TÀI LIỆU THAM KHẢO TÍCH PHÂN

Tổng quát, cho hàm fx xác định trên tập X, ta cần xác định tất cả các hàm Fx mà F’x=fx, vàgọi là các nguyên hàm của fx trên X.. Nh vậy mọi nguyên hàm của fx trên X chỉ sai khác nhau một

Tổng quát, cho hàm f(x) xác định trên tập X, ta cần xác định tất cả các hàm F(x) mà F’(x)=f(x), vàgọi là các nguyên hàm của f(x) trên X.

Định nghĩa1: Hàm F(x) đợc gọi là nguyên hàm của f(x) trên X, nếu ∀x∈X: F’(x)=f(x)

Hiển nhiên nếu ∀x∈X: F’(x)=f(x) thì với C là hằng số tuỳ ý:

(F(x)+C)’=f(x)Hay F(x)+ C là nguyên hàm của f(x) Nh vậy nếu hàm f(x) có nguyên hàm trên X thì nó có vô sốnguyên hàm trên X

Nếu φ(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên X, thì:

[φ(x)-F(x)]’=f(x) – f(x)=0

Do đó

φ(x)=F(x)+CVới C là một hằng số nào đó Nh vậy mọi nguyên hàm của f(x) trên X chỉ sai khác nhau một hằng

số Ta có định lý:

Định lý 1: Nếu trong tập X, hàm f(x) có nguyên hàm F(x) thì:

1 F(x)+C, trong đó C là hằng số tuỳ ý, cũng là nguyên hàm của f(x) trên X

2 Mọi nguyên hàm của f(x) trên X đều có dạng F(x)+C, với C là hằng số nào đó

2 Tích phân bất định

Định nghĩa 2: Nếu F(x) là nguyên hàm của F(x) trên X thì biểu thức F(x)+C, trong đó C là hằng

số tuỳ ý, đợc gọi là tích phân bất định của f(x) trên X và đợc ký hiệu∫b

a

dx x

f( ) , vậy:

∫b

a

dx x

f( ) =F(x)+C Dấu ∫ đợc gọi là dấu tích phân, f(x) là hàm dới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dới dấu tíchphân, x là biến lấy tích phân

3 Các tính chất của tích phân bất định

1α

α α

9 ∫ =− gx+C

x

dx

cotsin2

10 ∫shxdx=chx+C

11 ∫chxdx=shx+C

12 ∫ =thx+C

x ch

dx

2

13 ∫ =− x+C

x sh

dx

coth2

1 25.2 Các phơng pháp tính tích phân

1 Phơng pháp đổi biến

Phơng pháp đổi biến trong tích phân ∫ f(x)dx có hai dạng:

a Nếu đặt x=ϕ(t), trong đó ϕ(t) là một hàm khả vi đơn điệu đối với t thì ta có công thức:

Các công thức trên có thể chứng minh bằng phép lấy đạo hàm hai vế mỗi biểu thức

Chú ý: Khi dùng các phơng pháp đổi biến, sau khi tính tích phân ta phải đổi trở lại biến cũ

x a

x d a x a

1

1

2 2

x a

x d x

a

dx

arcsin1

2 2

x a

x a a x a

x a d a x a

x a d

1 ) ( 2

1 ) ( 2

1

4 ∫ =∫ =−∫ =− x +C

x

x d dx

sin

5 ∫ =∫ = x +C

x

x d

sin

sincot

2

cos2

22

cos2sin2

tg

x d x

x

dx x

tg

x tg d

2ln22

dx

42ln2sincos

ππ

8 ∫ x dx2 +b

Dùng phép đổi biến (phép thế Euler) :

x t b

x2 + = − ⇔ t = x2 +b+x

b x

b x x dx b x

xdx dt

+

++

=++

dx =+2

dt b x

dx

|

|ln

Lấy tích phân hai vế ta đợc công thức tích phân từng phần

Ví dụ 5.2:

1 ∫ + = + −∫ +

b x

dx x b

x x dx b

x

2

2 2

2

= + −∫ + +−

b x

b b x b x x

b x

b b

x

2 2

b x

b b

x x dx b x

2 2

22

Do ∫ x dx2 +b =lnx+ x2 +b +C nên

∫ x2 +b dx= x x2 +b+blnx+ x2 +b +C

22

2 Tơng tự

a

x a

x a x dx x

2 2

2 2 2 2

2 2

x x

a

dx

arcsin

2 2

dx

ln2

12 2

lncos

π

23 ∫ x dx2 +b =lnx+ x2 +b +C

24 ∫ x2 +b dx= x x2 +b+blnx+ x2 +b +C

22

a

x a

x a

x dx x

2 2

2 2 2 2

a x khi t

t

a x

πππ

2

2 0 cos

Khi đó x khả vi đơn điệu theo t Ta có: dx=

(sin

1sin

cos1

)20

(sin

1sin

cos1

2 2

2

2 2

2

ππ

π

t C

t a t

tdt a

t C

t a t

tdt a

x

a t

)(2 2

2 2 2

2

a x x

a x

a x x

a x x

a x

Do đó: ∫(x2 −a2) x2 −a2

dx

a x a

−

−2 2 2

b I=∫ + x

x

e

dx xe

t dt t

1

22)1ln(

2)1ln(

2 2

2

t

t t

t

−

+ +

−

−

1

1 ln 2 4 ) 1 ln(

2

11

1

dx dx

x

x x

x

=− x −x − arcsinx+arcsinx+C

2

11

12

1arcsin2

1

x

dx x x

x

= x x+ x −x − arcsinx+C

4

11

4

arcsin2

dx x

x

dx

( x < 1)Nếu x<0 ta có:

1

2

x

x d

2

1 1 1 ln 1 1 1

x x x

=

x

x x

− +

1

1

ln

Nếu x>0 ta có:

2

x

x d

2

1 1 1 ln 1 1 1

x x x

− +

1

1 ln

1

x x

dx x

−

211ln

5.3 Tích phân của một số lớp hàm

1 Tích phân các phân thức hữu tỉ

Ta gọi hàm hữu tỉ là các hàm có dạng:

)(

)()(

x Q

x P x

trong đó P (x) và Q (x) là các đa thức Nếu bậc của đa thức P(x) nhỏ hơn bậc của đa thức Q(x) thìR(x) gọi là phân thức hữu tỷ thực sự Hiển nhiên nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của đathức Q(x) thì thực hiện phép chia đa thức ta luôn nhận đợc R(x) là tổng của một đa thức với mộtphân thức hữu tỷ thật sự

Tích phân một đa thức luôn thực hiện đợc, do đó trong phần này ta chỉ quan tâm đến tính tích phâncủa một phân thức hữu tỷ thực sự

++

+

q px x

N Mx

)( 2 + +

1 (

1 )

x

dx

k k

(3) ∫ = ∫ ++ ++

++

+

q px x

dx q px x M q px x

dx N Mx

2

2 2

)'(

.2

)(

4

42

x

dx pM

N

ln| |

2

2 px q x

=

p q

p x arctg p

2

24

22

(4) ∫ = ∫ ++ ++

+ +

+

dx q px x

q px x M q px x

dx N Mx

k

)' (

2 ) (

) (

2 2 2

dx p

M N

) (

1 )

1 (

q px x k M

dx p

M N

4

4 2

2

.

2 2

Đặt

2

p x

1

24

4

a q

dt I

)

1 2 Đặt = k− − k =∫ + k

a t

dt t I

a I J

)

1 2

2 2

1 1

Sử dụng tích phân từng phần bằng cách đặt

u =t và k

a t

tdt dv

()1(2

t

t k

J

Từ đó, chúng ta có công thức truy hồi

1 1 2 1 2 2

1 1

2

321)

)(

1(2)(

t k a

t J

I

a

Để tính tích phân của một phân thức hữu tỷ thực sự chúng ta công nhận một số kết quả sau:

Định lý 2: Nếu Q (x)là một đa thức bậc n với các hệ số thực thì nó có n nghiệm (kể cả bội) bao

gồm các nghiệm thực và các cặp nghiệm phức liên hợp

Hệ quả: Mọi đa thức bậc n với các hệ số thực:

0 1

1 1)

Định lý 3: Mọi phân thức hữu tỷ thực sự

)(

)(1

x Q

x P

1

1)()(

α

a x

A a

1 1

1

++++

++

++

b x

B b

x

B b

x

B a

x

A

β

β β

β

q px x

N x M q

px x

N x M q

px x

N x M

++

++

++

+

++

++

+

2

1 1 1

2

1 1

à à

à à à

s rx x

U x T s

rx x

U x T s

rx x

U x T

++

++++

+

++

++

++

2 1 1 1

2

1 1

Trong đó Aα,Aα−1,,A1; Bβ,B −1,,B1; Mà,Nà,,M1,N1; Tν,Uν,,T1,U1 là các hằng sốcha biết và chúng đợc xác định bằng phơng pháp hệ số bất định

