hot,toan

x xVậy phương trình có nghiệm là x = 2 *Khai thác bài toán: Ta đã sử dụng căn thức và tính đồng biến của hàm số y= x để giải bài toán.. *Khai thác bài toán:Bằng cách nhóm biểu thức dưới

CHƯƠNG IV

CHỦ ĐIỂM 1: CĂN SỐ - CĂN SỐ SỐ HỌC:

k B là các hằng số) Vì vậy ta sẽ nhóm để đưa biểu thức dưới dấu căn

về dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu hoặc một tổng Từ đó

ta tính giá trị nhỏ nhất của vế trái và giải phương trình Ta có lời giải sau:

x x

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2

*Khai thác bài toán:

Ta đã sử dụng căn thức (và tính đồng biến của hàm số y= x) để giải bài toán Tương tự ta có thể giải bài toán sau:

*Lời giải:

2

Phương trình đã cho tương đương với:

2 2 2

x x x

2 2 2

*Khai thác bài toán:

Ta đã sử dụng căn thức (và tính đồng biến của hàm số y= x) để giải bài toán Tương tự ta có thể giải bài toán sau:

x neu x

2

y neu x y xy

C

x neu x y xy

*Khai thác bài toán:

Tương tự ta có thể giải bài toán sau:

*Khai thác bài toán:

Ta có thể giải các bài toán sau:

Bài toán 3.2:

Giải phương trình:

2 8 16 1

Đây là dạng toán liên quan đến căn số

Ta dựa vào đặc điểm của biểu thức dưới dấu căn để nhóm thành biểu thức đơn giản hơn phục vụ cho việc giải toán

Biểu thức dưới các dấu căn có thể nhóm thành bình phương của tổng (hiệu) nên ta có lời giải sau:

*Lời giải:

Phương trình tương đương với:

( )2

2 1

4 2 1

2

x x

x x x

Ta có thể giải các bài toán sau:

Giải phương trình:

a

2

9 6 6

3

x x x

*Khai thác bài toán:

Bằng phương pháp tương tự ta có thể giải bài toán sau:

Tính: 2 3 2 3

CHỦ ĐIỂM 2: BIẾN ĐỔI VÔ TỈ - NHÂN TỬ LIÊN HỢP

Bài toán 1.1: Tính các biểu thức:

B = 2 x − 2 x2 − + 1 2 x + 2 x2 − 1 với x ≥ 1

C = 1 − 1 − x2 + 1 + 1 − x2 với − ≤ ≤ 1 x 1

*Phân tích:

10

Ta có thể phân tích biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu.

*Khai thác bài toán:

Ta có thể xử lý căn tầng bằng cách nhóm các bình phương nói chung

là thường dùng để làm gọn các biểu thức vô tỉ Với chú ý như vậy, ta có thể giải các bài toán sau:

Ta có thể phân tích biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu Từ đó ta có lời giải sau:

*Khai thác bài toán:

Bằng phương pháp tương tự giải bài toán sau:

Tính biểu thức: A = 5 − 3 − 29 12 5 −

B = 3 − 1 + 21 6 12 −

b.A = 4 2 3 − + 4 2 3 +

*Phân tích:

*Khai thác bài toán:

Bằng cách nhóm biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu ta có thể làm gọn các biểu thức vô tỉ Với chú ý như vậy ta có thể giải các bài toán sau:

1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43 = ….

= 21 1

2 + (sau n bước)

Giải bài toán sau: 29 1

1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43 = ….

= 13 1

2 + (sau n bước)

Bài toán 2.2: Giải phương trình

Vế trái của phương trình ta có thể phân tích để thoát ra khỏi dấu căn

từ trong ra Từ đó ta có lời giải sau:

Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình.

*Khai thác bài toán:

Giải các bài toán tương tự sau:

Các mẫu số là tổng các căn mà biểu thức dưới dấu căn hơn kém nhau 4 đơn vị vì vậy ta có thể nghĩ tới việc khử căn ở mẫu bằng cách nhân với biểu thức liên hợp.

−

= +

−

= +

+ − −

= + + −

Cộng vế với vế của các biểu thức ta có:

*Khai thác bài toán:

Bằng phương pháp tương tự giải các bài toán sau:

20

x = là nghiệm của phương trình.

