Phân lớp các phạm trù PICARD phân bậc và ứng dụng

Một trong những vấn đề đang được quan tâm nghiên cứucủa lý thuyết phạm trù và hàm tử là bài toán nghiên cứu về cấu trúc của một số dạng phạm trù monoidal.. - Tiếp cận định tính: Xét cấu

MỤC LỤC

1.1 Phạm trù Picard 41.2 Phạm trù Picard phân bậc 71.3 Đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun 8Chương 2 Phân lớp các phạm trù Picard phân bậc và ứng dụng 102.1 Hệ nhân tử lấy giá trị trong phạm trù Picard 102.2 Hệ nhân tử lấy giá trị trong phạm trù Picard kiểu (M, N ) 162.3 Mở rộng Γ-môđun 22

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

Vào đầu những năm 1940, lý thuyết phạm trù và hàm tử đầu tiên đượcgiới thiệu bởi nhà toán học người Mỹ Mac Lane và nhà toán học người Ba lanEilenberg và các kết quả này được công bố trong Eilenberg và Mac Lane [11, 12].Sau đó, vấn đề này tiếp tục được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, điểnhình là các nghiên cứu của Mac Lane [23, 24, 25], Buchsbaum [3, 4, 5], Freyd[26], Gabriel [16], Lubkin [22], Heller [18], Eilenberg [14],

Phạm trù với tích tenxơ được nghiên cứu bởi Bénabou [1] và Kelly [19], MacLane [27], Các tác giả này đã xét phạm trù trên đó có trang bị phép toán

⊗ cùng với ràng buộc kết hợp, ràng buộc đơn vị trái và ràng buộc đơn vị phải.Năm 1971, Mac Lane [30] đã bổ sung một số điều kiện khớp cho các ràng buộcđược trang bị trong một phạm trù cùng với tích tenxơ và đưa ra khái niệm phạmtrù monoidal cho lớp phạm trù này Phạm trù monoidal trở thành phạm trù vớicấu trúc nhóm khi được bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (xem Laplaza[21] và Rivano [33]) Hơn nữa, nếu phạm trù nền bao gồm các mũi tên đẳng cấuthì ta được một phạm trù monoidal giống nhóm hay Gr-phạm trù (xem Fr¨ohlich

2 Tính cấp thiết của đề tài

Lý thuyết phạm trù và hàm tử là một lĩnh vực quan trọng của đại số hiệnđại, nhiều nhà toán học trong và ngoài nước đã nghiên cứu và thu được nhữngkết quả quan trọng Một trong những vấn đề đang được quan tâm nghiên cứucủa lý thuyết phạm trù và hàm tử là bài toán nghiên cứu về cấu trúc của một

số dạng phạm trù monoidal Trong thời gian gần đây, vấn đề này đã được nhiềunhà khoa học quan tâm nghiên cứu Qua một thời gian tìm hiểu, chúng tôi nhậnthấy rằng nó đang là một hướng mở và có thể tiếp tục nghiên cứu và phát triển,chẳng hạn nghiên cứu về bài toán phân lớp các phạm trù Picard phân bậc vàứng dụng Bên cạnh đó, việc giải quyết bài toán phân lớp các phạm trù Picard

và ứng dụng sẽ tạo ra một hướng nghiên cứu tốt cho giảng viên và sinh viênKhoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn

3 Mục tiêu của đề tài

Nghiên cứu bài toán phân lớp các phạm trù Picard phân bậc và ứng dụng

4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

4.1 Cách tiếp cận

- Tiếp cận hệ thống: Đọc các tài liệu có liên quan đến lĩnh vực nghiên cứucủa đề tài, đặc biệt là các bài báo đã được công bố trên các tạp chí khoa họcquốc tế xuất bản trong thời gian gần đây

- Tiếp cận định tính: Xét cấu trúc đặc trưng của hệ nhân tử đối với phạmtrù Picard để giải quyết bài toán phân lớp các phạm trù Picard phân bậc.4.2 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu tham khảo;