Nh vậy để tính tích phân của một phân thức hữu tỷ

)(

)()(

x Q

x P x

R = ta tiến hành các bớc sau:

(1) Nếu

)(

)()(

x Q

x P x

R = cha là phân thức hữu tỷ thực sự, thực hiện phép chia đa thức ta đợc:

)(

)()()

1

x Q

x P x P x

(2) Tìm nghiệm của đa thức Q(x)

(3) Phân tích đa thức hữu tỷ thực sự:

)(

)(2

x Q

x P

thành tổng của các phân thức hữu tỷ đơn giản bằng

1(x x

xdx I

)1)(

1( − + = − + + + x+

B x

B x

A x

x x

Quy đồng mẫu số hai vế ta đợc hai vế của tử số:

)1()1)(

1()1( + 2 + 1 − + + 2 −

x

Khai triển biểu thức vế phải ta đợc:

)(

)2

()

B A

Đồng nhất các hệ số của các luỹ thừa của biến x ở hai vế ta có hệ

01

02

2 1 2 1

B B A

B A

B A

114

114

1

x

dx x

dx x

dx I

C x

x

+

−+

1

|1

|ln4

1

|1

|ln4

C x

x

+

−+

1)1(2

1

Ví dụ 5.6: Tính tích phân =∫ −

13

x

dx I

Ta có:

11

−

=

N Mx x

A x

quy đồng mẫu số hai vế ta đợc:

)1)(

()1(

1≡ A x2 +x+ + Mx+N x−hay 1≡(A+M)x2 +(A−M +N)x+(A−N)

Đồng nhất hệ số hai vế ta có hệ

100

N A

N M A

M A

x x

dx I

1

23

113

1

2

= x− − x +x+ − arctg x+ +C

3

123

1

|1

|ln6

1

|1

|ln

x dx x

1

1

6

2 2

4 6

b)

2

4 6

4

)1(1

12)

1(

)12(

−

=+

−

1

323

−

=

51

32151

x x

x dx

x x

x x

+ +

= + +

+ +

=

1

1 2 1 1

2 3

2 2

2

2

x x

x x d

1 , 1

2 )

cos , (sin

t

dt t

t t

t R dx x x R

Ví dụ 5.8: Tính tích phân =∫ − +

5cos4sin

2

t

dt dx

2sin

t

t x t

t x

+

−

=+

++

−

−+

+

2

2 2

2

)13(

25

1

441

6

12

t dt t

t t

t t

(

3

x tg

++

−

=

)123(32

Tuy nhiên phép đổi biến trên thờng dẫn tới các tích phân có biểu thức phức tạp nên ta thờng chọncác phép đổi biến khác trong trờng hợp có thể nh sinx=t, cosx=t, tgx=t,

Ví dụ 5.9: Tính các tích phân sau

a ∫cos5xdx=∫(1−sin2x)2d(sinx)

=∫(1−2sin2x+sin4 x)d(sinx)

= x− 3 x+ sin5 x+C

5

1sin32

b) ∫(sin4 x+cos4 x)sinxcosxdx

=∫sin5xd(sinx)− ∫cos5 xd cos x

= x− x+C

6

cossin6 6

c ∫ =∫

x x

dx x

Ví dụ 5.10: Tính các tích phân

a =∫ − +

5sin6sin

−

t t

t t

dt t

t

dt I

1

15

14

1)5)(

1(562

= t− − ln|t−1|+C

4

1

|5

|ln41

C

x

x C

−

−

=

1sin

5sinln4

11

5ln41

x

x x

J =∫ −− 4

sin 1

3 cos cos

Ta có:

x

x x x

x x x

x x

4

2 4

cos sin 4 sin

1

sin 2 sin 2 sin

1

3 cos cos

−

− +

2 )

1 )(

1 (

) 1 ( ) 1 ( 2 1

4

t

dt t

dt dt

t t

t t

t

dt t

J

x

x C

arctgt t

sin 1 ln 2

ax x R

r n

m

] ) ( , , ) ( ,

=∫ Chúng ta đặt ax+b=t k và chọn k để khử hết các căn ở biểu thức trên (chọn k là bội chung nhỏnhất: n, ,s) ta quy về đợc tích phân hữu tỉ

