MỘT số ỨNG DỤNG của cây BAO TRÙM

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÂY BAO TRÙM 1.. Kiểm tra tính liên thông của một đồ thị: Đồ thị là liên thông ⇔ nó có cây bao trùm.. THUẬT TOÁN PRIM Τηυ τ το〈ν Πριµ Prim đã cải tiến thuật toán Kru

11.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÂY BAO TRÙM

1 Kiểm tra tính liên thông của một đồ thị: Đồ thị là

liên thông ⇔ nó có cây bao trùm

2 Xây dựng hệ cơ sở của các chu trình

Giả sử đồ thị liên thông G = (V, E) với n đỉnh

và m cạnh

11.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA

CÂY BAO TRÙM (tiếp)

Τη χ ηι ν ηαι β χ: ự ệ ướ

1 Ξψ δ νγ χψ βαο τρµ Τ χ α Γ Γι σ ự ủ ả ử

τρονγ θυ〈 τρνη ξψ δ νγ χψ βαο τρµ Τ τα  ự đ

β ι χ〈χ χ νη ỏ đ ạ ε1 , ε2, , εµ ν + 1 –

2 Ξψ δ νγ η χηυ τρνη χ σ : Λ ν λ τ τηµ ự ệ ơ ở ầ ượ

ϖ◊ο χψ Τ χ〈χ χ νη ε ι , κηι ⌠ σ ξυ τ ηι ν χηυ đ ẽ ấ ệ

τρνη αι − ψ χ νγ λ◊ χηυ τρνη χ α τη Γ đ ũ ủ đồ ị

Σαυ ⌠ λ ι ξο〈 χ νη ε ι ϖ◊ τηµ χ νη ε ι+1 ϖ◊ο

Χυ ι χνγ τα νη ν ố ậ đượ χ χ〈χ χηυ τρνη τ νγ νγ ươ ứ

11.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA

CÂY BAO TRÙM (tiếp)

Η χηυ τρνη ν◊ψ χ λ π ϖ: ệ độ ậ

∀ ι ≠ ϕ τη α ι χη α ứ ε ι νη νγ κηνγ χη α ư ứ ε ϕ , χ∫ν α ϕ

χη α ε ϕ νη νγ κηνγ χη α ε ι

Σ χ〈χ χηυ τρνη ν◊ψ λ◊ ố µ − ν +1 = µ − ν + π = χ(Γ) =

σ

χ〈χ χηυ τρνη χ λ π χ χ ι độ ậ ự đạ

 ς ψ η χηυ τρνη τµ ậ ệ đượ χ λ◊ µ τ χ σ χ α χ〈χ ộ ơ ở ủ

VÍ DỤ 11.5

Ξτ τη ϖ η νγ:đồ ị ướ

ν = 5, µ = 8, π = 1 ς ψ ậ χ(Γ) = 4

a

3 4

Hình 11.7 Đồ thị và các cạnh bỏ đi

VÍ DỤ 11.5 (tiếp)

Μ τ χψ βαο τρµ Τ χ α Γ λ◊:ộ ủ

Τα νη ν ậ đượχ µ τ η χηυ τρνη χ σ :ộ ệ ơ ở

α1 = [a, b, d] α3 = [a, b, c, d]

α2 = [a, b, e, d] α4 = [a, b, c, e, d]

a

11.5 CÂY BAO TRÙM NHỎ NHẤT

Β◊ι το〈ν: Χηο τη ϖ η νγ Γ λιν τηνγ ϖ ι

τ π χ νη ậ ạ Ε ϖ◊ η◊µ τρ νγ σ ọ ố χ : Ε → Ν Τµ χψ βαο τρµ Τ χ α Γ σαο χηο τ νγ τρ νγ σ χ α ủ ổ ọ ố ủ

χ〈χ χ νη χ α Τ τ γι〈 τρ νη νη τ.ạ ủ đạ ị ỏ ấ

Μ τ σ τηυ τ το〈ν τµ χψ βαο τρµ νη νη τ:

- Thuật toán Kruskal

- Thuật toán Prim

11.6 THUẬT TOÁN KRUSKAL

Τηυ τ το〈ν:ậ

1 Χη ν χ νη χ⌠ τρ νγ σ β νη τ, κ ηι υ λ◊ ε1

ϖ◊ τ Ω := {đặ ε1}

2 Γι σ  χη ν ả ử đ ọ đượχ Ω = {ε1, ε2, , ει} Χη ν

ει+1 λ◊ χ νη χ⌠ τρ νγ σ β νη τ τρονγ σ χ〈χ

χ νη χ∫ν λ ι τρονγ Ε ∴ Ω σαο χηο {ε1, ε2, , ει,

ει+1} κηνγ χη α χηυ τρνη ứ

3 Β συνγ: Ω := Ω ∪ {ει+1}

4 Λ π λ ι χ〈χ β χ 2 3 χη νγ ν◊ο χ∫ν χ⌠ τη ặ ạ ướ ừ ể

11.6 THUẬT TOÁN KRUSKAL (tiếp)

Địνη λ 11.4 : Τ π χ〈χ χ νη Ω τµ χ τηεο τηυ τ το〈ν Κρυσκαλ τ ο νν χψ βαο τρµ νη

νη τ χ α τη Γ

Τηυ τ το〈ν Κρυσκαλ χηι τι τậ ế

1 procedure Kruskal ;