- Trao đổi thông tin với Người hướng dẫn, nhóm nghiên cứu và các tác giảkhác có cùng hướng nghiên cứu; viết bài cho các tạp chí khoa học để kiểm trakết quả nghiên cứu

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5.1 Đối tượng nghiên cứu: Phạm trù Picard phân bậc

5.2 Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết phạm trù monoidal và đại số đồng điều

6 Nội dung nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm có hai chương.Chương 1 trình bày phần kiến thức chuẩn bị bao gồm một số khái niệm cơbản và kết quả bổ trợ có liên quan đến nội dung của chương tiếp theo Mục 1.1trình bày về phạm trù Picard Mục 1.2 được dành để trình bày về phạm trùPicard phân bậc Mục 1.3 đề cập đến đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun.Chương 2 phân lớp các phạm trù Picard phân bậc bằng phương pháp hệ nhân

tử Mục 2.1 chỉ ra rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc P tương đương với mởrộng tích chéo của một hệ nhân tử F : Γ → Z 3

s lấy hệ tử trong phạm trù Picardkiểu(π0P, π1P)(Định lý 2.1.5) Mục 2.2 chứng minh rằng phạm trù Picard phânbậc P cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên các nhóm aben M = π0P, N = π1P

và cảm sinh một 3-đối chu trình chuẩn tắc h ∈ ZΓ,s3 (M, N ) (Định lý 2.2.2).Mục2.3 trình bày sự phân lớp các mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm tử monoidalđối xứng phân bậc (Định lý 2.3.2)

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về phạmtrù Picard (xem H X Sính [34]), phạm trù Picard phân bậc và đối đồng điềuđối xứng của các Γ-môđun (xem Cegarra và Khmaladze [9]) Những nội dungnày làm cơ sở cho chương tiếp theo

1.1 Phạm trù Picard

1.1.1 Định nghĩa Một phạm trù monoidal đối xứng là một ⊗-phạm trù C

cùng với vật đơn vị I và các đẳng cấu tự nhiên a= (aX,Y,Z),c= (cX,Y),l= (lX)

thỏa mãn các điều kiện sau đây:

aX,Y,Z⊗T ◦aX⊗Y,Z,T = (idX ⊗aY,Z,T) ◦aX,Y ⊗Z,T ◦ (aX,Y,Z ⊗ idT),

Giả sử C và C0 là hai phạm trù monoidal đối xứng Một hàm tử monoidal đốixứng từ C đến C0 là bộ ba (F, F ,e F )b bao gồm:

(i) hàm tử F : C → C0,

(ii) đẳng cấu hàm tử F = (e FeX,Y) với FeX,Y : F (X ⊗ Y ) → F X ⊗ F Y∼ ,

(iii) mũi tên đẳng cấu F : F Ib → I∼ 0 sao cho với mọi vật X, Y, Z ∈ C, các điềukiện khớp sau được thỏa mãn:

FX,Y ◦cF X,F Y = F (cX,Y) ◦ FeY,X.

Hàm tử monoidal đối xứng (F, F ,e F )b từ phạm trù monoidal đối xứng C đếnphạm trù monoidal đối xứng C0 được gọi là tương đương monoidal đối xứng nếu

1.1.2 Định nghĩa Một phạm trù monoidal đối xứng được gọi là một phạmtrù Picard (hay Pic-phạm trù ) nếu mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tên đềuđẳng cấu

Nếu (F, F ,e F )b là một hàm tử monoidal đối xứng giữa hai phạm trù Picard thìđẳng cấu F : F I → Ib 0 được suy ra từ F và Fe, bởi vậy ta có thể bỏ qua Fb khikhông cần thiết

Giả sử P là một Pic-phạm trù,Π0(P)là một nhóm aben các lớp vật đẳng cấucủa P và Π1(P) = Aut(0) là một nhóm aben các tự đẳng cấu của vật đơn vị 0.Các phần tử trung hòa của Π0(P) và Π0(P) đều được ký hiệu bởi 0.