Ví dụ 5.11: Tính tích phân

a =∫ + − +

3 2 33

dt t t

t

dt t

13

2 3

5

C t

t t

3

2 3

+ + + +

+

2

1 ) 3 2

1 3

1 2

1

b =∫ + dx

x

dx x I

3

Đặt x=t6 ⇒ dx=6t5dt Vậy

dt t t

t dt

t

t t

dt t

2

8 2

8

1

1 ) 1 )(

1 ( 6 1

1 ) 1 ( 6 1

−

=

3 5 7 6

3 5 7

−

3 5 7

b Tích phân có chứa căn thức dới dấu căn thuộc dạng

dx d cx

b ax d

cx

b ax x R

r n

+

Chúng ta cũng đặt: t k

d cx

b

ax = +

+ , với k là bội số chung nho nhất của n,…,s.

x

1 2

−

t t

t t

dt t

1

1 1

1 ( 2 ) 1 )(

1 (

4

2 2

2 2

2

C t

t

+

− +

1 (

2

x

x arctg x

x x

−

+

=

1 2

1 2 2

1 1 2

1 2 ln 1 1 2

1 2 ln

c Xét các tích phân có dạng

I ( , 2 ) Trong đó R là một hàm hữu tỉ, trong tích phân có chứa căn bậc hai của một tam thức bậc hai Bằng cách biến đổi tam thức bậc hai về dạng chính tắc

]4

)2

2

a a

b x a c bx

2+

= chúng ta đa đợc tích phân trên về một trong ba tích phân dới

đây, và khử dấu căn bằng phép đổi biến tơng ứng

dx I

Đặt x sin= t ⇒ t=arcsinx, dx cos= tdt và 1−x2 =cost

Ta có ∫ +

−

= +

=

x

x C tgt t

dt I

2 2

1 cos

b =∫ −

1

2

3 x x

dx I

1

x x

x

+ +

−

= ( 1 arccos1) 2

1

2 2

Trong một số trờng hợp ta có thể áp dụng trực tiếp các công thức trong mục 5.2 để tính các tíchphân

Ví dụ 5.14: Tính các tích phân

a ∫ + + = + + 4 + 8

2

2 8

x

dx

) 1 2 arcsin(

) 2

1 ( 4

1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân xác định

Diện tích hình thang cong: Cho f(x) là hàm liên tục và f(x)≥0,∀x∈[ ]a,b Ta gọi miền giới hạnbởi các đờng: x=a, x=b, y=f(x) và trục Ox là hình thang cong Đặt m=min f(x), M=max f(x) với[ ]a b

x∈ , Vẽ các hình chữ nhật có đáy là đoạn [a,b] và có các chiều cao là m, M Ta thấy rằng hìnhthang cong chứa hình chữ nhật nhỏ và nằm trong hình chữ nhật lớn, gọi diện tích của hình thang cong

là S, khi đó:

)()

(b a S M b a

a b

− hay S=f(c)(b-a) Nếu ta có thể tìm đợc c∈[ b a, ] thì ta tính đợc chính xác S từ hàm f(x) Với mỗi c∈[ b a, ] lấy

))(

(c b a

f

S ≈ − thì sai số tối đa là ε =(M −m)(b−a)

Để giảm sai số của cách làm trên ta chia nhỏ hình thang đã cho thành nhiều hình thang nhỏ Khi

đó sai số xấp xỉ sẽ giảm đi khi số hình thang nhỏ tăng lên Cụ thể, ta thực hiện nh sau:

Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

b x x

x x

a= 0 < 1< 2 < < n =

và gọi là một phép phân hoạch đoạn [a,b]

Hình 16 Đặt ∆x i =x i −x i−1 và d =max∆x i Khi đó, hình thang ban đầu đợc chia thành n hình thang nhỏ.Hình thang nhỏ thứ i, có các đáy thuộc hai đờng thẳng x= x i−1 và x= x i, một cạnh bên là đoạn

]

,

[x i−1 x i , cạnh cong là y=f(x) Lấy ξi ∈[x i−1,x i] tuỳ ý, ta xấp xỉ diện tích s của hình thang nhỏ i

thứ i là s i ≈ f(ξi)∆x i Đặt m , i M i tơng ứng là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) trên đoạnnhỏ [x i−1,x i] Khi đó phép tính xấp xỉ diện tích của hình thang nhỏ thứ i có sai số tối đa là

