Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 15: Quang học và phân tích hệ thống

Nghiên cứu thực tiễn... Th ườ ng thì là hàm ng ẫ u nhiên.[r]

Chương 15 QUANG HỌC VÀ PHÂN TÍCH

HỆ THỐNG

15.1 GIỚI THIỆU

Trong phạm vi phần 2, chỳng ta đó trỡnh bày bộ cỏc cụng cụ cho phộp ta phõn tớch cỏc thành phần thường dựng trong biểu diễn ảnh số Bõy giờ chỳng ta ứng dụng những cụng cụ này để phỏt triển những đặc tớnh của cỏc hệ thống xử lý ảnh số

Hai trường hợp thường nảy sinh, đũi hỏi một phương phỏp khả thi đối với phõn tớch hệ thống Một là khi được yờu cầu chọn lựa hay cấu hỡnh một hệ thống biểu diễn ảnh số cho một loại thường dựng Ở đõy, một tập cỏc thành phần phự hợp hay toàn

bộ một hệ thống phải được chọn từ tập cỏc lựa chọn, thường theo quan niệm liờn quan đến giỏ cả

Trường hợp cũn lại nảy sinh mỗi khi người dựng hệ thống tiếp cận một vấn đề mới Bỡnh thường, ngườ sử dụng chỉ thao tỏc một khõu tromh chuỗi xử lý ảnh: chương trỡnh mỏy tớnh thực hiện cỏc phộp toỏn xử lý số Thao tỏ của cỏc thành phần

hệ thống khỏc, từ bộ số hoỏ đến thiết bị hiển thị, thường được điều chỉnh trước bằng thiết kế phần cứng, mặc dự cú thể cú những tuỳ chọn cho trước Việc bảo trỡ đỳng đắn cũng cần thiết để phục vụ cho việcthực hiện tốt nhất

Cú thể ta phải chỉ rừ ảnh hưởng mà một thành phần phần cứng của hệ thống sẽ tỏc động lờn ảnh, để bự cho những ảnh hưởng này trong phần mềm Theo cỏch này, Chương trỡnh xử lý cú thể được cấu thành để đạt đến mục tiờu đó đề ra, đồng thời khụng làm giảm giỏ trị của đề tài

Trước đõy, một vấn đề về ảnh số đặc trưng cú thể tiếp cận một cỏch hoàn chỉnh, người ta phải thừa nhận rằng sự trang bị mỏy múc sử dụng là thoả đỏng cho cụng việc Núi chung, độ phõn giải, độ phúng đại, số điểm ảnh, kớch thước điểm ảnh và khoảng cỏch điểm ảnh phải tương xứng với cụng việc sắp tới Nờn cú một sự cõn bằng giữa cỏc dụng cụ quang học (camera, kớnh viễn vọng, kớnh hiển vi,…), cảm nhận ảnh (camera), số hoỏ ảnh, phần cứng lưu trữ và hiển thị, và cỏc thuật giải sử dụng để xử lý và phõn tớch định lượng ảnh số Trong chương này, chỳng ta sẽ nhằm vào tập cỏc nguyờn tắc cú thể thực hiện đối với việc thiết lập một sự cõn bằng như trờn

Phõn tớch chi tiết mọi mặt của một hệ thống xử lý ảnh cú thể trở nờn rất phức tạp

và điều này vượt quỏ tầm kiểm soỏt của ta Cỏch tiếp cận ở đõy là làm cho một vài giả thiết trờn thực tế trở nờn đơn giản và cú khả năng ứng dụng rộng rói Nếu cần thiết, cú thể thờm vào một lượng dư để đảm bảo khụng cú sai sút trong những giả thiết Phần lớn cỏc trường hợp trong thực tế, kết quả chớnh xỏc được cung cấp đầy

đủ

15.1.1 Thực hiện phõn tớch một hệ thống ảnh số

Cõu hỏi mà chỳng ta đặt ra ở đõy là: phõn tớch một hệ thống như thế nào để cú thể xỏc định nú cú thớch hợp và giỏ cả cú gõy ấn tượng cho việc thực hiện xử lý ảnh và cỏc dự ỏn định lượng ảnh mà nú sử dụng hay khụng? Ta sẽ cố gắng để thiết lập sự cõn bằng giữa cỏc thành phần khỏc nhau trong chuỗi xử lý ảnh, sao cho toàn bộ sự thực hiện là phự hợp với cụng việc và khụng cú thành phần nào thể hiện quỏ mức cần thiết so với những gỡ được yờu cầu để thực hiện cụng việc

Chúng ta sẽ chỉ ra những chủ đề về độ phân giải không gian và lấy mẫu ảnh, với mục đích thiết lập sự cân bằng giữa thực hiện từng thành phần hệ thống và toàn bộ

hệ thống Mục đích này có liên quan đến việc thực hiện những thành phần khác nhau trong một hệ thống thành một khối

Độ phân giải Những nhầm lẫn đáng kể thường xuất hiện xung quanh khái niệm

về độ phân giải Để tránh nhầm lẫn, ta cần một định nghĩa rõ ràng về độ phân giải là

gì và một sự cảm nhận sâu sắc về mục đích của bất kỳ phân tích nào về công cụ xử lý ảnh

Đối với mục đích của chúng ta, câu hỏi chủ yếu về độ phân giải là: Hệ thống sẽ tái tạo những chi tiết nhỏ trong đối tượng quan tâm một cách thích hợp? Câu hỏi này có thể được trả lời dễ dàng nếu đầu tiên chúng ta có một câu trả lời định lượng, ngắn gọn cho một câu hỏi khác: Hệ thống làm cách nào để tái tạo lại các đối tượng có kích thước khác nhau? Sau đó, giả sử rằng chúng ta biết kích thước của những chi tiết đang xét, chúng ta có thể thu được trả lời cho câu hỏi về độ phân giải

Để tiếp cận với câu hỏi sau, ta áp dụng công cụ của lý thuyết hệ thống tuyến tính (chương 9) vào những thành phần của hệ thống trước bộ phận lấy mẫu (chuyển đổi

từ dạng tương tự sang dạng số chẳng hạn) Những thành phần này có thể coi như là các thành phần hệ thống tuyến tính bất biến dịch, để có thể ứng dụng lý thuyết hệ thống tuyến tính

Nói chung, chúng ta phân tích dạng ảnh quang học và bộ cảm nhận ảnh (camera)

để xác định kích thước và hình dáng thật sự của điểm quét Từ đó mà ta có hàm tán

xạ điểm (Point Spread Function-PSF) của hệ thống ảnh và hàm tương đương của nó, hàm truyền đạt điều biên (Modulation Transfer Function-MTF) Hàm MTF hình thành đặc điểm định lượng của độ phân giải mà ta cần cho việc phân tích

Lấy mẫu Câu hỏi đặt ra đối với các tham số của quá trình lấy mẫu có thể được

biểu diễn như sau: Cần có bao nhiêu điểm ảnh và khoảng cách giữa chúng như thế nào, để đảm bảo cho ảnh số hoá diến đạt được chính xác nội dung của ảnh quang học? Điều này kéo theo một tập các khái niệm hoàn toàn khác những khái niệm liên quan đến độ phân giải Lấy mẫu là quá trình phi tuyến hoàn toàn và việc không phân biệt được giữa các khái niệm lấy mẫu và độ phân giải có thể tạo ra sự nhầm lẫm đáng tiếc

Để tiếp cận câu hỏi lấy mẫu, ta sẽ áp dụng lý thuyết lấy mẫu (chương 12) vào bước chuyển đổi tương tự sang số Đây là một phương pháp đơn giản để xác định khoảng cách điểm ảnh có đủ nhỏ hay không và miêu tả điều sẽ xảy ra nếu nó không

đủ nhỏ

Hiển thị ảnh Câu hỏi thứ ba trong phân tích hệ thống ảnh số có thể diễn tả như

sau: Ảnh hiển thị biểu diễn các đối tượng mà ta quan tâm chính xác đến mức nào? Trong những ứng dụng chỉ bao gồm phân tích định lượng, hiển thị ảnh có thể không quan trọng lắm hay thậm chí không cần thiết Trong những ứng dụng khác-đặc biệt là trong xử lý ảnh và trong cách hiểu của con người-nó là một thành phần quan trọng Giống như trước đây, hiển thị ảnh là xem xét sự khác nhau nhau giữa khái niệm về

độ phân giải và lấy mẫu, và nó xứng đáng được phân tích riêng biệt

Chúng ta thừa nhận quá trình hiển thị ảnh là một bước nội suy và áp dụng lại lý thuyết lấy mẫu Đây là cách để xác định quá trình hiển thị có đúng đắn hay không

Nghiên cứu thực tiễn Mỗi một quá trình trong ba quá trình cơ bản đã nói trên

đều được phân tích, người ta có thể kết hợp cả ba kết quả để xác định toàn bộ thiết kế

hệ thống coa cân bằng và chính xác cho các ứng dụng đặc biệt hay không Cuối cùng, người ta phải đánh giá hiệu quả của từng giả thiết và sự gần đúng khi phân tích

và kết quả mà nhiễu hệ thống tạo ra

Trong các chương trước, chúng ta đã trình bày các công cụ mô tả kết quả lấy mẫu, nội suy và lọc tuyến tính Trước khi chúng ta có thể phân tích một hệ thống đầy đủ,

ta cần có một phương pháp miêu tả những hiệu quả mà thấu kính thường dùng trong

hệ thống mang lại Trong phần sau, chúng ta sẽ trình bày những kỹ thuật phân tích việc thực hiện những hệ thống quang học và trong phần còn lại của chương này chúng ta sẽ ứng dụng một kỹ thuật để phân tích những hệ thống ảnh số hoàn chỉnh

15.2 QUANG HỌC VÀ HỆ THỐNG ẢNH

Hệ thống ảnh quang học đóng một vai trò quan trọng trong ảnh số vì hầu như chúng luôn luôn xuất hiện tại phần trước khi kết thúc một hệ thống xử lý ảnh Nếu ảnh được chụp trước khi quét thì phải có một hệ thống thấu kính khác thêm vào để phân tích

Các hệ thống quang học tạo ra hai kết quả trên ảnh: phép chiếu, như đã đề cập trong chương 2, và sự suy biến do nhiễu xạ và quang sai của thấu kính Phép chiếu giải thích cho sự đảo ngược của ảnh trên hệ thống toạ độ của nó (quay 1800 chẳng hạn) và cho sự phóng đại Lĩnh vực quang học vật lý-lý thuyết nhiễu xạ nói chung-cung cấp những công cụ mô tả sự suy biến ảnh do (1) sóng ánh sáng tự nhiên và (2) quang sai của các hệ thống quang học được thiết kế và chế tạo không hoàn chỉnh Vì vậy, tiếp theo chúng ta sẽ trình bày ngắn gọn những điểm quan trọng của quang học vật lý Để giải quyết vấn đề phân tích hệ thống quang học chi tiết hơn, độc giả nên tham khảo thêm tài liệu về quang học

15.2.1 Cơ sở của hệ thống quang học

Hình 15-1 cho thấy môt hệ thống quang học bao gồm một thấu kính đơn giản Một nguồn điểm tại gốc của mặt phẳng trung tâm tạo ra một ảnh điểm tại gốc của mặt phẳng ảnh Ảnh được tạo ra bởi một nguồn điểm gọi là hàm tán xạ điểm (Point Spread Function-PSF) trong thuật ngữ quang học Nó sẽ nhận kích thước nhỏ nhất có thể được nếu hệ thống là rõ ràng, tức là, nếu

f d

1 1 1



Trong đó f là tiêu cự của thấu kính Bằng cách đặt tên như thế này, mặt phẳng tiêu

là mặt phẳng trong không gian đối tượng tạo thành một ảnh rõ nét trên mặt phẳng

ảnh Thật ngữ này khác thuật ngữ màn trập mặt phẳng tiêu (focal plane shutter) dùng

trong nhiếp ảnh để mô tả lá chắn sáng đặt tại mặt phẳng phim (ảnh)

HÌNH 15-1

Hình 15-1 Một hệ thống ảnh đơn giản

Bằng trực giác, rõ ràng điều này làm tăng cường độ nguồn điểm, dẫn đến tăng tỷ

lệ cường độ ảnh điểm Nghĩa là thấu kính là một hệ thống tuyến tính hai chiều Theo

đó thì hai nguồn điểm tạo ra một ảnh trong đó hai điểm kết hợp với nhau bằng phép cộng

Nếu nguồn điểm di chuyển trục z đến vị trí (x0, y0), thì ảnh điểm di chuyển đến một vị trí mới được cho bởi

0

0 y My Mx

Trong đó

f

i d

d

Là độ phóng đại của hệ thống

Hình dạng ảnh điểm không cần thiết phải thay đổi, khi trong các hệ thống quang học được thiết kế hoàn hảo, khoảng cách trục bên phải nhỏ một cách hợp lý Vì thế,

hệ thống có thể được giả thiết là bất biến dịch (hay đồng phẳng, theo thuật ngữ

quang học), cũng như tuyến tính và PSF là đáp ứng xung của nó

15.2.1.1 Tính tuyến tính

Một vật thể chắn sáng được chiếu sáng từ phía trước (epiilluminated) hay một đối tượng hấp thụ ánh sáng được chiếu sáng từ phía sau (transilluminated) có thể được coi như nguồn điểm ánh sáng phân bố hai chiều Ảnh của một đối tượng như trên là tổng của các điểm PSF phân bố không gian Nghĩa là ảnh có thể được miêu tả như tích chập đối tượng với PSF của hệ thống quang học

Hơn nữa, có thể chỉ rõ hoàn toàn một hệ thống đồng phẳng bằng PSF hai chiều

của nó hay hàm truyền đạt quang học (optical transfer function-OTF) hai chiều của

nó Hàm truyền đạt quang học (OTF) là biến đổi Fourier hai chiều của PSF Biểu thức (2) giải thích cho việc thực hiện phép chiếu bới hệ thống quang học, mặc dù tích chập với PSF làm mất một số chi tiết vốn có trong quá trình xử lý ảnh

15.2.1.2 Bất biến dịch

Hệ thống thấu kính vật lý không phải là bất biến dịch thật sự Đặc biệt, ảnh sắc nét suy biến (PSF mở rộng chẳng hạn) như khi ta di chuyển trục, nhưng bất biến dịch là một hiện tượng dần dần Đối với một thấu kính chất lượng cao, hàm PSF, mặc dù không phải là một xung, nhưng ít nhất nó cũng khác 0 trên một phạm vi hẹp Vì bất biến dịch là một hiện tượng dần dần, nên chúng ta có thể giả thiết rằng mỗi điểm được bao quanh bới các điểm lân cận bất biến dịch Trong lĩnh vực quang học, những

điểm lân cận này được gọi là những vùng đồng phẳng Vì thế, nếu tính bất biến dịch

không là tổng thể, thì hệ thống quang học sẽ được giả thiết là bất biến dich cục bộ trên phạm vi nhỏ của PSF và tích chập vẫn có hiệu lực trong mô hình cục bộ

Thông thường, chúng ta có thể dùng, với ý nghĩa gần đúng, một hệ thống ảnh quang học là một hệ thống tuyến tính, bất biến dịch hai chiều Nếu cần thiết, chúng ta

có thể mô phỏng hệ thống với hàm PSF có tham số biến thiên không gian Mặc dù kỹ thuật này có thể giải thích cho đa số phản đồng phẳng (anisoplanatism) điển hình mà

ta bắt gặp, nhưng nó không nhất thiết phải có trong quá trình phân tích của các hệ thống thấu kính chất lượng cao

15.2.1.3 Các quan hệ cơ bản

Biểu thức (1) và (3) đem lại một tập các công thức thường dùng trong phân tích các hệ thống quang học Đặc biệt,

f i

f i d d

d d f



 

M

M f f d

fd d

f

f i

1







Và

 

M

M f f d

fd d

i

i f

1







15.2.2 Độ chiếu sáng cố kết (coherent) và không cố kết (incoherent)

Trong hình 15-1, nguồn điểm phát ra một sóng ánh sáng hình cầu Biên độ trường

E giống như một hàm thời gian và không gian có thể được viết như sau

    









































 r c t t r

a t z y x

Trong đó

2 2 2

z y x

 là bước sóng trung bình của ánh sáng, c là tốc độ ánh sáng và  (t) là pha dao

động theo thời gian Thường thì là hàm ngẫu nhiên Chú ý rằng  (t) cũng là độ rộng dải (bandwidth) của ánh sáng gần như đơn sắc Để tiện lợi, ta định nghĩa lượng sóng,

thực chất là một biến tần số, như sau





2



Và loại bỏ thành phần số mũ phức đằng trước Bây giờ biểu thức (7) trở thành

     















 ejkr e jk ct t r

A e t z y x

Trong phần này, chúng ta đã quan tâm đến sự phân bố không gian của cường độ ánh sáng trong ảnh điểm Trong thời gian này, chúng ta sẽ rút gọn e và các thành phần biến thiên thời gian ngầm định

Khi được chiếu sáng đơn sắc, đối tượng là phân bố không gian của các nguồn

điểm tại cùng tần số thời gian c/  Nếu tất cả các nguồn điểm đều có quan hệ pha ổn

định thì sự chiếu sáng được gọi là cố kết (coherent) Có thể chúng vẫn dao động ngẫu

nhiên, nhưng chúng vẫn giữ nguyên cách xử lý đồng thời, bảo toàn quan hệ pha ổn định Nói cách khác, nếu mỗi nguồn điểm thay đổi pha một cách độc lập, thì sự chiếu

sáng gọi là không cố kết (incoherent) Trong trường hợp đó, pha của mỗi nguồn điểm

thay đổi độc lập với các điểm lân cận

Trong đa số các trường hợp, mắt người hay bộ cảm nhận trung bình thời gian nào

đó thực hiện mục đích cuối cùng của ảnh Bằng cách lấy trung bình thời gian, các dao động ngẫu nhiên của  (t) được lấy giá trị trung bình

Trong chiếu sáng cố kết, vì các nguồn điểm dao động cộng hưởng nên quan hệ pha ổn định cho phép các mô hình giao thoa (interference) tích cực (constructive) và tiêu cực (destructive) cùng tồn tại giữa các ảnh điểm Có thể nhận thấy rõ những mô hình giao thoa cân bằng này là một bộ cảm nhận trung bình thời gian Vì thế, đối với

sự chiếu sáng cố kết, phép toán tích chập phải được thực hiện trên biên độ phức của các sóng điện từ

Trong chiếu sáng không cố kết, những quan hệ pha tương đối ngẫu nhiên gây ra hiện tượng giao thoa Vì thế, các ảnh điểm làm tăng thêm tính thống kê Hành động này được mô phỏng chính xác nếu tích chập được thực hiện trên cơ sở cường độ (bình phương biên độ hay năng lượng) Do đó, biên độ phức trong chiếu sáng cố kết của một hệ thống quang học là tuyến tính, trong khi cường độ ánh sáng không cố kết của hệ thống là tuyến tính

15.2.3 Các nhân tố đặc trưng cho ảnh

Hai nhân tố hạn chế đặc trưng ảnh của một hệ thống quang học là quang sai của thấu kính và các hiệu ứng nhiễu xạ Việc thiết kế thấu kính kỹ lưỡng có thể lầm giảm tối thiểu, mặc dù không thể loại trừ quang sai một cách hoàn toàn Hiệu ứng nhiễu xạ

là do bản chất sóng của ánh sáng và kích thước hữu hạn của thấu kính Bởi vì thiết bị

xử lý ảnh thường sử dụng các thiết bị quang học chất lượng cao với các mức quang sai tương đối thấp, cho nên nó thường nhiễu xạ tại những vị trí bên ngoài hạn chế về đặc trưng ảnh Trong phần tiếp theo, chúng ta bắt đầu bằng PSF của một hệ thống quang học không có quang sai (giới hạn nhiễu xạ) và chỉ ra cách giải thích quang sai Chúng ta có khả năng xác định rõ một hệ thống quang học bằng PSF giới hạn nhiễu

xạ của nó, bằng dữ liệu PSF do nhà sản xuất cung cấp, hay bằng PSF xác định qua thực nghiệm

15.3 HỆ THỐNG QUANG HỌC GIỚI HẠN NHIỄU XẠ

Vì chúng ta đã chứng tỏ rằng, với một ý nghĩa gần đúng hợp lý, mọt hệ thống quang học là một hệ thống tuyến tính bất biến dịch, chúng ta chỉ cần tìm một biểu thức biểu diễn cho PSF hay hàm truyền đạt của hệ thống Trong hình 15-1, nguồn điểm phát ra một sóng hình cầu, phần nằm trong thấu kính Hệ số khúc xạ cao của thấu kính làm sóng chậm lại Bởi vì thấu kính mỏng gần giống trục hơn so với các biên, nên các tia trục bị chậm hơn so với các tia bên ngoài Trong trường hợp lý tưởng Sự biến đổi độ mỏng cần thiết phải có để chuyển đổi sóng hình cầu mở rộng thành sóng hình cầu hội tụ về phía điểm ảnh Theo định nghĩa, một độ lệch của sóng

ra bất kỳ từ dạng hình cầu là do quang sai Vì thế, một hệ thống quang học giới hạn nhiễu xạ tạo ra một sóng ra (hình cầu, hội tụ) tương ứng với sóng vào của một nguồn điểm (hình cầu, hội tụ)

15.3.1 Hình dạng thấu kính

Đối với một thấu kính mỏng, hai mặt lồi có hệ số phóng đại nhỏ hơn so với tiêu

cự của nó, các bề mặt của thấu kính phải có dạng hình cầu để tạo ra sóng ra hình cầu

Hơn nữa, tiêu cự f của thấu kính phải được cho bởi biểu thức

  

















2 1

1 1 1 1

R R

n

trong đó n là hệ số khúc xạ của thuỷ tinh và R 1 và R 2 là bán kính mặt cầu trước và sau của thấu kính

Đối với các hệ số phóng đại không nhỏ so với f, các mặt thấu kính lồi không thích

hợp để tạo ra sóng cầu Các thấu kính trên không hội tụ các tia bên ngoài lêng một điểm trên trục z giống như chúng thực hiện trên các tia gần trục Hiện tượng này gọi

là quang sai cầu, vì nó là quang sai rút ra (không thích hợp) từ dạng hình cầu của các mặt thấu kính Các hệ thống quang học chất lượng cao thường dùng các phần tử có nhiều mặt cầu và nhiều thấu kính để tạo ra quang sai cầu

15.3.2 Ống kính và hàm con ngươi

Trong hình 15-1, ảnh điểm được tạo thành bằng cách cắt bớt sóng cầu hội tụ là PSF chính xác của hệ thống Hình 15-2 cho thấy một cách tương đương khác để tạo

ra một ảnh như vậy Ở đây, một sóng cầu hội tụ được cắt bởi một màn chắn sáng có chứa một ống kính Ống kính thể hiện sự mở rộng cho thấu kính trong hình 15-1 Những hệ thống quang học đầy đủ hơn có thể bao gồm nhiều ống kính và nhiều thấu

kính, hay các thiết bị điều chỉnh độ mở ống kính Tuy nhiên, tất cả các ống kính có

thể được hướng đến con ngươi để thực hiện một tác động tại ống kính ra của hệ

thống Trong hình 15-2, ống kính biểu diễn cho ống kính ra có hiệu lực của một hệ thống thấu kính không có quang sai bất kỳ

Phân bố không gian của hệ số truyền trên tấm chắn chứa ống kính là hàm con

ngươi (pupil function) Vì thế, đối với ống kính tròn có đường kính a đặt tại tâm của

hệ toạ độ (x a , y a), hàm con ngươi là

  















a

y x y

x

2 2

HÌNH 15-2

Hình 15-2 Sóng cầu bị cắt

Với những ống kính bình thường, hàm con ngươi giả thiết là chỉ nhận giá trị 0 và

1 Tuy nhiên, nó có khả năng thực hiện những hệ số con ngươi thay đổi bằng cách chụp ảnh hay các kỹ thuật làm lắng phim kim loại

Đối với hệ thống không có quang sai, hàm con ngươi có giá trị thực; nặt khác nó

sẽ làm nhiễu loạn dạng hình cầu của sóng ra Các hàm con ngươi mang giá trị phức được dùng để mô phỏng các hệ thống quang học có quang sai

Chừng nào mà quá trình phân tích cho phép sử dụng các hàm con ngươi tuỳ ý, thì ống kính hình tròn là quan trọng nhất trong thực tiễn

Trường E của sóng cầu hội tụ có biên độ đơn vị trong hình 15-2 có thể được viết như sau

  jkR

i i

R z y x

Dùng những quy ước đã mô tả có quan hệ với biểu thức (10) R là khoảng cách từ gốc toạ độ của mặt phẳng ảnh đến điểm (x i , y i , z i) Để xác định sự phân bố của ánh sáng lên trên mặt phẳng ảnh, chúng ta sẽ áp dụng một nguyên tắc chuyển động sóng quan trọng

15.3.3 Nguyên lý Huygens-Fresnel

Một trong những tính chất hữu ích và đáng quan tâm nhất của sự truyền sóng quang học được nói đến trong nguyên lý Huygens-Fresnel Nguyên lý này nói rõ rằng trường gây ra bởi một sóng truyền thẳng tương tự như trường gây ra bởi một số lượng vô cùng lớn các nguồn điểm thứ cấp phân bố trên toàn bộ sóng truyền thẳng

đó Trong trường hợp một sóng truyền qua một ống kính thì trường tại điểm bất kỳ sau ống kính sẽ tương tự như trường gây ra bằng cách lấp đầy ống kính bới các nguồn điểm thứ cấp có biên độ và pha thích hợp Một cách chính xác, nguyên lý

Huygens-Fresnel phát biểu rằng trường tại điểm (x i , y i) thuộc mặt phẳng ảnh được cho bởi

      

A

a a jkr

a a a i

i

r y x u j y x

1 ,

1

(Xem hình 15-3) Thành phần u a (x a , y a ) là diện tích ống kính và tích phân được lấy trên độ mở của ống kính Khoảng cách từ điểm đang xét tại (x i , y i ) đến điểm (x a ,

y a ) trong ống kính là r, trong đó  là góc giữa đường nối hai điểm trên và pháp tuyến của mặt phẳng ống kính

Với mục đích của chúng ta,  phải đủ nhỏ sao cho cos() có thể coi như là bằng 1 Chúng ta có thể mở rộng giới hạn tích phân của biểu thức (14) ra vô hạn nếu ta nhân sóng hội tụ với hàm con ngươi Điều này thực hiện phép cắt bằng cách cho diện tích tại mọi nơi trong mặt phẳng con ngươi bằng 0, ngoại trừ vùng bên trong ống kính Với những điều kiện trên, biểu thức (14) trở thành

    jkR jkr a a

a a i

i

r

e R y x p y

x











 

Khoảng cách từ điểm hội tụ tại gốc toạ độ mặt phẳng ảnh đến điểm (x a , y a) trong ống kính là

2 2 2

i a

x

Và khoảng cách từ (x a , y a ) đến (x i , y i) là

 2  2 2

i a i a

x

Trong biểu thức (15), số hạng 1/R và 1/r đều xấp xỉ bằng 1/d i Tuy nhiên, trong

các hệ số mũ số hạng R và r có hệ số k lớn và ta phải sử dụng một phép toán gần

đúng tốt hơn

15.3.4 Phép toán gần đúng Fresnel

Chúng ta có thể đưa hệ số d i ra khỏi các biểu thức (16) và (17) và viết lại chúng như sau

HÌNH 15-3

Hình 15-3 Mô tả hình học

2 2





























i a i

a i

d

y d

x d

Và

2 2

























i

a i i

a i i

d

y y d

x x d

Biểu thức chuỗi nhị thức của căn bậc hai là

1

|

|

8 2 1 1

2











Nếu chúng ta chỉ sử dụng hai số hạng đầu tiên của biểu thức, ta sẽ đưa được các xấp xỉ Fresnel vào các khoảng cách trong biểu thức (18) và (19)















































2 2

2

1 2

1 1

i a i

a i

d

y d

x d











































2 2

2

1 1

i

a i i

a i i

d

y y d

x x d

15.3.5 Hàm tán xạ điểm cố kết (Coherent Point Spread Function)

Thay thế những xấp xỉ trước đây vào biểu thức (15) ta được

   

a a i

a i i

a i jkd

i a i

a jkd

a a i

i i i

dy dx d

y y d

x x e

d

y d

x e

y x p d

j y x u

i

i

2 2

2 2

2

2

1 1

2

1 1 ,

1 ,























































































  











(23)

Sau khi khai triển các biểu thức và rút ra số hạng, ta có thể viết lại biểu thức (23) như sau

         

 













i

y x d jk i i

d j

e y x

i i i







/ 2 2

2 /

, ,

2 2

(24)

Nếu ta thay biến

i

a a i

a a

d

y y d

x x



Thì biểu thức (24) trở thành

 













, i jk d x y i a i a j x y a a

i

j y x







(26)

Bây giờ chúng ta có một kết quả rất quan trọng mà hàm tán xạ điểm (PSF) cố kết, ngoài là một hệ số phức, chỉ đơn thuần là biến đổi Fourier hai chiều của hàm con ngươi

Hệ số mũ phức trong biểu thức (26) chỉ ảnh hưởng đến pha trong mặt phẳng ảnh

và điều này thường bị các bộ cảm nhận ảnh bỏ qua Vì thế, đối với mục đích của chúng ta, số hạng trước dấu tích phân chỉ là một hằng số phức

Trong hình 15-2, nguồn điểm nằm trên trục z Trình bày trức đây có thể được thực hiện với nguồn nằm ngoài trục và nó cũng tạo ra kết quả tương tự, mặc dù đã dịch và thực hiện theo biểu thức (2) Nghĩa là, theo giả thiết của chúng ta, hệ thống quả thực

là bất biến dịch Tuy nhiên, giống như việc di chuyển điểm ảnh ra khỏi trục, các giả thiết bắt đầu bị sụp đổ Vì vậy, PSF của một hệ thống ảnh thực sự thay đổi (đối với trường hợp tồi tệ hơn) bên ngoài phạm vi đề cập Tuy nhiên, nó là cách thông thường

để xác định rõ một hệ thống ảnh bằng PSF trên trục của nó

Biểu thức (26) cho thấy sự phân bố biên độ trong mặt phẳng ảnh được tạo ra tương ứng với một nguồn điểm tại gốc mặt phẳng tiêu Các số hạng phức đằng trước dấu tích phân có liên kết độ sáng của ảnh với độ sáng của nguồn điểm và nó miêu tả những thay đổi pha trong mặt phẳng ảnh Bởi vì các bộ cảm nhận ảnh thường bỏ qua thông tin pha, vấn đề này chúng ta ít quan tâm đến ở đây Hơn nữa, toàn bộ độ sáng của ảnh được xác định rất dễ dàng bằng một vài phân tích riêng biệt, để xác định phần bức xạ nguồn bị thấu kính chặn lại Vì thế, chỉ các tham số chúng ta đang xét mới tác động đến chất lượng ảnh-đó là hình dạng PSF

Chúng ta có thể đơn giản hoá ký hiệu một cách đáng kể nếu chúng ta không kiểm tra biên độ tuyệt đối và bỏ qua các số hạng trước dấu tích phân Sau đó chúng ta có

thể viết môie quan hệ tích chập giữa đối tượng (ký hiệu o) và ảnh (ký hiệu i) như sau

       





i i

Trong đó đáp ứng xung được cho bởi

x y p d i x a d i y a 

Trong biểu thức (27), số hạng u o (x o , y o ) là sự phân bố biên độ của đối tượng và

chúng ta có thể coi việc mô phỏng như một quá trình hai bước: chiếu hình học, tiếp

theo là tích chập trong mặt phẳng ảnh với PSF Hệ số phóng đại M là âm trừ phi các

trục toạ độ trong mặt phẳng ảnh và mặt phẳng tiêu được quay 1800 Bình thường thì nó thích hợp nhất để thực hiện quá trình phân tích của chúng ta trong mặt phẳng tiêu Trong trường hợp đó, chúng ta có thể giả thiết rằng tích chập

với PSF xảy ra trong mặt phẳng tiêu và đơn thuần chỉ là thay thế d f cho d i trong biểu

thức (28) Sau đó chúng ta nhân chập PSF kết quả với đối tượng u o (x o , y o ) không

được chiếu

15.3.6 Hàm truyền đạt quang học cố kết

Hàm truyền đạt của một hệ thống quang học đơn thuần chỉ là biến đổi Fourier của đáp ứng xung trong biểu thức (28) Tuy nhiên, đây chính là biến đổi Fourier của hàm con ngươi Biến đổi một hàm hai lần chính là đem nó về dạng ban đầu, vì vậy hàm biến đổi cố kết được cho bởi

u v p d u d v

Trường hợp phổ biến của các ống kính đối xứng, việc quay 1800 không có ảnh hưởng gì Vì thế, hàm con ngươi, có thể so sánh thích đáng, là hàm truyền đạt quang học (OTF) cố kết

15.3.7 Hàm tán xạ điểm (PSF) không cố kết

Một phân bố của các nguồn điểm được miêu tả bởi biểu thức (10) là đầy đủ để mô phỏng ba tính chất chiếu sáng: đơn sắc, cố kết dải hẹp và không cố kết dải hẹp Đối với chiếu sáng đơn sắc,  (t) là hằng số Nếu ánh sáng là cố kết về không gian thì  (t)

là ngẫu nhiên, nhưng có một mối quan hệ nhất định với tất cả các điểm khác trong ảnh Trường hợp ánh sáng là không cố kết,  (t) là ngẫu nhiên tại từng điểm và độc

lập với các điểm xung quanh nó Trong trường hợp này, cường độ quan sát được tại

mỗi điểm (x i , y i) là