*Khai thác bài toán:

Bằng phương pháp tương tự , giải các bài toán sau:

a a

*Khai thác bài toán:

Bằng phương pháp tương tự , giải các bài toán sau:

3 3

Ta thấy các hạng tử không thể rút gọn được Để rút gọn biểu thức ta

cần phân tích tìm ra mẫu số chung, quy đồng các phân thức để có thể

tính toán nhanh gọn Từ đó ta có lời giải sau:

*Khai thác bài toán:

Bằng phương pháp tương tự , giải các bài toán sau:

BÌNH LUẬN VỀ CĂN SỐ

Từ thời xa xưa người ta đã thấy giữa hình học và đại số có mối liên quan mật thiết Khái niệm căn bặc hai cũng có phần xuất phát từ hình học Khi biết độ dài cạnh hình vuông ta tính được diện tích hình đó bằng các bình phương hay nâng lên lũy thừa bậc hai độ dài ngược lại nếu biết được diện tích hình vuông ta tìm được độ dài cạnh của nó nhờ khai phương số đo diện tích Người ta coi phép lấy căn bậc hai số học là phép toán ngược của phép bình phương và coi việc tìm căn một số là tìm cái gốc cái nguồn Điều này hiện còn thấy trong ngôn ngữ một số nước chẳng hạn ở tiếng anh từ square có nghĩa là hình vuông và cũng có nghĩa

là bình phương từ root là căn bậc hai

Kí hiệu căn bậc hai được nhà toán học Đức Rudolff dùng đầu tiên năm 1525 dưới dạng V ( gần giống chữ latinh và trong từ radix có nghĩa

là căn )

Đến năm 1673 nhà toán học pháp đề các mới đưa thêm gạch ngang

trên biểu thức lấy căn chẳng hạn a

Căn bậc hai của số không âm đã được giới thiệu ở lớp 7 như sau căn bậc hai của một sô không âm a là số x sao cho x.x = a và được sử dụng ở cả lớp 7 và lớp 8 < qua tính toán giá trị của biểu thức giải

phương trình và áp dụng định lý pitago

Học sinh đã phần nào biết thêm về căn bậc hai số học trong

chương trình lớp 7 đó là : " số dương a có đúng hai căn bậc hai là 2 số đối nhau số dương kí hiệu a và số âm kí hiệu là − a

Số 0 có đúng một căn bậc hai đó là chính nó Ta thấy rằng căn số học ( tức là giá trị không âm của căn bậc hai ) tuy được định nghĩa lần đầu song không hoàn toàn mới với học sinh điểm mới ở đây là đưa ra chú ý

Kỹ thuật tìm căn bậc hai bằng máy tính bỏ túi được như đã được quen phần nào đối với học sinh từ lớp 7 Ở lớp 9 kỹ thuật này chỉ coi là nhắc lại qua thực hành

28

Qua đây ta có thể trả lời qua câu hỏi phép toán ngược của phép bình phương là phép toán nào ? Đó chính là phép lấy căn bậc hai

Tính chất về mối liên hệ giữa phép khai phương với quan hệ thứ tự được phát triển trên kết quả so sánh căn bậc hai của các số thực dương ở lớp 7 và được nêu ở mục 2 " so sánh các căn bậc hai số học " tính chất này không những là cơ sở cho giải toán so sánh các số thông qua so sánh căn bậc hai số học của chúng ( và ngược lại ) mà còn là cở sở cho giải toán về bất đẳng thức bất phương trình chứa căn bậc hai

Qua đây ta cũng cần phải phân biệt cho học sinh 1 cách rõ ràng với số a không âm ta có thể có một hoặc hai căn bậc hai (đó là a và -

a) nhưng chỉ có một căn bậc hai số học đó là a

Cần chú ý phép tương ứng mỗi số a không âm với căn bậc hai số học của nó thực chất cho ta một hàm số xác định trên tập hợp số thực không âm

Trên một tập hợp có quan hệ thứ tự và có cả hai phép toán thì vấn đề đặt ra là xem xét giữa chúng có quan hệ gì đặc biệt không ? định lý với hai số thực không âm a và b , ta có a b < ⇔ a < b cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và quan hệ nhỏ hơn Các định lý về mối quan hệ giữa phép cộng với thứ tự nêu ở chương trình lớp 8

Rèn cho học sinh kỹ năng thực hiện xác định của A và có kỹ năng thực hiện công thức đó khi biểu thức A không phức tạp < bậc nhất phân thức mà tử của mẫu là bậc nhất còn mẫu hay tử còn lại là hằng số hoặc

bậc nhất hoặc bậc hai qua đó biết vận dụng hằng đẳng thức A A = A như là một phép biến đổi cơ bản của căn thức bậc hai giúp cho qua trình rút gọn biểu thức cả về sau

Phép chứng minh đinh lý liên hệ giữa các phép toán và phép khai phương vừa củng cố thêm hiểu biết về căn bậc hai số học vừa rèn luyện suy luận trong lĩnh vực đại số

Khi công nghệ kỹ thuật phát triển thì người ta mới có thể dùng máy tính để khai phương nhưng trước đó thì con người phải tìm ra một công cụ tiện lợi để khai phương khi không có máy tính và con người đã tìm ra bảng căn bậc hai