Xây dựng phạm trù S bao gồm các vật là các phần tử có dạng x ∈ Π0(P),vàcác mũi tên là những tự đẳng cấu có dạng (x, u) : x → xvới mọi u ∈ Π1(P).Phéphợp thành của các mũi tên cho bởi

(x, u) ◦ (x, v) = (x, u + v).

Phép toán ⊗ cho bởi

x ⊗ y = x + y, (x, u) ⊗ (y, v) = (x + y, u + v).

Ràng buộc đơn vị là chặt chẽ (theo nghĩa lx =rx = idx) Ràng buộc kết hợp a

và ràng buộc giao hoán c liên kết với hàm ξ và η thỏa mãn các đẳng thức:

Pic-1.1.3 Định nghĩa Giả sử P và P0 là các Pic-phạm trù, S = (Π, A) và S0 = (Π0, A0) lần lượt là những Pic-phạm trù thu gọn của P và P0 Một hàm tử F :

S → S0 được gọi là một hàm tử kiểu (ϕ, f ) nếu tồn tại một cặp các đồng cấunhóm

ϕ : Π → Π0, f : A → A0

sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

F (x) = ϕ(x) , F (x, u) = (ϕ(x), f (u)).

1.1.4 Định lý Giả sử S = (Π, A) và S0 = (Π0, A0) là những Pic-phạm trù thugọn của P và P0, F = (F, F ,e F )b là một hàm tử monoidal đối xứng từ S đến S0.Khi đó, F là hàm tử kiểu (ϕ, f ).

1.2 Phạm trù Picard phân bậc

Giả sử Γ là một nhóm Ta xem Γ như một phạm trù với một vật ∗, mũi tên

là các phần tử của Γ và phép hợp thành là phép toán nhóm Khi đó phạm trù

C cùng với hàm tử gr : C → Γ được gọi là một Γ-phạm trù (hay phạm trù phânbậc) Hàm tử gr : C −→ Γđược gọi là mộtΓ-phân bậc trên C Nếu f : X −→ Y làmột mũi tên của phạm trù C và gr(f ) = σ thìσ được gọi là bậc của mũi tênf và

f được gọi là σ-mũi tên Γ-phân bậc gr được gọi là Γ-phân bậc ổn định nếu vớimỗi X ∈ Ob(C) và mỗi σ ∈ Γtồn tại một mũi tên đẳng cấu u trong C với nguồn

X sao cho gr(u) = σ

Giả sử (C, gr) là một Γ-phạm trù Ta ký hiệu C ×ΓC là một phạm trù con củaphạm trù tích C × C mà các vật là các vật (X, Y )của C × C và các mũi tên là cáccặp mũi tên (f, g) của C × C sao cho gr(f ) = gr(g)

Khi đó C ×ΓC cùng với hàm tử gr0 : C ×ΓC → Γ cũng là một Γ-phạm trù với

(i) một Γ-hàm tử F : C → C0,

(ii) một đẳng cấu tự nhiên bậc 1: F = (e FeX,Y) với

e

FX,Y : F (X ⊗ Y ) → F X ⊗ F Y,

(iii) một mũi tên đẳng cấu bậc 1: F : F I → Ib 0 sao cho các điều kiện khớp củamột hàm tử monoidal đối xứng thỏa.

