng ¥m phå f Xi; 2p 

i < 2p+1g l  m-phö thuëc æi mët

1.3.4 ành ngh¾a Gi£ sû f k; k  1 g l  d¢y sè nguy¶n d÷ìng t«ng ng°tvîi 1 = 1, v  °t Bk = [ k; k+1):

D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶nf Xn; n  1 g ÷ñc gåi l  m-phö thuëc theo khèi èivîi c¡c khèi fBk; k  1 gn¸u vîi méik  1;hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶nf Xi; i 2 Bkg

l  m-phö thuëc

D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n f Xn; n  1 g ÷ñc gåi l  m-phö thuëc æi mët theokhèi èi vîi c¡c khèi fBk; k  1g n¸u vîi méi k  1; hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n

f Xi; i 2 Bkg l  m-phö thuëc æi mët

èi vîi f k; k  1 g v  fBk; k  1g nh÷ ¢ nâi ð tr¶n chóng ta ÷a v o c¡c

kþ hi»u sau ¥y:

ii) N¸u k = [qk 1] vîi k õ lîn v  q > 1 th¼ (n) = O(1):

1.4 Kh¡i ni»m bà ch°n ng¨u nhi¶n

1.4.1 ành ngh¾a D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n f Xn; n  1 g ÷ñc gåi l  bà ch°nng¨u nhi¶n bði bi¸n ng¨u nhi¶n X n¸u tçn t¤i h¬ng sè D < 1 sao cho

P (jXnj > t)  DP (jXj > t); t  0; n  1:

1.4.2 Nhªn x²t

N¸u d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n f Xn; n  1 g còng ph¥n phèi th¼ nâ bà ch°nng¨u nhi¶n bði bi¸n ng¨u nhi¶n X1 vîi D = 1:

1.5 Mët sè kh¡i ni»m hëi tö cõa d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n

Gi£ sû f Xn; n  1 g l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n còng x¡c ành tr¶n khæng gian

1.5.1 Sü hëi tö theo trung b¼nh

D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n fXn; n  1 g ÷ñc gåi l  hëi tö theo trung b¼nh bªc

p ( 0 < p < 1 ) ¸n bi¸n ng¨u nhi¶n X (khi n ! 1) n¸u

Kþ hi»u Xn h:c:c! X; ho°c n!1lim Xn = X h:c:c:

1.5.3 ành lþ [3] D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n fXn; n  1 g hëi tö h¦u ch­cch­n ¸n bi¸n ng¨u nhi¶n X khi v  ch¿ khi vîi " > 0 b§t ký,

ành lþ ÷ñc chùng minh.

1.6 Mët sè b§t ¯ng thùc

Bê · sau ¥y gióp ta chùng minh c¡c ành lþ ð ch÷ìng 2

1.6.1 Bê · Toeplitz Cho an i; 1  i  n; n  1 v  xi; i  1 l  c¡c sèthüc sao cho vîi måi i cè ành, n!1lim an i = 0 v  vîi måi n ta câ Pn

i=1jan ij 

C < 1: Khi â, n¸u n!1lim xn = 0 th¼ n!1lim Pn

i=1an ixi = 0; v  n¸u n!1lim Pn

i=1an i =1; limn!1xn = x th¼ n!1lim Pn

Bê · sau ¥y l  mët k¸t qu£ nêi ti¸ng, câ t¶n l  Bê · Kronecker, ÷ñc sûdöng r§t nhi·u khi chùng minh c¡c ành lþ d¤ng Luªt m¤nh sè lîn.

1.6.2 Bê · Kronecker [3] Gi£ sû 0 < bn " 1; v  chuéi sè P1

n=1

xn

bn hëi tö.Khi â

1.6.3 B§t ¯ng thùc Markov Gi£ sû X l  bi¸n ng¨u nhi¶n b§t ký v 

0 < p < 1: Khi â n¸u tçn t¤i EjXjp th¼ vîi måi " > 0 b§t ký, ta câ

P (jXj > ")  EjXjp

Tham kh£o c¡ch chùng minh ành lþ n y ð t i li»u Nguy¹n V«n Qu£ng [3]

1.6.4 Bê · Gi£ sû fXn; n  1 g l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n v  p > 0 N¸u

1.6.6 Bê · Gi£ sû fXi; 1  i  ng l  hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n, 0 < p  1

v  EjXijp < 1; i = 1; 2; : : : ; n Khi â

E Xn i=1

Khi â ta câ Y  jXjr  Z, v  do â

Khi chùng minh c¡c ành lþ giîi h¤n nâi chung v  c¡c ành lþ d¤ng luªt m¤nh

sè lîn nâi ri¶ng, ng÷íi ta th÷íng sû döng bê · sau

1.6.8 Bê · Borel-Cantelli Gi£ sû f An; n  1 g l  d¢y c¡c bi¸n cè b§tký

Bê · sau ¥y l  mët trong nhúng cæng cö chõ y¸u º chùng minh ành lþ2.1.2.

2.1.1 Bê · Gi£ sû f Xi; 1  i  n g l  hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n m-phöthuëc æi mët thäa m¢n EXi = 0; 1  i  n; th¼

Chùng minh N¸u n  m + 1 Bê · 2.1.1 hiºn nhi¶n óng Ta chùng minh Bê

· 2.1.1 trong tr÷íng hñp n > m + 1: Vîi n > m + 1; ta câ

Theo Bê · Toeplitz ta câ

Tø Nhªn x²t 1.3.6 ta câ h» qu£ sau

H» qu£ 2.1.3 Cho fXn; n  1 g l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n m-phö thuëc æimët theo khèi èi vîi c¡c khèi f Bk; k  1 g vîi

2Xp 1 i=1

(Yi EYi)

+ n

1

r 12(n)E

 n 1r 12 (n)E

...k; k  g l dÂy số nguyản dữỡng tông ngtvợi 1 = 1, v t Bk = [ k; k+1):

DÂy... nhiản f Xn; n  g ữủc gồi l b chnngău nhiản bi bián ngău nhiản X náu tỗn tÔi hơng số D < cho

P (jXnj > t)  DP (jXj > t); t  0; n  1:

1.4.2... phƠn phối thẳ nõ b chnngău nhiản bi bián ngău nhiản X1 vợi D = 1:

1.5 Mởt số khĂi niằm hởi tử cừa dÂy cĂc bián ngău nhiản

GiÊ sû f Xn; n  g l  d¢y