1

,)(ξ (5)

và sai số của phép tính trên không vợt quá ∑

1

)(

Khi cho n→∞, sao cho d →0 ta thấy rằng, do f(x) liên tục vì thế cũng liên tục đều trên [a,b],bởi vậy với ε >0 cho trớc tuỳ ý chỉ cần chọn d đủ nhỏ thì |M i −m i |<ε ∀i=1,2, ,n. Suy ra

) (

1

a b x

ε nên εn →0 Nh vậy, khi n→∞, sao cho d →0 thì vế phải của (5) có giớihạn và giới hạn đó chính là S

S

1 0

.)(lim ξ

2 Định nghĩa tích phân xác định

Cho hàm f(x) xác định trên [a,b] Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

b x x

x x

a= 0 < 1< 2 < < n = Đặt ∆x i =x i −x i−1 và d =max∆x i Lấy ξi ∈[x i−1,x i] tuỳ ý, lập tổng:

I

1)(ξ

và gọi là tổng tích phân Khi cho n→∞, sao cho d →0, nếu I có một giới hạn hữu hạn là I n

không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và cách chọn các điểm ξi ∈[x i−1,x i] thì ta nói rằng hàm

f(x) khả tích trên đoạn [a,b] và gọi I là tích phân xác định của f(x) trên [a,b] Ký hiệu:

∫

= b

a

dx x f

đợc gọi là các tổng Đacbu (Darboux) bên dới và bên trên của phép phân hoạch

Ta thấy ngay rằng: I n ≤I n ≤I n với mọi cách chia [a,b]

I

1

ω và ta có thể viếtlại điều kiện trên nh sau:

0lim

Định lý 5 (Điều kiện cần để hàm khả tích)

Nếu hàm f(x) khả tích trên [a,b] thì f(x) giới nội trên đoạn đó

Chú ý: Đảo lại của định lý 5 không đúng, tức là nếu f(x) giới nội trên [a,b] thì cha chắc đã khả

tích trên đoạn đó Chẳng hạn, xét hàm Đirichlet

Q x

Q x x

1)(Khi đó trên mỗi đoạn [a,b] cho trớc và với mọi phép phân hoạch đoạn [a,b] ta đều có: I n =0 và

ln(ln2

ln

ζtrong đó ζi∈[x i−1,x i] Suy ra

] , [ , , 1 1 2

1

i i i i i n

khi ξ −ζ <δ Nh vậy, với mọi cách chia [1,2] sao choδ

<

d , thì với mọi cách chọn ξi∈[x i−1,x i] ta có:

εεζ

I

1 1

1 1

| 2 ln

|

Cho nên khi cho n→∞, sao cho d →0, I có giới hạn là ln2, không phụ thuộc và cách chia đoạn n

[1,2] và cách chọn các điểm ξi∈[x i−1,x i] Vậy theo định nghĩa ta có:

2ln2

1

=

=∫dx x

Định lý 6: Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] thì khả tích trên đoạn đó.

Chứng minh: Vì f(x) liên tục trên khoảng đóng [a,b] nên liên tục đều trên [a,b], do đó với mọi ε

> 0, luôn tìm đợc δ>0, sao cho ∀x i,x i−1∈ [a,b] mà xi-xi-1<δ thì f(xi) – f(xi-1)<ε hay ωi<ε, do

đó:

)(1

1

a b x

i i n

n ω x , hay f(x) khả tích trên [a,b]

Ví dụ 5.16: Tính ∫1

0

2dx x

Vì f(x)=x2 liên tục trên [0,1] nên ta chia đều [0,1] thành n đoạn bằng nhau, khi đó ta có: ∆xi=

3

16

)12)(

1(

n n

n

Suy rộng định lý 6 chúng ta có định lý sau:

Định lý 7: Nếu f(x) giới nội trên [a,b] và liên tục tại mọi điểm

trên đó, chỉ trừ ra một số hữu hạn điểm gián đoạn loại 1, thì f(x) khả tích trên [a,b]

Định lý 8: Nếu f(x) đơn điệu trên [a,b] và bị chặn trên đó thì f(x) khả tích trên [a,b].