2 begin

3 W := ∅ ; Z := E ;

11.6 THUẬT TOÁN KRUSKAL (tiếp)

4 ωηιλε (|Ω| < ν −1) ανδ (Ζ ≠ ∅) δο

5 begin

6 chọn cạnh e có trọng số bé nhất trong Z ;

7 Z := Z \ {e} ;

8 if W ∪ {e} không chứa chu trình then W :=

W ∪ {e}

9 end ;

10 if |W| < n -1 then writeln(″ Đồ thị không liên

″

VÍ DỤ 11.6

τη χ⌠ τρ νγ σ ϖ◊ χψ βαο τρµ νη νη τ:

1 1

1 2

2

4

6

1 1

1

2 5

11.7 THUẬT TOÁN PRIM

Τηυ τ το〈ν Πριµ

Prim đã cải tiến thuật toán Kruskal như sau: ở mỗi vòng lặp ta chọn cạnh có trọng số bé nhất trong số các cạnh kề với các cạnh đã chọn mà không tạo nên chu trình

11.7 THUẬT TOÁN PRIM (tiếp)

Τηυ τ το〈ν Πριµ χ γ ι λ◊ πη νγ πη〈π λν

χ ν γ ν νη τ: β τ υ τ µ τ νη ν◊ο ⌠ ậ ầ ấ ắ đầ ừ ộ đỉ đ α

χ α τη Γ τα ν ι ν⌠ ϖ ι νη γ ν νη τ, ủ đồ ị ố ớ đỉ “ ầ ” ấ

χη νγ η ν ẳ ạ β Νγη α λ◊, χ νη (ĩ ạ α, β) χ χη ν χ⌠ τρ νγ σ β νη τ Τι π τηεο, τρονγ σ χ〈χ ọ ố ấ ế ố

χ νη κ ϖ ι νη ạ ề ớ đỉ α ηο χ νη β τα χη ν

χ νη χ⌠ τρ νγ σ β νη τ µ◊ κηνγ τ ο νν χηυ τρνη ϖ ι χ νη (α, β) Χ νη ν◊ψ δ ν ν νη ạ ẫ đế đỉ

τη βα χ

Τι π τ χ θυ〈 τρνη ν◊ψ χηο ν κηι νη ν ế ụ đế ậ đượχ

11.7 THUẬT TOÁN PRIM (tiếp)

1 προχεδυρε Πριµ ;

2 begin

3 W := {cạnh có trọng số bé nhất };

4 for i := 1 to n - 2 do

5 begin

6 e := cạnh có trọng số bé nhất kề với cạnh trong W và nếu ghép nó vào W thì không tạo nên chu trình ;

7 W := W ∪ {e}

8 end

CÂY BAO TRÙM NHỎ NHẤT (tiếp)

Đị νη λ 11.5

Trong đồ thị vô hướng có trọng số đôi một khác

nhau, cây bao trùm nhỏ nhất tồn tại và duy nhất

Chứng minh:

Vì trong vòng lặp chỉ có duy nhất một cạnh được

chọn

11.8 CÂY BAO TRÙM LỚN NHẤT

Τρονγ χ〈χ τηυ τ το〈ν Κρυσκαλ ϖ◊ Πριµ τα ậ

κηνγ ρ◊νγ βυ χ ϖ δ υ χ α τρ νγ σ , νν χ⌠ ộ ề ấ ủ ọ ố

τη 〈π δ νγ χηο τη ϖ η νγ ϖ ι τρ νγ σ ể ụ đồ ị ướ ớ ọ ố τρν χ〈χ χ νη χ⌠ χνγ δ υ τυ  ạ ấ ỳ

11.8 CÂY BAO TRÙM LỚN NHẤT (tiếp)

Để τµ χψ βαο τρµ λ ν νη τ τα χ⌠ ηαι χ〈χη:ớ ấ

1 Đổi thành dấu - cho các trọng số trên các cạnh áp dụng một trong hai thuật toán đã trình bày ở trên để tìm cây bao trùm nhỏ nhất Sau đó đổi dấu + trở lại,

ta sẽ được cây bao trùm lớn nhất

2 Sửa đổi trong các thuật toán: bước “chọn cạnh có

trọng số bé nhất “ được thay bằng “chọn cạnh có trọng số lớn nhất “ còn các bước khác thì giữ

nguyên Khi thuật toán kết thúc, ta sẽ nhận được