TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH: Định nghĩa: - Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên D nếu F’x = fx với mọi x D - Tập hợp các nguyên hàm của fx được gọi là tích phân bất định của fx.
Trang 1C6 TÍCH PHÂN
1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH:
Định nghĩa:
- Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên D nếu F’(x) = f(x) với mọi x D
- Tập hợp các nguyên hàm của f(x) được gọi là tích
phân bất định của f(x) Ký hiệu:
f ( x ) dx F ( x ) C
Trong đó, F(x): Nguyên hàm
C: Hằng số dx: vi phân của biến x
Trang 2C6 TÍCH PHÂN
Các tính chất cơ bản:
( f ( x ) g ( x )) dx f ( x ) dx g ( x ) dx
kf ( x ) dx k f ( x ) dx
f ( x ) dx' f ( x )
Trang 3C6 TÍCH PHÂN
Một số công thức:
C x
dx
-1) (
C 1
x dx
x
1
C x
ln x
dx
C a
ln
a dx
a
x x
C x
cos xdx
C x
sin xdx
C gx
cot x
sin
dx
C
tgx x
cos
dx
C a
x arccos
C a
x arcsin x
a
dx
2
C b
x x
ln b
x
C a
x g cot
arc a
1 C
a
x arctg a
1 x
a
dx
2
C x
a
x
a ln a 2
1 x
a
dx
2
Trang 4C6 TÍCH PHÂN
Một số phương pháp tính tích phân:
1 Phương pháp đổi biến:
Ví dụ: Tính xe dx
2
x
2 Phương pháp tích phân từng phần:
udv uv vdu
Ví dụ: Tính ln xdx
tgxdx
xe x dx
Trang 5C6 TÍCH PHÂN
Tích phân hàm hữu tỉ: Bậc của tử nhỏ hơn mẫu.
) x ( Q
) x ( P
m
m 2
2
1 m
) a x
(
A
) a x
(
A )
a x
(
A )
a x
(
) x
(
P
n 2
n
n 2
2
2
2 2
1
1 n
C x
B
) c bx
x (
C x
B )
c bx
x (
C x
B )
c bx
x
(
) x ( P
Với b 2 – 4c < 0 ; trong đó m, n là số nguyên dương.
Xác định A i , B j , C j được thực hiện bằng đồng nhất thức
Ví dụ: Tính
dx a
x
1
) a x
(
1
x 1 ) x
(
xdx
2
Trang 6C6 TÍCH PHÂN
Tích phân hàm vô tỉ: Sử dụng phương pháp đổi biến chuyển về hàm hữu tỉ.
3 x 1 1
dx
Ví dụ: Tính
Trang 7C6 TÍCH PHÂN
2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH:
Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định, liên tục và không âm trên [a,b], chia [a,b] thành n đoạn: a = x 0 < x 1 <…x n = b
Gọi k = x k – x k-1 , trong mỗi [x k ,x k-1 ] ta lấy c k bất
kỳ và lập tổng:
n 1
S
n 1
k k k n
n n
) c ( f lim
S lim I
Giới hạn này không phụ thuộc vào cách chi [a,b] và cách lấy điểm c k thì y = f(x) khả tích trên [a,b] và I được gọi là tích phân xác định của f trên [a,b].
Ký hiệu:
b a
dx ) x ( f
Trang 8C6 TÍCH PHÂN
a b
b a
dx ) x ( f dx
) x ( f
b c
a dx ) x ( f dx
) x ( f dx
) x ( f
b c
c a
b a
b a
b a
b a
dx ) x ( g dx
) x ( f dx
)) x ( g )
x ( f (
R k
dx ) x ( f k dx
) x ( kf
b
b
Một số tính chất cơ bản:
Trang 9C6 TÍCH PHÂN
Công thức Newton – Leibnitz:
Cho f liên tục trên [a,b] và F là nguyên hàm của f thì:
) a ( F )
b ( F )
x ( F dx
) x (
b a
Phương pháp tính tích phân xác định: Sử dụng các phương pháp tích phân bất định.
Ví dụ: Tính tích phân:
2 0
dx x
1
0 2 x
x x
2
dx 1
e
e 2
e
e 1
2
xdx ln
Trang 10C6 TÍCH PHÂN
3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG:
Tích phân suy rộng loại 1 (có cận vô hạn):
Cho hàm số f(x) xác định trên [a,+) và f khả tích trên
[a,t] với mọi t > a
B dx
) x ( f lim
dx ) x ( f
t a
t a
B được gọi là tích phân suy rộng của f trên [a,+).
Nếu B hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ và ngược lại ta nói là phân kỳ
Trang 11C6 TÍCH PHÂN
Tương tự có các dạng khác như sau:
b t t
b
dx ) x ( f lim
dx ) x ( f
c
c
dx ) x ( f dx
) x ( f dx
) x ( f
Ví dụ: Xét các tích phân suy rộng sau:
0
x
dx
xdx
Trang 12C6 TÍCH PHÂN
Tích phân suy rộng của các hàm không âm:
Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm không âm trên [a,+)
và f(x) ≤ g(x), khi đó:
a
dx ) x (
a
dx ) x ( f hội tụ thì hội tụ
a
dx ) x ( g
a
dx ) x (
f phân kỳ thì phân kỳ
Ví dụ: Xét tính hội tụ và phân kỳ:
x 2
Trang 13C6 TÍCH PHÂN
Định lý : Cho f(x), g(x) là hai hàm không âm trên [a,+)
) (0,
k
k )
x ( g
) x (
f lim
x
cùng hội tụ hoặc phân kỳ
a a
dx ) x ( g dx
)
x
(
f
Ví dụ: Xét tính hội tụ và phân kỳ:
1
dx 1 x
x
Trang 14C6 TÍCH PHÂN
Tích phân loại 2 (của hàm không bị chặn): Cho hàm số f(x) liên tục trong khoảng [a,b) và
B dx
) x ( f lim
dx ) x (
f
t a b t
b
a
được gọi là tích phân suy rộng của f trên [a,b]
Nếu B hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ.
Tương tự ta có định tích phân suy rộng loại 2 trong
trường hợp f(x) không bị chặn khi gần điểm a và f(x)
) x ( f
lim
b t
Trang 15C6 TÍCH PHÂN
Ví dụ, Tính tích phân
0
1 x 2
dx
2
0 x 2 dx
Trang 16C6 TÍCH PHÂN
Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm liên tục không âm trên [a,b), f(x) ≤ g(x), không bị chặn tại b và
) x ( g lim )
x ( f
lim
b x
b x
b
a
dx ) x (
b a
dx ) x ( f hội tụ thì hội tụ
b a
dx ) x ( g
b
a
dx ) x (
f phân kỳ thì phân kỳ
Trang 17C6 TÍCH PHÂN
Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm liên tục không âm trên [a,b) có:
) x ( g lim )
x ( f
lim
b x
b
x
b
a
dx ) x (
b a
dx ) x (
f cùng hội tụ hoặc phân kỳ
) (0,
k
k )
x ( g
) x (
f lim
b x
Trang 18C6 TÍCH PHÂN
4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG:
Ứng dụng tích phân bất định: Tìm hàm mục tiêu từ hàm giá trị biên.
Tìm hàm chi phí: Cho biết hàm chi phí biên một sản
phẩm của doanh nghiệp và chi phí cố định là 50.
5 x
2 x
3
MC 2
Tìm hàm doanh thu và hàm cầu: Cho biết hàm doanh thu biên.
2
Q 500
Trang 19C6 TÍCH PHÂN
Tìm hàm lợi nhuận: Cho biết hàm lợi nhuận biên theo sản lượng và nếu chỉ bán 50 sản phẩm thì lỗ 13.500$.
500 Q
5
MP
Ứng dụng tích phân xác định:
Phân tích lợi nhuận: Lợi nhuận biên của 1 sản phẩm
2 , 12 x
0005 ,
0
a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi lượng bán tăng từ
100 lên 101 đơn vị?
b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi lượng bán tăng từ
100 lên 110 đơn vị?
Trang 20C6 TÍCH PHÂN
Chi phí trung bình: Cho hàm chi phí theo thời gian t
(tháng) của doanh nghiệp trong thời gian 3 năm Tìm chi phí sản xuất trung một tháng trong kỳ kinh doanh này
15 , 13 t
02 , 0 t
006 ,
0
Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất:
Một sản phẩm trên thị trường có hàm cung và hàm cầu:
Hàm cầu: P = -0,3x + 10 Hàm cung: P = 0,1x + 2 Hãy tìm thặng của người tiêu dùng và thặng dư của người sản xuất tại điểm cân bằng.