Bài giảng toán kinh tế phần 2 nguyễn ngọc lam

ĐẠO HÀM, VI PHÂNChương 3.. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 5.. HÀM NHIỀU BIẾN chương 6.. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN... MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất

PHẦN II ĐẠO HÀM, VI PHÂN

Chương 3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Chương 4 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

chương 5 HÀM NHIỀU BIẾN

chương 6 TÍCH PHÂN

chương 7 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN

Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ Nếu x  X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x)  Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y.

Ký hiệu:

) x ( f y

x

Y X

: f





• Đơn ánh: x 1 , x 2  X, x 1 ≠ x 2 => f(x 1 ) ≠ f(x 2 )

• Toàn ánh: Với mỗi y  Y, x  X: y = f(x)

• Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa hàm số: Với X,Y  R, ta gọi ánh xạ f:XY là

một hàm số một biến Ký hiệu là y = f(x).

x: biến độc lập y: biến phụ thuộc.

Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x  X}: miền giá trị của f

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Hàm số hợp : Giả sử y = f(u) đồng thời u = g(x) Khi đó

f = f[g(x)] là hàm số hợp của biến độc lập x thông qua

biến trung gian u Ký hiệu f o g.

Ví dụ : Tìm g o f, g o h, f o g, h o g với g = lg 2 x, f = sinx, h=e x

Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X Nếu

f: XY là một song ánh thì f -1: YX được gọi là hàm số

ngược của f.

• Đồ thị của f, f -1 đối xứng nhau qua đường y = x.

• Hàm số y= sinx, y = cos(x) với chu kỳ cơ sở là T 0 = 2.

• Hàm số y = tg(x), y = cotgx với chu kỳ cơ sở là T 0 = .

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Hàm số chẵn, lẻ : f có miền xác định X, với x, -x  X.

• f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X

• f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  X

Ví dụ: f(x) = cosx + x- x 2 Hàm số chẵn

) 1 x

x log(

) x (

•  là số vô tỉ: qui ước chỉ xét y = x tại mọi x  0,  > 0

và tại mọi x > 0 nếu  < 0.

2 PHÂN LOẠI HÀM SỐ

Đồ thị của y = x luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ

độ (0,0) nếu  > 0, không đi qua góc toạ độ nếu  < 0.

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

3 Hàm số logarit: y = log a x, a > 0, a ≠ 1

• Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0.

• Hàm số log a x tăng khi a > 1

• Hàm số log a x giảm khi a < 1

• Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị

• Hàm số y = log a x là hàm số ngược của số y = a x

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

) x ( Log )

x ( log

) x

x (

b 

a log

b

log b

log a  c

 Một số tính chất của log a x:

log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 )

log a x α = αlog a x

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

4 Hàm số lượng giác:

• y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2

• y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2

• y = tgx, mxđ  x ≠ (2k+1)/2, hàm lẻ, chu kỳ 

• y = cotgx, mxđ  x ≠ k, k  Z, hàm lẻ, chu kỳ 

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

5 Hàm số lượng giác ngược:

• Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

• Định nghĩa: Các hàm số hằng số, luỹ thừa, mũ, logarit,

lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm số

) x ( f

2

Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp, g(x) không là hàm sơ cấp

• Định nghĩa: Các hàm số nhận được bằng cách thực

hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích

thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ

bản được gọi chung là hàm số sơ cấp.

x )

x (

• x thuộc lân cận phải của x 0 và x > x 0  x 0 < x < x 0 + 

• x thuộc lân cận trái của x 0 và x < x 0  x 0 -  < x < x 0

Lân cận ở vô cùng:

• x thuộc lân cận của +  M>0 lớn bất kỳ: x > M

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn: Cho hàm f(x) xác định trên một khoảng chứa x 0 (riêng tại x 0 , f(x) có thể không tồn tại) Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi

x x 0 , nếu  > 0,  > 0: 0 < x – x 0  <   f(x) – L < .

Ký hiệu: lim f ( x ) L

0 x x





Ví dụ , Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng

7 )

1 x

2 (

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

L )

x ( f

x ( f

x ( f

lim

0

x x

L )

x ( f lim

) x ( f

lim

0

x x

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

.

Định nghĩa giới hạn lân cận :

L )

x ( f

x ( f





0

x x

lim

0

x x

N < 0 nhỏ tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x 0 <   f(x) < N

2 1

lim

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Ví dụ : Tìm

2 x

8

x lim )

a

3 2





2 x

8 x

3

x lim )

3 x

( lim )





x ( h lim

) x ( g

lim

0

x x

L )

x ( f

lim

0 x x





Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm

sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì

0 x

Ví dụ: Tìm

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

1 x

x

sin lim

0



e x

1 1

1

a lim

x 0

) x 1

lim

; x

lim :

0

0 x

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

• Hàm mũ: a 1 : lim a ; lim a 0

x

x x

x

a lim

; 0 a

lim :

1 a

a x ; lim log x log

lim :

1

a x ; lim log x log

lim :

1 a

0

• Hàm ngược lượng giác:

2

arctgx lim

; 2

arctgx

lim

x x

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Ví dụ: Chứng minh:

1 x

tgx lim

0



1 x

x

arcsin lim

0



1 x

arctgx lim

2

x lim

x arctg

x arcsin

x 2

sin lim

2 2

0



3 2

x x

~ x x

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x 0 nếu:

) x ( f )

x ( f

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu

nó không liên tục tại x 0

Hàm số f(x) gián đoạn tại x 0 trong các trường hợp sau:

- f không xác định tại x 0

- f xác định tại x 0 nhưng lim f(x) ≠ f(x 0 ) khi x  x 0

- không tồn tại lim f(x) khi x  x 0

khi 1

x

0 x

khi 1

x )

x ( f

Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x 0 = 0

C3 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x 0 thì các hàm

số sau cũng liên tục tại x 0 : kf (k hằng số), f+g, fg, f/g (g(x 0 )≠0).

Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u 0 và f liên tục tại u 0 thì limf(u(x)) = f(lim u(x)) = f(u 0 )

Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] và f(a)f(b) < 0 thì x 0 

(a,b): f(x 0 ) = 0.

Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b]