Chứng tỏ số ababab là bội của 3... Chứng tỏ số ababab là bội của 3.
Trang 1UBND TX PHÚ THỌ
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 6
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 2.0 điểm)
a) Cho ababab là số có sáu chữ số Chứng tỏ số ababab là bội của 3 b) Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004 Chứng minh S chia hết cho
126 và chia hết cho 65.
Bài 2 : (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết :
a) x +(x+1)+(x+2)+…+(x +2010)=2029099
b) 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2x = 210
Bài 3: (2,0 điểm)
Tìm ba số nguyên tố a; b; c khác nhau sao cho: abc < ab + bc + ca.
Bài 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.
a) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì
2
CB CA
CM = +
b) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì
2
CB CA
CM = −
.
Bài 5: (2,0 điểm) Chứng tỏ rằng số:A=0,3 1983( 1983−19171917) là một số nguyên.
Trang 2UBND TX PHÚ THỌ
PHÒNG GD&ĐT
HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 6
Bà
Bài 1: ( 2.0 điểm)
a) Choababab là số có sáu chữ số Chứng tỏ số ababab là bội của 3
b) Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004 Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65
a) ababab= ab.10000 + ab.100 + ab= 10101ab 0,50
Do 10101 chia hết cho 3 nên abababchia hết cho 3 hay ababablà bội
b) Có: 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53)
= 5 126 + 52.126+ 53.126
⇒ 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126
0,25
S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + … + 51998(5 + 52
+ 53 + 54 + 55 + 56)
Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126 0,25 Có: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5 130
S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52000(5 + 52 + 53 + 54 )
Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130 0,25
Bài 2 : (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết :
a) x +(x+1)+(x+2)+…+(x +2010)=2029099
b) 2+4+6+8+…+2x =210
a) x +(x+1)+(x+2)+…+(x +2010)=2029099
2
2011 2010
2
2011 2010
- 2029099
b) 2+4+6+8+…+2x =210
2
) 1 (
Bài 3: (2,0 điểm) Tìm ba số nguyên tố a; b; c khác nhau sao cho abc < ab + bc + ca.
Chia 2 vế của BĐT abc < ab + bc + ac cho số dương abc được
1 <
b a c
1 1 1
+ + (1) Giả sử a>b>c ≥ 2
Trong 3 phân số thì
c
1
lớn nhất nên
c
1
>
3
1 → c < 3 Vậy c = 2.
0.5
Trang 3Thay c = 2 vào (1) được
2
1 1 1
>
+
b
a (2) Trong 2 phân số
a
1
;
b
1
phân số
b
1
lớn hơn nên
b
1
>
2
1
: 2 =
4
1
do đó b < 4 mà b> c = 2 vậy b = 3
0.5
thay b= 3 vào (2) được
a
1
>
6
1
do đó a< 6 mà a> b = 3 và a là số nguyên tố Vậy a = 5
0.5
Vậy các số nguyên tố a; b; c phải tìm là 2; 3; 5 và hoán vị của chúng 0.5
Bài 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.
a) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì
2
CB CA
CM = + b) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì
2
CB CA
CM = −
a)
Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì
2
CB CA
CM = +
⇒
2
CB CA
0,25 b)
Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì
2
CB CA
CM = −
.
⇒
2
CB CA
0,25
Bài 5: (2,0 điểm) Chứng tỏ rằng số: A=0,3 1983( 1983−19171917) là một số nguyên
Ta có:
1983 k = 1980 3+ k = 10q+3 k
4 1
1983 k+ =10p+3
4 2
1983 k+ =10l+9
4 4
1983 k+ =10s+7
0,5
Ta lại có:
4
1917 k =10a+1
4 1
1917 k+ =10b+7
4 2
1917 k+ =10c+9
4 3
1917 k+ =10d+3
0.5
Vậy A=0,3 1983( 1983−19171917) là một số nguyên 0.25