Giả sử rằng (F, F ,e F ), (G,b G,e G)b là hai hàm tử monoidal đối xứng phân bậc.Một tương đương tự nhiên monoidal đối xứng phân bậc là một tương đương tựnhiên phân bậc θ : F → G∼ sao cho với mọi vật X, Y ∈ C các điều kiện khớp sauđúng

e

GX,Y ◦ θX⊗Y = θX ⊗ θY ◦ FeX,Y, G ◦ θb I = F b (1.2.1)1.2.2 Định nghĩa Một phạm trù Picard phân bậc là một phạm trù monoidalphân bậc đối xứng sao cho mọi mũi tên đều đẳng cấu và với mỗi vật X đều tồntại vật X0 cùng với mũi tên đẳng cấu bậc 1: X ⊗ X0 ∼− → I

Khi đó phạm trù con KerP của phạm trù Picard phân bậc P có vật là cácvật của P và các mũi tên là những mũi tên bậc 1 trong P, là một phạm trùPicard

1.3 Đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun

Cho M và N là hai Γ-môđun Nhóm đối đồng điều đối xứng HΓ,sn (M, N ) với

n ≤ 3 (xem [10]) chính là nhóm đối đồng điều của dãy phức bị chặn

0 −→ CΓ,ab1 (M, N ) −→ C∂ Γ,ab2 (M, N ) −→ Z∂ Γ,ab3 (M, N ) −→ 0,

trong đó CΓ,ab1 (M, N ) bao gồm tất cả các ánh xạ chuẩn tắc

h(x|z) + h(y, x, z) + h(x|y) = h(y, z, x) + h(x|y + z) + h(x, y, z), (1.3.2)

σh(x, y, z)+h(x+y, z, σ)+h(x, y, σ) = h(σx, σy, σz)+h(y, z, σ)+h(x, y+z, σ), (1.3.4)

h(σx|σy) + h(y, x, σ) = σh(x|y) + h(x, y, σ), (1.3.5)

σh(x, y, τ ) + h(τ x, τ y, σ) + h(x, σ, τ ) + h(y, σ, τ ) = h(x + y, σ, τ ) + h(x, y, στ ), (1.3.6)

σh(x, τ, γ) + h(x, σ, τ γ) = h(x, στ, γ) + h(γx, σ, τ ), (1.3.7)với mọi x, y, z, t ∈ M và σ, τ, γ ∈ Γ

Với mỗi g ∈ CΓ,ab2 (M, N ), đối bờ ∂g được cho bởi:

(∂g)(x, y, z) = g(y, z) − g(x + y, z) + g(x, y + z) − g(x, y), (1.3.8)

(∂g)(x|y) = g(x, y) − g(y, x), (1.3.9)

(∂g)(x, y, σ) = σg(x, y) − g(σx, σy) − g(y, σ) + g(x + y, σ) − g(x, σ), (1.3.10)

(∂g)(x, σ, τ ) = σg(x, τ ) − g(x, στ ) + g(τ x, σ), (1.3.11)với mọi x, y, z, t ∈ M và σ, τ ∈ Γ

CHƯƠNG 2 PHÂN LỚP PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC

VÀ ỨNG DỤNG

Phạm trù Picard phân bậc đã được giới thiệu bởi Cegarra và Khmaladze [9]

và là sự khái quát lên của khái niệm phạm trù Picard (xem H X Sính [34])khi đưa vào cấu trúc phân bậc của Fr¨ohlich và Wall [15] Cegarra và Khmaladze[9] đã xây dựng đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun (mà trường hợp riêng

là đối đồng điều đối xứng của Eilenberg-MacLane) để phân lớp các phạm trùPicard phân bậc và phân lớp các mở rộng Γ-môđun

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phạm trù Picard phân bậc thông qua

lý thuyết hệ nhân tử (hay giả hàm tử) của Grothendieck [17] Trước hết, chúng tôitrình bày lý thuyết hệ nhân tử trong phạm trù Picard phân bậc Thứ hai, chúngtôi chứng minh rằng mỗi hệ nhân tử khá chặt chẽ (F = (S, Fσ, θσ,τ) : Γ → Z3s

cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên M, N và một 3-đối chu trình chuẩn hóa

hF ∈ Z 3

Γ,s (M, N ) (Định lý 2.2.1) Kết quả này chỉ ra các cấu trúc Γ-môđun trên

M, N và 3-đối chu trìnhh được cảm sinh trực tiếp từ giả hàm tử Kết quả quantrọng thứ ba là lý thuyết Schreier cho các mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm

tử monoidal đối xứng phân bậc (Định lý 2.3.2)

2.1 Hệ nhân tử lấy giá trị trong phạm trù Picard

Cegarra và các cộng sự [6] đã sử dụng lý thuyết hệ nhân tử của Grothendieck[17] để nghiên cứu các mở rộng phân bậc của phạm trù monoidal Nhưng sau

đó họ đã không tiếp tục sử dụng phương pháp này trong bài báo về nhóm phạmtrù phân bậc [7] và phạm trù Picard phân bậc [10] N T Quang [32] đã pháttriển lý thuyết hệ nhân tử cho các nhóm phạm trù phân bậc và thu được các

kết quả quan trọng.

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày lý thuyết hệ nhân tử trong các phạmtrù Picard phân bậc Trước hết, chúng tôi ký hiệuPiclà phạm trù của các phạmtrù Picard và các hàm tử monoidal đối xứng giữa chúng

2.1.1 Định nghĩa Một hệ nhân tử đối xứngF trênΓvới các hệ tử trong phạmtrù Picard P (hay một giả hàm tử F : Γ → Pic) bao gồm một họ các tự tươngđương monoidal đối xứng Fσ : P → P với σ ∈ Γ và các đẳng cấu giữa các hàm

tử monoidal đối xứng θσ,τ : FσFτ → Fστ với σ, τ ∈ Γ, thỏa mãn các điều kiện:(i) F1 = idP;

Ta viết F = (P, Fσ, θσ,τ) và ký hiệu đơn giản là (F, θ)

Hệ nhân tử đối xứng F được gọi là một hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽnếu Fbσ = id với mọi σ ∈ Γ

Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc cảm sinh một

hệ nhân tử lấy hệ tử trong một phạm trù Picard

2.1.2 Mệnh đề Mỗi phạm trù Picard phân bậc (P, gr) cảm sinh một hệ nhân

tử đối xứng F : Γ → Pic

Chứng minh Với mỗi σ ∈ Γ, ta dựng một hàm tử monoidal đối xứng Fσ = (Fσ, Feσ) : KerP →KerP như sau

Với mỗi X ∈ KerP, vì phân bậc gr là ổn định nên tồn tại mũi tên đẳng cấu

ΥσX : X → F∼ σX, trong đó FσX ∈ KerP và gr(ΥσX) = σ Đặc biệt, khi σ = 1 thì talấy F1X = X và Υ1X = idX Với mỗi mũi tên f : X → Y bậc 1 trong KerP, mũitên Fσ(f ) trong KerP được xác định duy nhất bởi biểu đồ giao hoán sau

X Υ

σ X

−−−→ F σ X f



y

ΥσX⊗Y 



Υ σ

X ⊗Υ σ Y

(2.1.3)

Hơn nữa, với mỗi cặpσ, τ ∈ Γtồn tại một đẳng cấu giữa các hàm tử monoidal:

θσ,τ : FσFτ −→ F∼ στ với θ1,σ = idFσ = θσ,1 được xác định bởi tính giao hoán củabiểu đồ

τ X

−−−→ FτX

Υ στ X



y

Ta đặt Ob(∆F ) = ObP Mũi tên X → Y trong ∆F là cặp (a, σ), trong đó

FσX → Ya là mũi tên trong P. Với σ, τ ∈ Γ thì hợp thành X (a,σ)→ Y (b,τ )→ Z là mũitên (c, τ σ) : X → Z với c được xác định một cách tự nhiên theo biểu đồ giaohoán sau

Từ các điều kiện chuẩn tắc và điều kiện đối chu trình của F, ta suy ra phéphợp thành của các mũi tên trong ∆F có tính kết hợp và phần tử đơn vị ∆F làphạm trù Picard Γ-phân bậc với hàm tử gr : ∆F → Γ cho bởi

aX,Y,Z = (aX,Y,Z, 1), cX,Y = (cX,Y, 1), lX = (lX, 1), rX = (rX, 1),

trong đó aX,Y,Z, cX,Y, lX, rX là các ràng buộc của phạm trù Picard P.