Chứng minh: Giả sử f(x) đơn điệu tăng trên [a,b] Với ε> 0 cho trớc, chọn:

)()(b f a

δGọi ωi=Mi-mi=f(xi)-f(xi-1), khi đó chỉ cần phân hoạch sao cho ∆x i <δ ta sẽ có:

i

1)()(δ

11

11

00

)(

n n

x n

khi n

x khi x

Từ đó ta có: ∫a ( ) =0

a

dx x f

f( ) | ( )|

6 Nếu m≤ f(x)≤M ∀x∈[ b a, ] và f(x) khả tích trên đó thì:

− ≤∫b ≤ −

a

a b M dx x f a b

1

MV× f(x) liªn tôc trªn [a,b] nªn tån t¹i ξ∈[a,b] sao cho:

= − ∫b

a

dx x f a b

m 1 ( )

lµ gi¸ trÞ trung b×nh cña f(x) trªn [a,b]

Nh vËy, nÕu f(x) kh«ng ©m trªn [a,b], diÖn tÝch h×nh thang cong, b»ng diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt cãc¸c kÝch thíc f(ξ) vµ (b-a)

x) ( )(

x

dt t f dt t f dt t f x

→

∆

→

∆Chøng minh t¬ng tù, ta cã:

)()0(' a+ = f a

u) ( )(

ϕ trong đó u=u(x) ta có công thức:

( ) [ ( )] / ( )

/ )

(

x u x u f dt t

x u

(

) (

x u x u f x v x v f dt t f

x v

x u

dt tgt I

0

sin

0 0sin

áp dụng công thức Lôpitan và công thức đạo hàm theo cận trên ta có:

)sin(

)(sinlim

cos

1.)sin(

cos.)(sinlim

0 2

x tg x

tgx

x x tg I

(vì khi x→0 thì tg(sinx) ~ tgx và sin(tgx) ~ sinx )

b Định lý Newtơn-Lépnit

Định lý 12: Nếu f(x) là hàm liên tục và có nguyên hàm F(x) trên đoạn [a,b] thì ta có

f(x)dx F(x)|b F(b) F(a)

a b

x) ( )

Cho x=a ta đợc:

C a F

0

1 0

−

=+

−

=+

dx

= + +

1 0

1

0

1 1

1 2

| 2

| ln

| 1

|

0 = +

− +

Ví dụ 5.21: Tính giá trị trung bình của hàm f(x)=x3+2x trên đoạn [0,2]

4.4

2

1)2(2

1

|2 0 2 4 2

=+

=

∞

12

11

1lim

n n

n n I

2

12

11

1

n n

n n

Xét 2

1

1)

(

x x

0 2

π

=

=+

x

dx J

Mặt khác chia [0,1] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia x0 =0,

n

x1 = 1,

n

x2 = 2 , , x n =1.Lập tổng tích phân:

n

n n n

n n n

+

+ + +

+ +

=

2

2 2

2

1

1 2

1

1

1 1 1

1

1



Do hàm f(x) khả tích trên [0,1] nên:

4lim

Ví dụ 5.23:

a Cho I=∫1 +

0 1 x3 dx arctgx

1 0

1 x

xdx xarctgx

arctgxdx

4 ) 1 ln(

2

0 2 1

+

−

ξξ

π

Do đó ta có:

2

2 ln

→ 1 0

0 1

x

x n n

Đặt f(x)=

x

+1

1 , g(x)= xn áp dụng định lý trung bình đợc:

∫ = ∈

+ +

1 (

1 lim

Tơng tự nh khi tính tích phân bất định, ta có các phơng pháp đổi biến để tính tích phân xác định

Định lý 13: Cho hàm f(x) liên tục trên [a,b] Giả sử ta có hàm số x=x(t) xác định trên [α,β]thỏamãn đồng thời các điều kiện

1) x(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α,β]

β α

)(')]

([)

( Chú ý: Theo công thức trên, trong tích phân xác định, khi đổi biến ta phải đổi cận, và không phải

đổi trở lại biến cũ

Ví dụ 5.24: Tính tích phân

a I =∫x + x dx

1 0

0

) 5 2 ln(

0

2

2

1 4 8

1 2 8

1

dt t ch tdt

sh I

16

1 8

5 9 2

2

4 32

1

221

)2(

x

dx x x I

−

= +

2

2 1

) 2 ( 2 2

1

) 2 ( 2 2

1

) 2

(

x

x t

t t

dx x x dt

t t dt

t t I

Kết hợp biến đổi nêu trên và biểu thức ban đầu ta đợc

+

−

= +

) 2 ( 2 2

1

) 2 (

2I I I x x x dx x x x x dx

3

4 3 )

2

0 2

0

3 2

f

0)(2)( nếu f(x) là hàm chẵn trên [-a,a]

0

0)()

()

(Biến đổi số hạng thứ nhất ở vế phải của đẳng thức trên ta có: