DE TAI TNSP TOAN

Trong chơng trình toán T.H.C.S loại baì tập về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một trong những mảng kiến thức khó mà ứng dụng khá rộng rãi, nó không những có mặt trong môn đại

Đề tài nghiệp vụ s phạm

Một số phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Nhóm : gồm các thành viên và nhiệm vụ cụ thể

1 Định nghĩa, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

2 Các bớc cơ bản tiến hành để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

II Một số bài toán thờng gặp

III Phần III: Những sai lầm thờng mắc khi tìm cực trị

C Thực nghiệm s phạm ( Lê Thị Kim Thắm )

D Kết quả thực hiện ( Lê Thị Kim Thắm )

Mục lục

A.Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ đề tài

a mở bài

1 Lí do chọn đề tài

Bài học toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, để phát huy tác dụng của bài tập toán học trớc hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Đối với một số bài toán cần tồn tại phơng pháp giải Phơng pháp có tính chất tìm

đoán nh quy lạ về quen, khái quát hoá, tơng tự hoá, tìm lời giải của bài toán

Trong thực tiễn dạy học bài tập đợc sử dụng với những dụng ý khác nhau

về phơng pháp Muốn giải bài tập nào học sinh cần có phơng pháp giải dạng bài tập đó

Trong chơng trình toán phổ thông T.H.C.S nhiều mảng kiến thức trong sách giáo khoa đề cập đến rất ít nhng trong quá trình học lại gặp rất nhiều ngay cả những học sinh nắm vững kiến thức sách giáo khoa khi gặp dạng toán này cũng lúng túng vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta, những ngời thầy đang trăn trở băn khoăn Trong chơng trình toán T.H.C.S loại baì tập về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một trong những mảng kiến thức khó mà ứng dụng khá rộng rãi, nó không những có mặt trong môn đại số mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn hình học Không chỉ ở T.H.C.S mà còn là phần quan trọng trong T.H.P.T Vì vậy dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất không những gây khó khăn cho học sinh nói chung mà ngay với học sinh giỏi nhiều bối rối, không tìm đợc phơng pháp giải trong sách giáo khoa Tuy nhiên đây cũng là mảng bài tập quyến rũ học sinh say mê môn toán và học giỏi môn toán vì thế nó đòi hỏi phải t duy, tìm tòi sáng tạo

Để giải một số bài toán cực trị cấp T.H.C.S yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản, biết biến đổi thành thạo các biểu thức đại số và sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức Thông qua bài tập này học sinh linh hoạt, sáng tạo biến đổi biết vận dụng bất đẳng thức áp dụng bài toán cực trị vào giải phơng trình, hệ phơng trình, chứng minh yếu tố hình học

Ngoài việc học sinh nắm vững kiến thức cơ bản thì học sinh còn biết

ph-ơng pháp giải với từng dạng bài tập khi đó không chỉ có học sinh giỏi mới làm

Tóm lại qua nghiên cứu kĩ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu, qua những năm dạy toán ở T.H.C.S nhất là lớp 8,9 tôi đã rút ra vài kinh nghiệm nhỏ,

đặc biệt là bài học rút ra sau năm đào tạo ở trờng s phạm, tôi mạnh dạn lấy đề tài

nghiên cứu với tựa đề là: Một ph“ ơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở T.H.C.S” Chúng ta nghiên cứu và bổ sung cho hoàn chỉnh hơn.

2 Mục đích kiến thức

Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tốt môn toán nói chung và việc giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nói riêng có đờng lối phơng pháp rõ ràng hơn Tháo gỡ cho học sinh phần nào khó khăn Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao t duy tạo thêm hứng thú cho học sinh học tập môn toán, kích thích sự đam mê tự học, tự nghiên cứu Cho học sinh thấy rằng mỗi dạng toán ta đều có cách giải và không cảm thấy bế tắc, chán nản trớc một bài toán mới

- Rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ không lệ thuộc vào những khuôn mẫu có sẵn

- Giúp bản thân giáo viên có kinh nghiệm phục vụ cho quá trình giảng dạy nâng cao chất lợng dạy và học

3 Nhiệm vụ đề tài

Đa ra một số kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cơ bản phù hợp với học sinh T.H.C.S

Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Chọn lọc hệ thống bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với phơng pháp

Cho học sinh thấy sai lầm khi làm bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

4 Phạm vi đề tài

Phát triển t duy học sinh lớp 6,7,8

Đề tài áp dụng chủ yếu học sinh lớp 8,9 tuy nhiên có một số bài tập cho học sinh lớp 7

Bài tập trong phần luyện tập, ôn tập cuối năm , cuôí kì, luyện học sinh giỏi,

luyện thi tuyển vào 10

6.Ph ơng pháp tiến hành

Giáo viên trang bị kiến thức cơ bản, học sinh phân tích vận dụng định hớng giải bài tập, sau đó kiểm tra đánh giá và thảo luận tập thể

7.Dự kiến kết quả đề tài

áp dụng đề tài sẽ tháo gỡ cho học sinh những khó khăn trong việc giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, tạo cho học sinh cơ sở niềm tin trong giải toán

B nội dung

phần I Một số phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của bất đẳng thức

I- yêu cầu

1- Với giáo viên:

- Xây dựng cơ sở lí thuyết để giải các bài toán cực trị và phơng pháp giải cho từng dạng toán

- Phân loại bài tập từ dễ đến khó

- Rèn luyện nâng cao khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức trong khi nghiên cứu

2- Với học sinh

- Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra những vớng mắc sai xót mà học sinh hay mắc phải khi làm bài tập

- Hiểu đợc bản chất các loại toán

- Nhận dạng đợc từng loại bài tập vận dụng phơng pháp hợp lí của từng dạng và giải toán

- Phát huy khả năng t duy sáng tạo trong khi giải toán, biết suy luận từ bài dễ

đến bài khó với cách giải hay hơn

II- Một số kiến thức cơ bản

1 Định nghĩa: Cho biểu thức f(x) xác định trên D

a Ta nói rằng M = Const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện sau

đồng thời đợc thoả mãn

10 .f(x)≤ M ∀x∈D

20 Tồn tại x0 ∈D sao cho f(x0) = M Kí hiệu là max f(x) = M

b Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau

10 f(x)≥ m ∀x∈D

20 Tồn tại x0 ∈D sao cho f(x0) = m Kí hiệu là Min f(x) = m

2 C¸c bíc c¬ b¶n tiÕn hµnh gi¶i to¸n cùc trÞ

A2k + ≥ ⇒m lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt ⇔ A= 0

M M

1.3 C¸c vÝ dô minh häa

VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A=x2 + 2x+ 5

VËy Min A= 4 khi x= − 1

VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B= 3x2 − 5x+ 6

Lêi gi¶i:

) 2 3

25 6

47 12

47 )

) 6

5 (

+ Nếu a≠ 1nên đặt a làm nhân tử chung nh câu B trừ trờng đặc biệt nh C

+ Nếu a< 0 nên đặt dấu “-” ra ngoài để tiện biến đổi nh C ( Với học sinh trung bình khá)

Việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất không chỉ dừng lại ở đa thức 1 biến mà

ta còn gặp nó ở ví dụ sau

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 2

Các em sẽ lúng túng khi bất chợt gặp bất phơng trình trên

Nhng nếu bài tập này đặt ở phần phơng pháp 1 thì sẽ khiến các em nghĩ đến việc

đa D và dạng

c

bx

ax2 + + bằng cách đổi biến

( )2

2

1

1 2

−

+ +

−

=

x

x x

−

x

x x

1

1 1

Đến đây học sinh dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất của D với ẩn y nh ví dụ 1 Qua

đây ta thấy sự quan trọng của việc đổi biến đa bài toán phức tạp về bài toán đơn giản

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của

5 4 4 4

=

−

0 2

0 2

y

x y

Vậy giá trị nhỏ nhất của E= − 1 khi x= − 1 và y = − 2

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của

5 10 2 4 2 )

DÊu “=” x¶y ra khi

0 1

+

− +

=

x

x x B

a

2 1 2

1+ + ≥

DÊu “=” x¶y ra khi a1 =a2 = =a n

b.Bất đẳng thức Bunhiacopski

+ Nếu a1,a2,a n ,a n và b1,b2 ,b n là 2n số tùy ý thì

2 2 1 1 2 2

2

2 1 2 2

a b

1 1

≤ Dấu “=” xảy ra khi a=b2

>

A thì A lớn nhất ⇔ A2 lớn nhất

f Chia khoảng tìm cực trị

2.3 Ví dụ minh họa

Với phơng pháp dùng bất đẳng thức côsi và Bunhiacopski

Vì A≥ 0 nên A lớn nhất khi A2 lớn nhất mà ( ) 



 − − −+

2

5 2

B= − 5 + 7 − 3

Điều kiện xác định

3

7 3

Dấu “=” xảy ra khi 3x− 5 = 7 − 3x ⇔ x= 2

Vậy giá trị lớn nhất của B là 2 khi x= 2

Trên đây là biện pháp sử dụng ngay bất đẳng thức nhng đôi khi ta cha áp dụng ngay bất đẳng thức mà ta biến đổi bất đẳng thức dới dạng khác để áp dụng bất

x

5

3 3

9 2

1 5

3

9 9 10

16 4

16

x x x x x

x ⇔ x= 2 v× x>0 vËy MinAlµ 8 khi x= 2

VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 2( 0 2 )

x B

2 1 1

x

B

x

x x

x −

−

2 2 9

9 2

z x z

y z

+

+

= 2 2 2 víi x,y,z

z y

x z

y + + ≥

2

z y

z x z

y z

y

+

+ +

+

2 2 2

2 2

VËy Min P=1 khi

x x

VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña E= x1 − 1 + x2 − 1 + + x2004 − 1

≥

− +

+

− +

1

x M

* NÕu a≥b th×

b a

1

1 ≤ víi ab≥ 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của A= 2

9 5 6

4

áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho 3 số không âm ta có

d d c

c c b

b b

+ +

+

+

= 2 2 2 2 víi a,b,c,d lµ c¸c sè d¬ng vµ a+b+c+d = 1

b T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

3

2.y

x

B= biÕt x,y tháa m·n x+y = 1 vµ x>0

c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

C«ng thøc nghiÖm vµ c«ng thøc thu gän nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai

VËy Max f(x) = 4 vµ Min f(x) = 2

Ta nhËn thÊy r»ng ph¬ng ph¸p nµy thêng ¸p dông cho c¸c bµi t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc d¹ng ph©n thøc

VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt a,b,c biÕt







= +

+

= +





= +

−

= +

1 ) (

2

b a c ab

c b

2

) 1 ( ) 2 ( 1

2

c c

c ab

c b

a

Vậy a,b là nghiệm của phơng trình

0 ) 1 ( )

- Dựa trên tính chất “đơn điệu” của đồ thị hàm số

- Từ đó suy ra cực đại và cực tiểu của đồ thị

Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng phơng pháp đồ thị

và hình học ngời ta thờng sử dụng các tính chất sau:

- Trong tất cả các đờng gấp khúc nối hai điểm A,B cho trớc thì đờng thẳng nối

AB là đờng thẳng có độ dài bé nhất

- Trong một tam giác, tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ 3

- Cho điểm M ở ngoài đờng thẳng d cho trớc khi đó độ dài kẻ từ M xuống d ngắn

hơn mọi đờng xiên kẻ từ M xuống d

- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đờng tròn thì tam giác đều có chu vi và

diện tích lớn nhất

Nếu nh một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng một phép biến đổi

nào đó có thể quy về sự kiện hình học nói trên thì ta nên dùng phơng pháp đồ

thị hình học để giải chúng Dĩ nhiên là phơng pháp này chỉ thích hợp cho các

bài toán trong nội dung của nó đã tiềm ẩn những yếu tố hình học, mà thoạt

tiên ta cha nhìn ra nó, chứ không phải bài nào cũng có thể giải bằng phơng

pháp này

Sau đây tôi sẽ trình bày bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà đối với

nó phơng pháp đồ thị và hình học sẽ tỏ rõ hiệu quả

4.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

2 2 3

-1

642-2-4

+ Với x = 3 ta có S = 4

+ Giả sử x ≠ 3 dựng ∆ABC có, ∠A= 90 0AC = 5 đơn vị độ dài, AB = x− 3 đơn

vị độ dài Trên cạnh AC ta lấy D sao cho AD =1 đơn vị độ dài dễ thấy

2 Tìm giá trị lớn nhất của

f(x,y,z) = x( 1-y) + y( 1- z) + + z( 1-x) xét trên miền

,

P = { (x,y,z), 0 ≤x≤ 1 , 0 ≤y≤ 1 , 0 ≤z≤ 1 }

đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.

Các bài toán cực trị trình bày theo hai cách

Cách 1: Trong các hình có tính chất của đề bài chỉ ra một hình thức rồi chứng

minh rằng mọi hình khác đều có giá trị ( của đại lợng phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị của đại lợng đó ở hình đã chỉ ra

Cách 2: Thay một điều kiện một đại lợng đạt cực trị ( lớn nhất hoặc nhỏ nhất)

bằng các đại lợng tơng đơng, cuối cùng dẫn đến một điều kiện mà ta xác định

II- Phân loại các bài tập và ví dụ minh họa

1.Tìm cức trị dùng bất đẳng thức trong tam giác

1.1 Kiến thức cơ bản

* Với 3 điểm bất kì A,B,C ta có

23

A

Vẽ ∆ vuông DBC lấy E là trung điểm của DC thì ∆ EBC

Cân tại E Từ E kẻ đờng thẳng song song BC ( AE//BC )

Vậy ∆ABC và ∆EBC có cùng diện tích Ta chứng minh

rằng chu vi ∆EBC nhỏ hơn chu vi ∆ABC

Đáy của tam giác cân đợc chia thành 3 đoạn bằng nhau, các đờng thẳng nối 2

điểm chia ấy với đỉnh của tam giác cân chia góc ở đỉnh thành 3 góc Chứng minh

rằng trong 3 góc ấy góc ở giữa là lớn nhất

A

B

D

C E

A O H B

Dựng I đối xứng với S qua C thì C là trung điểm SI,

mặt khác có C là trung điểm AD (gt) nên SAID là hình bình hành

Suy ra SA = DI (1)

SA // DI ⇒ ∠ASC = ∠SID *

Trong ∆ SID có DI đối diện góc ∠ISD hay ∠CDS

DS đối diện góc ∠SID

Do đó góc OBA lớn nhất khi góc COB nhỏ nhất trong

1) trong tam giác ABC có góc A không đổi tổng 2 cạnh bên AB + AC không đổi

thì tam giác cân tại A là tam giác có chu vi nhỏ nhất

2) Cho hai đờng tròn ngoài nhau ( O, R) và (O’, R') A nằm trên (O), B nằm trên

( O’) Xác định vị ttrí của A, B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất

2 Tìm cực trị dùng quan hệ giữa đờng vuông góc với đờng xiên

Gọi EFGH là hình vuông nội tiếp trong hình

vuông ABCD Tâm hai hình vuông này phải

trùng nhau tại O

Ta có S EFGH =

2

2 2 2

.FH OE OF EG

K

Vạy SEFGH nhỏ nhất khi OE nhỏ nhất Gọi K là trung điểm AB ta có OE ≥OK ( tính chất đờng xiên và đờng vuông góc)

Dấu “=” xảy ra khi E ≡ K

Vậy diện tích EFGH nhỏ nhất khi E,F,G,H là trung điểm các cạnh của hình vuông ABCD

Bài 1: Cho đờng tròn(O), điểm A nằm trong đờng tròn và không trùng O , dựng

B thuộc đờng tròn sao cho ∠ OBA có số đo lớn nhất

Bài 2: Cho ∆ABC Qua A dựng dờng thẳng d cắt cạnh BC của ∆ABC sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến D có giá trị nhỏ nhất

3 Tìm cực trị vận dụng bất dẳng thức trong đờng tròn

3.1 Kiến thức cơ sở

- Trong 1 đờng tròn đờng kính là dây cung lớn nhất

- Dây cung lớn hơn tơng đơng dây đó gần cung hơn

- Cung lớn hơn tơng đơng dây trờng cung lớn hơn

Ví dụ 1:

Cho ∆ ABC đều nội tiếp đờng tròn bán kính R Một điểm M chạy trên cung nhỏ

AB Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ M đến A và B không lớn hơn đờng kính của đờng tròn

Lời giải

Vì M thuộc cung nhỏ AB

nên góc CAM > góc ACM

Trong ∆AMC có ∠CAM > ∠ACM nên

AM < MC Lấy D ∈ MC sao cho MD = MA

Do đó ∆MDA cân tại M

Mặt khác có ∠AMC = ∠ ABC = 600 ( 2 góc

nội tiếp cùng chắn cung AC) Vậy ∆MDA đều

suy ra AM = AD và ∠MAD = 600hay ∠A1 + ∠A2 = 600 ( 1 )

Cho đờng tròn ( O ) và một điểm M nằm trong đờng tròn đó ( M ≠ O ), xác định

vị trí của dây cung AB của đờng ( O ) qua M sao cho độ dài AB ngắn nhất

C M

A

B

M’

A,B,không vuông góc với OM.

Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, đờng thẳng d không giao với đờng tròn Dựng

điểm M thuộc d sao cho tia MA, MB cắt đờng tròn ở D,E và DE nhỏ nhất

4.Tìm cực trị dùng bất đẳng thức đại số

4.1 Kiến thức bổ sung

+ Bất đẳng thức CauChy cho 2 số không âm

+ Bất đẳng thức Bu nhi a cops ki

+ Một số bất đẳng thức quen thuộc khác

Vẽ cát tuyến ADE qua O

xét ∆ABE và ∆ACD có góc A chung

∠AEB = ∠ACD

( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD)

Do đó ∆ ABE đồng dạng ∆ADC

d C B

⇔KH.KA = KB.KC

áp dụng Bất đẳng thức côsi ta có

KB.KC ≤

4 4

2 2

BC KC

C

Dấu “=” sảy ra khi KB = KC ⇔ ∆ABC cân tại A Vậy giá trị lớn nhất KH.KA

Cho đờng tròn (O,R) dựng đờng tròn (O,,R,) sao cho O nằm trên (O,,R,) Dây

AB của đờng tròn (O) di động và tiếp xúc với đờng tròn ( O,) tại C Xác định vị trí của dây AB để tổng AC2+ BC2 đạt giá trị lớn nhất

Phần IIINhững sai lầm thờng gặp khi tìm cực trị

1 Sai lầm thờng gặp khi vận bất đẳng thức rất phổ biến

+ Điều kiện tồn tại bất đẳng thức

+ Dấu bằng của BĐT không xảy ra với giá trị tìm đợc

2

1)2- 4

5

≥ 4

-5 (1)Vì B ≤ 5 nên - B ≥ (- 5) (2)

−

Học sinh sai lầm ở chỗ với x = y =

1 2

1 4

1 4

2 Sai lầm trong việc lập luận

Ví dụ:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A =

17 6

1

2 − x+

x

Lời giải sai

Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất

Học sinh mắc sai lầm cha đa ra nhận xét tử và mẫu là các số dơng

Ví dụ:

Xét B = 1 với lập luận nh trên

3 Sai lầm khi khảo sát gián tiếp không tìm điều kiện của ẩn phụ

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất

7

≥ +

Dấu “=” xảy ra khi T− = 0 ⇔

2

1

T 2

Học sinh sai lầm là không tìm điều kiện của T ≥ 2 thì không xảy ra dấu “=”

Vài chú ý khi giải bài toán cực trị

1- Khi giải các bài toán cực trị ta thờng biến đổi tơng đơng điều kiện của đại ợng này thành điều kiện cực trị của đại lợng khác