2.1.3 Mệnh đề Mỗi phạm trù Picard Γ-phân bậc P tương đương với một mởrộng tích chéo ∆F, với F là một hệ nhân tử lấy hệ tử trong Ker P

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.2, từ phạm trù Picard Γ-phân bậc P ta có thểxây dựng một hệ nhân tử F lấy hệ tử trong phạm trù Picard Ker P Ta chứng

tỏ rằng mở rộng tích chéo ∆F tương đương với P

Dễ dàng thấy H là một Γ-hàm tử Đặt HeX,Y = idX⊗Y Khi đó (H, H)e là một

Γ-hàm tử monoidal đối xứng Hơn nữa, (H, H)e là một Γ-tương đương 

2.1.4 Mệnh đề Nếu G : P → P0 là một tương đương monoidal đối xứng củahai phạm trù Picard thì mỗi hệ nhân tử đối xứng F lấy hệ tử trong P cảm sinhmột hệ nhân tử đối xứng F0 lấy hệ tử trong P0 Hơn nữa, các mở rộng tích chéotương ứng là Γ-tương đương.

Chứng minh Gọi H : P0 → P là một tương đương monoidal đối xứng sao cho

β : H ◦ G ∼ = idP Đặt F0σ là hợp thành H ◦ Fσ◦ G và

θ0σ,τX = G(θσ,τHX◦ Fσ(βFτ HX )).

Ta có thể thử lại rằng F0 = (P0, F0σ, θ0σ,τ) là một hệ nhân tử lấy hệ tử trong P0.Hàm tử monoidal đối xứng G : P → P0 có thể kéo dài thành một Γ-hàm tửcủa các mở rộng tích chéo

2.1.5 Định lý Giả sửP là phạm trù PicardΓ-phân bậc và S là phạm trù Picardthu gọn của Ker P Khi đó tồn tại hệ nhân tử F lấy hệ tử trong S sao cho P

tương đương với ∆F

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.3, P tương đương với tích chéo ∆(FP) với FP

lấy hệ tử trong phạm trù Picard Ker P Do Ker P tương đương monoidal đốixứng với phạm trù Picard thu gọn S của nó nên theo Mệnh đề 2.1.4, FP cảmsinh hệ nhân tử đối xứng F lấy hệ tử trong S sao cho ∆(FP) tương đương với

• Mô tả ∆F với F lấy hệ tử trong phạm trù Picard S kiểu (M, N ).

Vật của ∆F chính là các phần tử x ∈ M Với x, y ∈ M mũi tên x → y trong

∆F là mũi tên (a, y) : Fσx → y trong S, hay có thể viết là bộ ba (a, y, σ), trong

đó a tùy ý thuộc N, σ ∈ Γ sao cho y = σx. Hợp thành của hai mũi tên

2.2 Hệ nhân tử lấy giá trị trong phạm trù Picard kiểu (M, N )

Để phân lớp các phạm trù Picard Γ-phân bậc, Cegarra và Khmaladze [9] đãxây dựng các nhóm đối đồng điều đối xứng HΓ,sn (M, N ) của các Γ-môđun Từmỗi 3-đối chu trình đối xứng h ∈ ZΓ,s3 (M, N ) cho trước, các tác giả đã xây dựngđược một phạm trù Picard Γ-phân bậc P(h) và chỉ ra rằng các 3-đối chu trìnhđối xứng h, h0 là đối đồng điều khi và chỉ khi các phạm trù Picard Γ-phân bậc

P(h),P(h0)tương đương Họ đã thu được một song ánh giữa nhóm đối đồng điều