Để tìm căn bậc hai của một số dương người ta có thể sử dụng bảng tính sẵn các căn bâc hai , trong cuốn " bảng số với bốn chữ số thập phân

" của V.MBra-đi - xơ bảng căn bậc hai là bảng IV dùng để khai căn bậc hai của bất kỳ số dương nào có nhiều nhất 4 chữ số

Cách sử dụng bảng căn bậc hai có hai mức độ tra bảng để tìm trực tiếp căn bậc hai số học của số > 1 và < 100 , tra bảng để tìm căn bậc hai

số học của số dương < 1 và > 100 \

Ngoài định nghĩa về căn bậc hai ta còn có các định nghĩa về căn bậc

ba là " căn bậc 3 của một số a là số x sao cho x x x a =

Lưu ý : căn bậc 3 của số dương là số dương

căn bậc 3 của số âm là số âm

căn bậc 3 của số 0 là số 0

30

a ( 2 − 3 2 )( + 3 ) = 1

b ( 2006 − 2005 ) và ( 2006 + 2005 )là 2số nghịch đảo của nhau

Bài 11: Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3) của các căn thức sau:

a ( 2)2

4 1 6 + x + 9 x tại x = − 2

34

a

a a

b B Xác định giá trị của Q khi a = 3 b

Bài 21: Rút gọn các biểu thức sau:

a a ab a b ; a 0 ; b 0

b + + b a > >

b

2 2

Vì Q là trường nên tổng, hiệu,tích các số hữu tỉ.mặt khác tổng của một

số hữu tỉ với một số vô tỉ là số vô tỉ , do đó ta có lời giả sau:

C.Khai thác bài toán

Vậy f( )x chia hết cho x-1

C.khai thác bài toán

40

Bài toán 2.3

Cho đa thức với hệ số nguyên f( )x Chứng minh rằng nếu f( )a và f(a+1) là các số nguyên lẻ (a Z∈ ) thì f( )x không thể có nghiệm nguyên

A.phân tích

Xuất phát từ nhận xét một số nguyên lẻ chỉ có thể là tích của các số

nguyên lẻ.và hai số nguyên liên tiếp không thể có cùng tính chẵn ,lẻ, nên ta có lời giải sau

B.Lời Giải

Giả sử f( )x có nghiệm nguyên c

Theo định lý Bơdu ta có f( )x = − (x c g) ( )x trong đó g( )x là đa thức với hệ

Do đó f( )x không thể có nghiệm nguyên

C.Khai thác bài toán

Bài toán 1:

Cho đa thức với hệ số nguyên f( )x Chứng minh rằng nếu f(2 )k và f(2k+1)

là các số nguyên lẻ, (a Z∈ ) thì f( )x không thể có nghiệm nguyên

Bài toán 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Nếu chú ý tới phương pháp nhóm các hạng tử ta có thể giải một số bài toán tương tự sau:

Bài 1:Phân tích đa thức

 Khai thác bài toán

Nếu chú ý tới phương pháp nhóm các hạng tử ta có thể giải một số bài toán tương tự sau:

Bài 1:Phân tích đa thức

 Lời giải

 Khai thác bài toán

Nếu chú ý tới phương pháp nhóm các hạng tử ta có thể giải một số bài toán tương tự sau:

46

 Bài 1:Phân tích đa thức

 Lời giải

 Khai thác bài toán

Nếu chú ý tới phương pháp nhóm các hạng tử ta có thể giải một số bài toán tương tự sau:

48

lượng chủ yếu là dựa vào sự phân tích số hạng tự do và các số hạng chứa

ẩn bậc thấp.Để ý rằng 14 = 2.7 và 7-2 =5 Từ đó ta có lời giải sau:

 Khai thác bài toán

Bằng phương pháp tách hạng tử ( chủ yếu là căn cứ vào hạng tử tự do

và hạng tử bậc thấp) ta có thể giải các bài toán tương tự sau:

Phân tích đa thức thành nhân tử

2 2

Bài toán 5.1 :Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

• Ta thấy ở phương trình (2) thì: -21x=-2x-19x & 38= 19.2

• Ta thấy ở phương trình (3) thì: -28 =-14 2 &

 Khai thác bài toán

Tương tự như cách giải bài toán trên ta có một số bài toán tương tự sau:

t x

 Khai thác bài toán

Bằng cách đặt ẩn phụ ta có thể giải bài toán tương tư sau:

52

2 2

2 2 2

2 2

2

2

x y t

 Khai thác bài toán

Bằng cách đặt ẩn phụ ta có thể giải bài toán tương tư sau:

Bài 1:Phân tích đa thức thành nhân tử:

( 1)

2 (1

Ta có bài toán sau:

3 Khai thác bài toán:

- Bằng cách phát hiện ra các hằng đẳng thức có mặt ở hai vế của

phương trình ta có thể giải phương trình một cách dễ dàng Tương tự, ta

có thể đề xuất các phương trình sau

Bài tập khai thác bài toán số 6:

Bài toán 6.1: Tìm số tự nhiên m biết m+25 và m – 24 đều là các số

3 Khai thác bài toán:

Tương tự giả thiết m + 25 và m – 24 là các số chính phương ta có thể để xuất bài toán sau:

*Bài toán 6.2: Tìm số chính phương có 2 chữ số biết rằng nếu cộng

thêm 1 vào các chữ số của nó ta cũng được một số chính phương

⇔ − − ab 10a b= + Từ giả thiết ta có:

(a 1)(b 1) 10a b 11+ + = + + Sau đó ta lập hiệu 2 bình phương của hai số

đó để tìm a và b từ đó ta có lời giải sau:

2 Lời giải:

- Giả sử số chính phương có hai chữ số là : ab x= 2

- Cộng thêm 1 vào các chữ số của nó ta cũng được một số chính

phương nên ta có: (a 1)(b 1) y+ + = 2 với x, y∈ Ν

y x (y x)(y x) 10a b 11 10a b

3 Khai thác bài toán:

Bằng cách giải tương tự ta có thể đề xuất bài toán sau:

Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng nếu cộng thêm 1 vào tất cả các chữ số của số đó, ta cũng được một số chính phương

Ta biết nếu A B > C thì < ⇒ - < 0 Mặt khác nếu A ≤0, B ≤0,

C ≤0, D ≤0 thì A + B + C + D = 0 Từ đó ta có lời giải sau

Bước 2:Lời giải

= + + +

Bước 3:Khai thác bài toán

Bài toán 1:cho

Tìm x , y, x, t ,v

Bài toán 2: Cho

Tìm x,y,z,t,v,u,q,p

Thì

Bước 1:Phân tích

Ta biết nếu A B > C thì < ⇒ - < 0 Mặt khác nếu A ≤0, B ≤0,

C ≤0, D ≤0 thì A + B + C + D = 0 Từ đó ta có lời giải sau

Bước 2:Lời giải

+

62

Ta có thể tính các nhân tử của từng vế rồi so sánh chúng với nhau.từ dó

ta có lời giải sau

64

Bước 2: Lời giải

Vậy ta có đpcm

Bước 3; Khai thác bài toán

Đưa ra bài toán tương tự

Bước 3:Khai thác bài toán

Đưa ra bài toán tương tự

Bài toán 1;

66

Nếu mẫu thức có dạng nếu ta nhóm các hạng tử 1 cách thích hợp

Từ đó ta có lời giải sau

Bước 2: lời giải

N = = = =

Bước 3:Khai thác bài toán

Bài toán 1:Rút gọn biểu thức

Áp dụng đẳng thức

để rút gọn biểu thức

Từ đó ta có lời giải sau:

Bước 2:Lời giải

Bước 3:Khai thác bài toán

Bài toán 1:Rút gọn biểu thức

x x

x x x

Với x < 1

6 3 x+ + 1 3 3x+ = 1 3 x− 1

* Bài tập cho học sinh khá giỏi:

1.Giải và biện luận phương trình: 2 2

a, 3 2x2 + − 1 3 3x2 − ≥ 1 0

b, 18 2x− − 3 9 2 4 ( x− 3) (x− 2) ≥ 2 x− 2

2 Giải và biện luận theo m BPT: 3 x+ 3 m x− ≥ 2

3 Giải và biện luận theo a BPT: 2 x a− < 2ax x− − 2 2

2 Vẽ đồ thị hàm số: ( ) 2

2 2

2 1 1 1

x

y g x

x x

74

3 5− 3+ 29 12 5− và 1

VII Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

1 A a= 13 a 3

1 1 6 3

3 2 3

3

b b b B

* Bình luận, đề xuất, kiến nghị:

Các bài tập trong SGK và SBT là những bài tập rất cơ bản được sắp xếp theo thứ tự từng lớp, từng cấp bậc, phù hợp với trình độ của đại đa số học sinh các vùng miền Các bài tập được tăng theo mức độ khó dần, đòi hỏi các em học sinh không chỉ nắm vững lí thuyết trên lớp mới làm được

mà cần phải tư duy, linh hoạt, sáng tạo trong mọi trường hợp có thể xảy ra

76

của bài toán để giải các bài toán một cách chắc chắn, đặc biệt là các bài tập trong sách nâng cao dành cho các em học sinh giỏi.