Nếu vận tốc ô tô chạy nhanh giảm đi một nửa vận tốc ban đầu thì hai xe sẽ gặp nhau sau khi khởi hành 2 giờ 48 phút.Tìm vận tốc của mỗi xe... Một bè nứa trôi tự do trôi theo vận tốc dòng
Trang 1CĂN THỨC
I Phần bài tập ôn kiến thức cơ bản
Bài 1: Tính (Rút gọn)
1) ( 3 − 2 2 )2 + ( 3 + 2 2 )2 2) ( 5 − 2 6 )2 - ( 5 + 2 6 )2
3) 5 + 2 6 - 5 − 2 6 4) 49 − 5 96 - 49 + 5 96
−
+
−
+
15 2
3
3 1 3
2
5 3
1 +
7) 7 − 2 10 - 7 + 2 10
Đáp số: 1) 6 2) -4 6 3) 2 2 4) -4 6 5) 6 6) 7) -2 2
Bài 2: Rút gọn (Biểu thức có chứa chữ)
1)
+
+
−
−
−
+
a
a a a
a
a
2
2 1
1
+
+
−
+
−
−
a
a a a
a a
1 2 2 1
3)
b a
b a b
a
ab
b
a
+
−
−
−
−
4) ( )( )( )
( a b ) ( a a )
b a ab a a
+
−
+
− +
3 1
5) ( ) ( )
a
a a
2
1
3
+
+
−
− +
b a
b b a a
7)
2 1
1 1
1
−
−
+
−
−
a
a a
a
a
a
8)
a a a a a a
a
− +
+
+
2
1 : 1
Đáp số: 1) 1- a với 0< a≠1 2) 4 - a với 0< a≠1 3) 0 với a≥0; b≥0, a≠b
4)
a
a với a>0; b≥0, a≠b 5) -5 với a≥0 6) 1 với a ≥ 0; b≥0, a≠b 7) 1 với 0< a ≠1 8) a - 1 với 0< a ≠ 1
Bài 3:Tính (sau khi rút gọn nếu được)
A = 1 − 6 a + 9 a2 +3a, với a = B = 10a2 - 4 a +4, với a =
5
2
+
2 5
−
−
+ +
1 1
1
a a a
+ +
1
1 1
a a
+ a 1 a
1
2
:
+
1
2 2
a với a = 2
F = a2 + 2 a2 − 1 - a2− 2 a2− 1 khi a =
E =
8 2 4
2 2
−
x
x
x
-
8 2 4
2 2
+
x x
x
khi x = 3
Đáp số: A = 3 B = 25 C = với a>1
D = với -1< a<1 E = 3 − 2 2 - 3 + 2 2 F = 2
Bài 4: Cho A = 3 + 2 2 + 3 − 2 2 và B = 3 + 2 2 - 3 − 2 2
Tính A +B , A - B và A B
Đáp số: A+B = 2 ( 2+1) A-B = 2 ( 2-1) A B = 4
II Phần bài tập tổng hợp (Dạng bài tập thường có trong các đề thi vào lớp 10)
Bài 5: Cho biểu thức M =
3 2
11
−
−
−
x x
1) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa
2) Rút gọn M
Trang 23) Tính M nếu x = 23-12
4) Tính x để M = x-5
Đáp số: 1) 2 ≤ x ≠11 2) M = +3 3) M = ( +2) 4) x = 6
−
−
−
− +
−
1
1 1 : 1
1 3
x
x x
x
1) Rút gọn biểu thức M
2) Tìm các giá trị của x khi M >5
3) Tính giá trị của biểu thức M khi x = 12 + 140
Đáp số: 1) với x≠1 2) < x < 0 3) M =
5 7
2 1
+
−
Bài 7: Cho biểu thức M = 1:
−
+
− + +
+ +
−
+
1
1 1
1 1
2
x
x x
x
x x
x x
1) Rút gọn biểu thức M
2) Chứng minh M >3 với mọi giá trị của x >0 và x≠1
Đáp số: 1) M =
x
x
2) Chứng minh M-3 >0
+ +
+
−
−
−
−
+
1
4 1
: 1
1 1
1 2
x x
x x
1) Rút gọn M
2) Tìm giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên
Đáp số: 1)
3
−
=
x
x
M với 0 ≤ x ≠1; x ≠9 2) x ∈{0; 4; 16; 36 }
Bài 9: Cho biểu thức
a
a a a a
a
1
+
− +
+
−
=
1) Rút gọn biểu thức M
2) Tìm giá trị của a để giá trị của M >2
Đáp số: 1) M =
1
1
−
+
a
a
với 0 < a ≠1 2) 1 < a < 3
Bài 10: Cho biểu thức
−
−
+
− +
+
−
−
−
+
−
=
2
2 1
2 2
1 :
1
1
a a
a a
a a
a a
a M
1) Rút gọn biểu thức M
2) Tìm a để M >-1
Đáp số: 1)
1
2
−
−
−
=
a
a
M với 0 < a ≠1 2) 1 < a ≠4
Bài 11: Cho biểu thức
−
−
− +
+
+
−
+ +
−
=
1
3 3 1
2 : 1 9
3
x x
x x x
x x x
x M
1)Rút gọn biểu thức M
2)Tìm x để M <1
3)Tìm giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên
Đáp số: 1)
3
1
−
+
=
x
x
M với x >0; x ≠9; x ≠1 2) 0 < x <9
x ≠1 3) x ∈{4; 16; 25; 49}
Bài12: Cho biểu thức
+ +
−
−
−
−
−
−
=
1
1 1
2 2 : 1
9
a a
a a
a
a a
a
a M
1) Rút gọn biểu thức M
2) Tìm giá trị nguyên của a để M nguyên
3) Tìm a để M >1
Trang 3Đáp số: 1)
1
3
−
−
=
a
a
M , với 0 < a ≠1 2) a = 4; a = 0; a = 9 3) 0 ≤ a < 1
+
−
− + + +
=
x xy
y xy
y
x xy
y x xy
y x
M : với x >0 và y >0
1) Rút gọn biểu thức M
2) Tính giá trị của biểu thức M khi x = 7+2 6; y = 7-2 6
Đáp số: 1)
xy
y x
2)
5
6 4
−
=
M
Bài 14: Cho biểu thức
−
−
−
−
−
−
− +
−
−
−
+
=
1
1 1
3 :
1
8 1
1 1
1
x x
x x x
x x
x x
x M
1) Rút gọn biểu thức M
2) Tính giá trị của M biết x = 7 - 4 3
3) Chứng minh rằng M ≤ 1
Đáp số: 1)
4
4 +
=
x
x
M , 0 ≤ x ≠1 2)
3 4 11
3 4 8
−
−
=
M 3) Hướng dẫn: Chứng minh M -1 ≤ 0
Bài 15: Cho
1 2
1 1
2
1
−
−
+
− +
=
x x x
x M
1) Rút gọn biểu thức M Tìm x để M =
2) Tính M biết x = 5+2
Đáp số: 1)
x
x 1
2 + khi x >0
; x = 3 khi -1 < x < 0 2)
3 2 5
3 2 6 2 +
+
=
M
Bài 16: Cho biểu thức
2 2
1 1
1 1 1
1 1
1
1
x x
x x
x x
x x
x x
x
x P
− +
−
−
−
+
−
−
−
−
−
− +
+
=
1) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa
2) Rút gọn biểu thức P
Đáp số: 1) -1 ≤ x < 1; x ≠0 2) P = -1 khi -1 ≤ x < 0
x
x2 1
1 − − khi 0 < x <1
Bài 17: Cho biểu thức M = x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 :
2
2 8 16
x
x
1) Rút gọn biểu thức M
2) Tìm các giá trị nguyên lớn hơn 8 của x để M nhận giá trị nguyên
Bài 18: Cho biểu thức M =
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
+
+
−
−
− +
− +
−
x
x x
x x
x x
1) Rút gọn biểu thức M
2) Tính giá trị của x khi M =
3) Tìm giá trị lớn nhất của M và giá trị x tương ứng
Trang 4HÀM SỐ BẬC NHẤT
I.Tóm tắt lí thuyết:
1 Định nghĩa: Hàm số y = ax + b với a ≠0 gọi là hàm số bậc nhất Xác định với mọi x∈R
2 Tính chất:
1) Hàm số đồng biến trên R khi a > 0 Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0
2) Đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng
3 Vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b: vẽ qua hai điểm
− ; 0
a
b
A và B(0; b)
4 Vị trí của hai đường thẳng:
1) Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = ax khi b ≠0
trùng với đường thẳng y = ax khi b = 0 2) Hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’
a) Cắt nhau khi và chỉ khi a≠a’
b) Song song với nhau khi và chỉ khi : a = a’ ; b≠b’
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình y = ax + b
y = a’x + b’
c) Trùng nhau khi và chỉ khi b = b’
II Bài tập:
1) Cho hàm số y = f(x) = (m2 - m)x + m +1.Tìm m để hàm số:
a) Luôn luôn đồng biến b) Đồ thị hàm số qua điểm A(1;5)
c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại P(0;4) d) Đồ thị cắt trục hoành tại Q
− ; 0 2 3
2) Tìm hệ số góc của đường thẳng y = ax + 2 trong các trường hợp sau:
a) Đường thẳng qua điểm A
− 3
3 6
; 1
b) Cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng
Đáp số: a) a =
3
3
12 +
3) Tìm hệ số góc của đường thẳng biết đường thẳng qua hai điểm A(-1; 1,5) và B(1; 2,5)
Đáp số: hsg k =
4) Tìm hàm số có đồ thị là một đường thẳng song song với đường thẳng y = x +3 và qua điểm A
; 2 2 3
Đáp số: y = x +
5) Trên cùng một hệ trục tọa độ vẽ đồ thị các hàm số y =
3
2
3 +
x
và y = x +2 Xác định tọa độ giao điểm của chúng
6) Lập phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) Đường thẳng d qua điểm A(2; -3) và có hệ số góc k = -2
b) Đường thẳng d qua hai điểm A(-1; 1) và B(2; 4)
Trang 5c) Đường thẳng d qua điểm M(-2; 5) song song với đường thẳng d’: y = 3x +3
Đáp số: a) y = -2x +1 b) y = x +2 c) y = 3x +11
7) Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y =
2 1
5 +
−
−
x
x
b) y = x + 2 + 4 − x c) y =
3
1
−
PARABOL Bài 1: Cho parabol y = ax2
1) Xác định a biết parabol qua điểm A(-2; 4) Vẽ parabol
2) Với a vừa tìm được ở trên, tìm để đường thẳng d: y = mx - 1 cắt parabol tại hai điểm phân biệt
Bài 2: Cho hai hàm số y = x2 và y = x + 1
1) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị hai hàm số đã cho
2) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
Bài 3: Cho hàm số y = 2x2, (P)
1) Tìm những điểm trên đồ thị (P) cách đều các trục tọa độ
2) Biện luận theo m số điểm chung của (P) và đường thẳng d: y = mx - 1
Bài 4: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng d: y = 2x + m Xác định m biết điểm có hoành độ bằng 1 là điểm chung của (P) và d
Bài 5: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng d: y = ax + b Xác định a, b, biết đường thẳng qua M(-1; 0) và tiếp xúc với parabol (P) Tìm tọa độ tiếp điểm
Bài 6: Cho parabol (P): y = ax2 và đường thẳng d: y = x - 1 Tìm a biết rằng (P) và d tiếp xúc nhau
Bài 7: Cho hàm số y = 2x2 + (m - 1)x + m2 - 3m - 4 Tìm m biết:
1) Điểm A(1; 2) thuộc parabol
2) Parabol tiếp xúc với trục Ox
Bài 8: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D): y = x +2
1) Trên cùng hãy vẽ (P) và (D)
2) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D)
3) Gọi M, N là giao điểm của (P) và (D) (xM > xN) M và N có hình chiếu vuông góc lên trục x’Ox lần lượt là
H và I Tính diện tích tứ giác MHNI
Đáp số: 3) S = 2,5
Bài 9 : Cho parabol (P): y =
4
2
x
− và đường thẳng (D): y = 2x +3 1) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ hai đồ thị (P) và (D)
2) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D)
Đáp số: 2) ( -6; -9), ( -2; 1)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Bài 1: Giải các hệ phương trình:
1) 12x – 5y = 63 2) x – y =
5
21
4 x −
3) 0,2x +1,5y = 7,5
8x +15y = -13 x + 3y =
14
9
15 − y
2x +13y = 0,4
Trang 65 6
4 7
7
= +
−
1 1
2
= +
+
5 3
4
= +
+
x
= +
+
3 7
5
y
1
2
1 1
+
−
1 3
+
+
x
u =
7
1
−
x u = 1
2 +
x u = 3
1
−
x
Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ 4) 5) 6)
v =
6
1 +
y v = 2
1 +
y v = 1
1 +
y
Bài 2: Cho hệ phương trình: 2x + 3y = 5
m là tham số
(m+1)x + y = 2 1) Giải hệ khi m = -2
2) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
nx - y = 5
Bài 3: 1) Tìm giá trị của tham số n để hpt có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0 và y < 0
2x + 3ny = 7
ax + b = 3
2) Tìm giá trị của tham số a để hpt có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 1 và y > 0
4x + ay = 6
Đáp số: 1) < n < 2) -2 < a <1
Bài 4: Tìm giá trị của tham số a để ba đường thẳng sau 2x + y = 5; 3x - 2y = 4 và ax + 5y = 11 đồng quy.
Đáp số: a = 3
2x + (9a2 - 2)y = 3a
Bài 5: Cho hệ phương trình:
x - y = 1 1) Giải hệ khi a = 1
2) Tìm a để hệ vô nghiệm
Đáp số: a = 0
ax - by = 2a - b
Bài 6: Cho hpt a, b, c là tham số Biết rằng x = 1; y = 3 là nghiệm Hãy tìm một hệ
(c+1)x + cy = 10 - a + 3b thức giữa b, c
Đáp số: 4c = 9 +5b
-4x + ay = 1+ a
Bài 7: Với giá trị nào của tham số a thì hpt vô nghiệm
(6 + a)x + 2y = 3 + a
5x + y = m
Bài 8: Tìm giá trị của tham số n sao cho mọi giá trị của tham số m hệ pt luôn có nghiệm
mx - y = n
mx - y = 2
Bài 9: Cho hpt Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x + y + 1 =
3 2
2 +
m m
3x + my = 5
x + ay =1
Bài 10: Cho hpt
ax - y + a = 0 1) Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi a
2) Tìm a để hệ có nghiệm (x; y) duy nhất thỏa mãn: x + y > 0
Trang 7mx + y = m + 1
Bài 11: Tìm m để hệ pt
x + my = 2 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m
mx + 2y = m + 1
Bài 12: Cho hpt
2x + my = 2m + 5 1) Giải hệ với m = 1
2) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m
(a +1)x - ay = 5
Bài 13: Cho hpt Tìm a nguyên để hệ có nghiệm (x; y) nguyên
x + ay = a2 + 4a
Bài 14: Tìm các giá trị của a và b để đường thẳng d: ax + by = 1 qua hai điểm A(-2; 1) và B(3; -2)
Đáp số: a = -3 và b =-5
(m + 3)x - y = 12m + 3n -1
Bài 15: Tìm giá trị của m và n sao cho cặp số (2; 3) là nghiệm của hpt
(2m - 1)x + ny =4
Đáp số: m = ; n =
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I, ĐỊNH LÝ VI-ET VÀ ÁP DỤNG
1) Cho phương trình: x - 6(m - 1) x + 9(m - 3) = 0
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn x + x = x.x
2) Cho phương trình : x - 2(2m +1)x + m +2 = 0
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn : 3x.x - 5(x + x) + 7 = 0
Đáp số : a) m = ; b) m = 2
3) Cho phương trình : x - 2( m -1 )x + 2m - 4 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x +x
Đáp số : a) ∆ =(m- 2 ) +1 ≥ 1 ; b) P ≥ - 6
4) Cho phương trình : x + 5x + 2 = 0 Gọi x , x là nghiệm của phương trình Hãy tính giá trị của biểu thức
a) x +x b) x + x3 c) x + x
d) x x + x x e) f) +
Đáp số : a) 21 ; b) - 45 ; c) 433; d) - 20 ; e) ; f)
5) Cho phương trình : x + 3x + 2 = 0 có các nghiệm x , x Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm là
x +x và x + x3
Đáp số : x + 4x - 45 = 0
6) Cho phương trình x - mx + m - 1 = 0
a) Tìm m để tổng bình phương các nghiệm nhỏ nhất
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
7) Cho phương trình (m+1)x - (m - 1)x + 2m = 0 ( m ≠ - 1) có hai nghiệm x và x Tìm một hệ thức liên hệ
giữa x , x độc lập đối với m
Đáp số : x + x - x.x +1 = 0
8) Cho phương trình x - (m+3)x - 2m + 2 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn :
3x + 2 x = 8
Đáp số : m = 0 ; m = 1
x + x - x.x +1 = 0
9) Cho hai số x , x thỏa mãn , với m ≠ 2
mx x - ( x + x ) = 2m +1
a) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x , x
b) Tìm m để phương trình tìm được trong a) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm dương
Đáp số: a) ( m - 2) x - 2(m+1)x + 2m + 1 = 0 b) < m < 2
10) Cho phương trình x - 10x - m = 0 , m ≠ 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m ≠ 0
b) Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình đã cho là nghịch đảo của các nghiệm của phương trình:
m x + 10x - 1 = 0 (2)
Hướng dẫn: a) Vì a và c trái dấu b) Gọi nghiệm của (1) là x thì thỏa mãn (2)
11) Cho phương trình ( m - 1) x - 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số
Trang 8a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m khác 1.
b) Xác định m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn hệ thức : + + = 0
Đáp số : a) ∆’ = 1 >0 d) m = ±
12) Cho phương trình bậc hai : x - 2(m +1)x + 2m + 5 = 0 (với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
b) Tìm m sao cho hai nghiệm x , x của phương trình thỏa mãn hệ thức: A = 10x.x + x +x đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó
Hướng dẫn: b) A = 4 ( m +3) + 8 ≥ 8 Vậy minA = 8 khi m = - 3
13) Tìm m để phương trình : x - mx + m + 1 = 0 có nghiệm x , x thỏa mãn: x x +2 ( x + x ) - 19 = 0
14) Cho phương trình : x - 2(m -1)x + m - 3 = 0 (với m là tham số )
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m
b) Xác định giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm trái dấu bằng nhau về giá trị tuyệt đối
15) Cho phương trình: 2x + (2m - 1)x + m - 1 = 0 Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm
trái dấu trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
16) Cho phương trình : x - 2(m +1)x + 4m - 3 = 0 Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
trong đó nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
II, MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
1) Giải các phương trình sau:
a) x - 10 x + 9 = 0 b) x - 13 x + 36 = 0 c) x - 29 x + 100 = 0
2) Giải các phương trình :
a)
3
9
5
,
0
+
+
x
x
=
1 3
2
−
+
x
x
-
1 9
3 8 2
2
−
+
x
x
b)
1
18 7 1
13 1
30
3 2
+
= + +
−
x x
x x
c)
3 3
4 10 1
3 5 6 6
2 9
2
2
20
2
2
+
−
− +
−
=
−
+ +
−
−
+
x
x x
x x
x x x
x
d)
1
16 1
6 1
36
2
2
+
−
=
−
+ +
−
+
x x
x x x
x x
x
2
4 2
1 4
2
2 2
+
− +
−
−
x x x
20 2
3
2 1
8 4
5
2 2
2
2 − − x − = x − x + − x + x +
x
h)
6
1 4
1 3
1 1
1 7
1 5
1 2
1
1
+
+ +
+ +
+ +
= +
+ +
+ +
+
x x
x x
x x
x
x
3) Giải các phương trình :
a) + = 8 b) x - 3x + = 7 c) 3x + 15x + 2 = 1
d) x + = 21 e) x + = 72 g) 2 = x + 1
Đáp số: c) S =
6
229 15
; 6
229 15
d) S = { − 3 2 ; 3 2 }
e) S =
− + 2
58 1
g) S =
2
5 1
; 2
5 1
; 1
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Các bài toán về diện tích
Bài 1 Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều rộng thêm 3m và chiều dài thêm 2m thì diện tích tăng thêm
100m Nếu giảm cả chiều dài lẫn chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m tính diện tích thửa ruộng đó
Bài 2 Vườn trường hình chữ nhật có diện tích 600m Tính các kích thước của vườn, biết giảm bớt mỗi kích
thước 4m thì diện tích còn lại 416m
Bài 3 Tìm ba cạnh của một tam giác vuông biết chu vi 12m và diện tích là 6m
Bài 4 Một tam giác đều ABC có cạnh bằng 9cm Trên cạnh AB lấy một điểm M và cạnh AC lấy điểm N sao cho
BM = AN = x Tìm x để diện tích AMN bằng diện tích tam giác ABC
Dạng 2: Các bài toán về chuyển động
Bài 5 Hai ô tô khởi hành cùng một lúc tại hai địa điểm A và B và đi ngược lại nhau Sau khi khởi hành được hai
giờ thì hai xe gặp nhau cách trung điểm AB là 15 km Nếu vận tốc ô tô chạy nhanh giảm đi một nửa vận tốc ban đầu thì hai xe sẽ gặp nhau sau khi khởi hành 2 giờ 48 phút.Tìm vận tốc của mỗi xe
Trang 9Bài 6 Hai địa điểm A,B cách nhau 171km Một xe gắn máy khởi hành từ A đến B với vận tốc nhất định.Sau khi
khởi hành 2 giờ, nghỉ 30 phút rồi lại tiếp tục đi tới B và vận tốc tăng 7km/h.Tới B nghỉ giờ rồi quay về A và vận tốc tăng thêm 1km nữa thời gian đi và về kể cả nghỉ hết 10 giờ 30 phút Tính vận tốc ban đầu của xe gắn máy
Bài 7 Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 24km Khi trở về vì bị ngược gió nên vận tốc
bị giảm đi 4km/h và thời gian di chuyển về A lâu hơn thời gian đi đếnB là 1 giờ.Tính vận tốc của người đi xe đạp
Bài 8 Trên quãng đường nối hai tỉnh A và B có hai người chuyển động đều: người thứ nhất xuất phát từ A bằng ô
tô đến B rồi quay trở lại A ngay Người thứ hai xuất phát từ B bằng xe đạp đến A rồi quay trở lại B ngay Họ khởi hành cùng một lúc lượt đi gặp nhau tại địa điểm I, lượt về gặp nhau tại địa điểm K.Biết AB bằng 120km, IB bằng 50km Tính quãng đường AK
Bài 9 Ba ca nô cùng rời bến sông A một lúc để đến bến sông B Ca nô thứ hai mỗi giờ đi kém ca nô thứ nhất 3km
nhưng hơn ca nô thứ ba là 3km nên đến B sau ca nô thứ nhất 2 giờ , nhưng trước ca nô thứ ba là 3 giờ Tính chiều dài quãng song AB
Bài 10 Một bè nứa trôi tự do ( trôi theo vận tốc dòng nước) và một ca nô đồng thời rời bến A để xuôi dòng
sông.Ca nô xuôi dòng được 96 km thì quay ngay trở lại A.Cả đi lẫn về hết 14 giờ Trên đường quay về A khi còn cách A là 24 km thì ca nô gặp chiếc bè nứa nói trên Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước
Dạng 3: Các bài toán về công việc làm và vòi nước chảy.
Bài 11 Hai đội làm đường được phân công sửa một đoạn đường Nếu đội thứ nhất làm một nửa đoạn đường, sau
đó để đội hai làm tiếp cho đến lúc xong thì thời gian tổng cộng là 8 giờ Nếu cả hai đội cùng làm chung thì trong 3 giờ làm xong đoạn đường Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu mới sửa xong đoạn đường?
Bài 12 Một hợp kim đồng và kẽm trong đó có 5 kg kẽm nếu thêm 15 kg kẽm vào hợp kim này ta được một hợp
kim mới Kết quả là trong hợp kim mới lượng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30% Tìm khối lượng ban đầu của hợp kim
Bài 13 Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày được cánh đồng trong 15 giờ Nếu máy thứ
nhất làm một mình trong 12 giờ, máy thứ hai làm trong 20 giờ thì cả hai sẽ cày được 20% cánh đồng Hỏi nếu mỗi máy làm việc riêng thì có thể cày xong cánh đồng trong bao lâu ?
Bài 14 Một bể nước được lắp hai chiếc vòi: vòi thứ nhất cho nước chảy vào bể, vòi thứ hai tháo nước ra khỏi bể.
khi bể cạn, nếu cả hai vòi cùng chảy thì sau a giờ sẽ đầy nước Hỏi khi đóng vòi thứ hai thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể trong bao lâu, biết rằng thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể ít hơn thời gian để vòi thứ hai tháo hết nước trong bể là h giờ
Bài 15 Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót vào bình kia thì
hoặc bình thứ ba đầy nước còn bình thứ hai chỉ được tới thể tích của nó, hoặc bình thứ hai đầy nước còn bình thứ ba chỉ đuợc tới thể tích của nó Hãy xác định thể tích của mỗi bình
Bài 16 Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 3 giờ 36 phút Nếu người thứ nhất làm công việc
rồi để người thứ hai làm tiếp thì thì tổng số giờ làm là 7 giờ.Hỏi một mình làm xong công việc thì mỗi người phải làm trong bao lâu ?
Bài 17 Ba ô tô chở 118 tấn hàng tổng cộng hết 50 chuyến Số chuyến xe thứ nhất chở gấp rưỡi số chuyến xe thứ
hai Mỗi chuyến xe thứ nhất chở 2 tấn, xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn Hỏi mỗi ô tô chở mấy chuyến
Bài 18 Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần lễ Do mỗi tuần trồng vượt mức 5 ha so với
kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn một tuần.Hỏi mỗi tuần lễ lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?
Bài 19 Ba vòi nước A,B,C được bắt vào cùng một bể chứa Các vòi chảy được một lượng nước bằng thể tích của
bể chứa theo thời gian chảy ghi trong các trường hợp sau:
a) Vòi A: 2 giờ và vòi B: 1 giờ 30 phút
b) Vòi A: 1 giờ và vòi B: 4 giờ
c) Vòi B: 2 giờ và vòi C: 2 giờ Tính thời gian để riêng mỗi vòi chảy được một lượng nước bằng thể của bể
Dạng 4: Các bài toán về cấu tạo số
Bài 20 Đem một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nó thì được 405 Nếu lấy số được viết bởi hai chữ
số ấy nhưng theo thứ tự ngược lại rồi nhân với tổng các chữ số của nó thì được 486.Hãy tìm số có hai chữ số đó
Bài 21 Tìm một số có hai chữ số, cho biết tổng hai chữ số đó bằng 8 và nếu đổi chỗ hai chữ số ấy cho nhau thì
được số lớn hơn số đã cho 36 đơn vị
Bài 22 Tìm một số có hai chữ số, nếu chia số đó cho tổng hai chữ số thì thương là 7 Nếu cộng tích hai chữ số
với 16 thì được số đảo lại
Một số dạng khác.
Bài 23 Khoảng cách xa nhất của một máy thu hình có thể tiếp nhận sóng của đài truyền hình bằng độ dài tiếp
tuyến xuất phát từ đỉnh của tháp ăng ten vô tuyến truyền hình đến mặt đất Muốn truyền sóng xa đến 200 km,thì tháp truyền hình phải cao bao nhiêu ? ( Bán kính Trái đất R≈ 6367 km)
Trang 10Bài 24 Có hai hộp đựng bi, nếu lấy từ hộp thứ nhất ra một số bi bằng số bi trong hộp thứ hai rồi bỏ vào hộp thứ
hai, rồi lại lấy từ hộp thứ hai một số bi bằng bằng số bi còn lại trong hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ nhất, cuối cùng lấy từ hộp thứ nhất ra một số bi bằng số bi còn lại trong hộp thứ hai và bỏ vào hộp thứ hai.Đến đây số bi trong mỗi hộp là 16 viên Hỏi lúc đầu mỗi hộp có bao nhiêu viên bi ?
Bài 25 Một phòng họp có 100 người, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế Nếu có thêm 44 người thì phải kê
thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải bố trí thêm 2 người nữa Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế ?
Bài 26 Số đường chéo của một đa giác lồi là 230.Tính số cạnh của đa giác này.
Bài 27 Hai, Ba và Tư mỗi người có một số vở Nếu Tư đưa cho Hai 1 quyển thì số vở của Tư gấp đôi số vở của
Hai Nếu Hai đưa cho Tư 3 quyển thì số vở của Tư gấp 4 lần số vở của Hai Tìm số vở của mỗi người , biết rằng
số vở của Ba bằng tất cả số vở của 3 người
Bài 28 Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô Người ta nhận thấy rằng nếu mỗi xe chỉ chở 22 học
sinh thì còn thừa 1 học sinh Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ô tô và có bao nhiêu học sinh đi tham quan, biết rằng mỗi ô tô chỉ chở được không quá 32 học sinh
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN THI PHẦN HÌNH HỌC Bài 1 Cho đường tròn tâm O, bán kính R; S là điểm cố định ngoài đường tròn, từ S vẽ các tiếp tuyến SI,SJ và cát
tuyến bất kỳ SAB đến đường tròn (O)
1) Chứng minh rằng SA.SB = SI = OS - R và có nhận xét gì khi cát tuyến SAB quay quanh S
2) Tia phân giác của góc AIB cắt AB tại C cắt cung AB tại D.Chứng minh rằng SC = SI, tìm tâm đường tròn(CIJ)
3) Trường hợp đặc biệt: OS = 2R:
a) Tính SC theo R b) Nói rõ cách dựng cát tuyến SAB sao cho có độ dài dây AB là R
Bài 2 Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng theo thứ tự ấy với E là trung điểm AB, gọi ( O ) là đường tròn tâm O di
động nhưng luôn luôn đi qua A và B
1)Tìm tập hợp các tâm O
2) Đường trung trực của AB cắt (O) tại I, J, CI; CJ cắt (O) theo thứ tự tại M và N Chứng tỏ IN và JM cắt nhau tại điểm D nằm trên đường thẳng AB, các tiếp tuyến tại M và N của (O) cắt nhau tại trung điểm của đoạn CD
3) Chứng tỏ: EA.EB = EI.EJ = EC.ED
4) Chứng tỏ M và N di động trên một số đường cố định khi tâm O di động
Bài 3 Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R; Ax là tia di động quanh A và cắt nửa đường tròn tại C.
1) Trên nửa đường thẳng Cx lấy đoạn CD = CB Chứng tỏ tập hợp các điểm Dlà nửa đường tròn có đường kính BK và tâm I; K và I là hai điểm mà ta xác định rõ; tính BK theo R
2) Trên nửa đường thẳng Ax lấy AE = CB Chứng tỏ tập hợp các điểm E là nửa đường tròn đường kính AK
3) Tính diện tích phần chung của hai nửa hình tròn đường kính AB và AK theo R
Bài 4 Cho tam giác ABC có cạnh BC = 6 cm, góc B = 600, góc A = 75, ba đường cao là AD,BE, CF
1) Chứng tỏ BCEF nội tiếp trong đường tròn có tâm O
2) Tính các góc của tam giác DEF
3) Chứng tỏ chiều dài AD = 3 ( 3 - ) cm, suy ra chiều dài AB, AC