SANG KIEN KINH NGHIEM TOAN 9

Trong quá trình giảng dạy thực tế một số năm học, tôi đã phát hiện ra còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh45% cha thực sự hiểu kỹ về

Mục lục

Phần Một: Mở đầu

Phần hai : Giải quyết vấn đề

1 Phân tích những điểm khó và mới trong kiến thức về căn bậc hai 10

2 Những sai lầm thờng gặp khi giải toán về căn bậc hai 11

3 Tìm hiểu những phơng pháp giải toán về căn bậc hai 17

Phần Một: Mở đầu

Muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nớc thì phải nhanh chóng tiếp thu khoa học

và kỹ thuật hiện đại của thế giới Do sự phát triển nh vũ bão của khoa học và kỹ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng Cái mà hôm nay còn là mới ngày mai

đã trở thành lạc hậu Nhà trờng không thể nào luôn luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật đợc Điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức khi cần thiết trong tơng lai

Sự phát triển của nền kinh tế thị trờng, sự xuất hiện nền kinh tế tri thức trong tơng lai

đòi hỏi ngời lao động phải thực sự năng động, sáng tạo và có những phẩm chất thích hợp

để bơn chải vơn lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt này Việc thu thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở lên dễ dàng nhờ các phơng tiện truyền thông tuyên truyền, máy tính, mạng internet v.v Do đó, vấn đề quan trọng đói với con ngời hay một cộng đồng không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là xử lý thông tin để tìm ra giải pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng nh của xã hội

Nh vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trớc đây nặng về việc truyền thụ kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt động cho học sinh (HS) Để

đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng bộ các thành tố của quá trình dạy học về mục tiêu, nội dung, phơng pháp, hình thức tổ chức, phơng tiện, cách kiểm tra đánh giá

- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THCS đã đợc mở rộng, các kiến thức và kỹ năng

đ-ợc hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu :

+ Năng lực hành động

+ Năng lực thích ứng

+ Năng lực cùng chung sống và làm việc

+ Năng lực tự khẳng định mình

Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm năng lực chính là "Năng lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng lực tự khẳng định mình" vì kiến thức và kỹ năng

là một trong những thành tố của năng lực HS

Trong quá trình giảng dạy thực tế một số năm học, tôi đã phát hiện ra còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh(45%) cha thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai hay có

sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn, giúp các em tránh đợc sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có mọi sự am hiểu vững chắc về lợng kiến thức căn bậc hai

II - Mục đích nghiên cứu :

- Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích nh sau :

+ Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến một phơng pháp dạy học tích cực rất

dễ thực hiện

+ Giúp giáo viên toán THCS nói chung và giáo viên (GV) dạy toán 9 THCS nói riêng

có thêm thông tin về PPDH tích cực này nhằm giúp họ dễ dàng phân tích để đa ra biện pháp tối u khi áp dụng phơng pháp vào dạy học và trong sáng kiến này cũng tạo cơ sở để các GV khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn

+ Qua sáng kiến này tôi muốn đa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chơng căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp GV toán 9 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú

ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ t duy lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con ngời học sinh

+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm để làm luận cứ cho phơng pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo

III - Phạm vi nghiên cứu :

Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh thờng mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chơng I - Đại số 9

Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy đợc những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác

Từ đó định hớng cho học sinh phơng pháp giải bài toán về căn bậc hai

IV - Đối tợng nghiên cứu :

Học sinh lớp 9 Trờng THCS Tích Sơn với tổng số 108 học sinh

V - Phơng pháp nghiên cứu :

- Đọc sách, tham khảo tài liệu

- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp

- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm

- Thông qua học tập Bồi dỡng thờng xuyên các chu kỳ

Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh nghiệm của tr-ờng trong những năm học trớc và vốn kinh nghiệm của bản thân đã rút ra đợc một số vấn

đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến

Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề mà học sinh mắc phải Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dới các hình thức khác nhau, bớc đầu tôi đã nắm đợc các sai lầm mà học sinh thờng mắc phải khi giải bài tập Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm cơ bản

Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng những phơng pháp sau :

- Quan sát trực tiếp các đối tợng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó

- Điều tra toàn diện các đối tợng học sinh trong 3 lớp 9 của khối 9 với tổng số 108 học sinh để thống kê học lực của học sinh Tìm hiểu tâm lý của các em khi học môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan đến căn bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm )

- Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện trình độ nhận thức,

ph-ơng pháp và chất lợng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lợng giáo dục

- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả bài kiểm tra tôi đã đa vấn đề này ra hớng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác nhau nh hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh đợc những sai lầm trong khi giải bài tập Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh

- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh thờng mắc phải khi giải toán Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp theo

Phần Hai : Giải quyết vấn đề

I Cơ sở khoa học

1.Cơ sở lý luận

* Quan điểm về đổi mới phơng pháp dạy học và phơng pháp dạy học tích cực :

a Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học :

Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của ngời học; bồi dỡng cho ngời học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vơn lên"

Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động

và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng t cách

và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao

động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc"; Chơng trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trởng Bộ giáo dục

và Đào tạo cũng đã nêu : "Phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học

sinh; phù hợp với đặc trng môn học, đặc điểm đối tợng học sinh, điều kiện của từng đối t-ợng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dỡng cho học sinh phơng pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,

đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho HS"

- Quan điểm dạy học : là những định hớng tổng thể cho các hành động phơng pháp, trong đó có sự kết hợp giữa các nguyên tắc dạy học làm nền tảng, những cơ sở lý thuyết của lý luận dạy học, những điều kiện dạy học và tổ chức cũng nh những định hớng về vai trò của GV và HS trong quá trình dạy học Quan điểm dạy học là những định hớng mang tính chiến lợc, cơng lĩnh, là mô hình lý thuyết của PPDH Những quan điểm dạy học cơ bản : dạy học giải thích minh hoạ, dạy học gắn với kinh nghiệm, dạy học kế thừa, dạy học

định hớng HS, dạy học định hớng hành động, giao tiếp; dạy học nghiên cứu, dạy học khám phá, dạy học mở

b Phơng pháp dạy học tích cực:

Việc thực hiện đổi mới chơng trình giáo dục phổ thông đòi hỏi phải đổi mới đồng bộ

từ mục tiêu, nội dung, phơng pháp, phơng tiện dạy học đến cách thức đánh giá kết quả dạy học, trong đó khâu đột phá là đổi mới PPDH

Mục đích của việc đổi mới PPDH ở trờng phổ thông là thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo PPDH tích cực nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập Làm cho "Học" là quá trình kiến tạo;

HS tìm tòi, khám phá, phát hiện luện tập khai thác và sử lý thông tin… HS tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất Tổ hoạt động nhận thức cho HS, dạy HS cách tìm ra chân lý Chú trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác…) dạy phơng pháp

và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học Học để đáp ứng những yêu cầu của cuộc sống hiện tại và tơng lai Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho bản thân HS và cho sự phát triển xã hội

PPDH tích cực đợc dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không hoạt động, thụ động PPDH tích cực hớng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thức của HS, nghĩa là hớng vào phát huy tính tích cực, chủ động của ngời học chứ không chỉ hớng vào phát huy tính tích cực của ngời dạy

Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy Cách dạy quyết định cách học, tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của HS cũng ảnh hởng đến cách dạy của thầy Mặt khác, cũng có trờng hợp HS mong muốn đợc học theo PPDH tích cực nhng GV cha đáp ứng đợc Do vậy, GV cần phải đợc bồi dỡng, phải kiên trì cách dạy theo PPDH tích cực, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho HS Trong đổi mới phơng pháp phải có sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì mới có kết quả PPDH tích cực hàm chứa cả phơng pháp dạy và phơng pháp học

* Đặc trng của phơng pháp dạy học tích cực :

a) Dạy học tăng cờng phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo thông qua

tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh

b) Dạy học chú trọng rèn phơng pháp và phát huy năng lực tự học của HS

c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác

d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh giá

e) Tăng cờng khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện thực tế

về cơ sở vật chất, về đội ngũ GV

Căn cứ vào mục tiêu của ngành giáo dục “Đào tạo con ngời phát triển toàn diện” căn

cứ vào nhiệm vụ năm học 2006 - 2007 và nhiệm vụ đầu năm học 2007 -2008 là tiếp tục

đổi mới chơng trình SGK, nội dung phơng pháp giáo dục ở tất cả các bậc học, cấp học, ngành học Xây dựng đội ngũ giáo viên, cán bộ quản lý giáo dục có đủ phẩm chất giáo

dục chính trị, đạo đức, đủ về số lợng, đồng bộ về cơ cấu, chuẩn hoá về trình độ đào tạo… Nhằm nâng cao chất lợng giáo dục

2 Cơ sở thực tiễn.

2.1 Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hớng dẫn học sinh giải toán Đại

số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học

Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh cha linh hoạt Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự t duy thì học sinh không xác định đợc

ph-ơng hớng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm đợc bài

Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn rất yếu

Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chơng I đại số 9 thì ngời thầy phải nắm đợc các khuyết điểm mà học sinh thờng mắc phải, từ đó có phơng

án “ Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai”

2.2 Chơng “Căn bậc hai, căn bậc ba” có hai nội dung chủ yếu là phép khai phơng (phép tìm căn bậc hai số học của một số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai Giới thiệu một số hiểu biết về căn bậc ba, căn thức bậc hai và bảng căn bậc hai

2.3 Cách trình bày và đa ra định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai ở chơng trình SGK cũ năm học 2004-2005 :

a) Nhắc lại một số tính chất của luỹ thừa bậc hai :

- Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm

- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau có bình phơng bằng nhau và ngợc lại nếu hai số có bình phơng bằng nhau thì chúng bằng nhau hoặc đối nhau

- Với hai số a,b >0 : Nếu a>b thì a2 > b2 và ngợc lại nếu a2 > b2 thì a >b

- Bình phơng của một tích (hoặc một thơng) bằng tích (hoặc thơng) các bình phơng các thừa số (hoặc bình phơng số bị chia với bình phơng số chia)

b) Căn bậc hai của một số :

* Xét bài toán : Cho số thực a Hãy tìm số thực x sao cho x2 = a Ta thấy :

- Nếu a< 0 thì không tồn tại số thực x nào thoả mãn x2 =a

- Nếu a > 0 có hai số thực x mà x2=a, một số thực dơng x1>0 mà x1 =a và một số thực

âm x2<0 mà x2 =a, hơn nữa đó là hai số đối nhau

* Công nhận : Ngời ta chứng minh đợc rằng với mọi số thực a ≥ 0 luôn luôn tồn tại duy nhất số thực x≥ 0 mà x2 =a Ta ký hiệu x = a và gọi là căn bậc hai số học của a

* Từ đó đa ra định nghĩa : căn bậc hai số học (CBHSH) của một số a ≥ 0 là số không

âm x = a≥ 0 có bình phơng bằng a :







=

=

≥

⇔

=

a a x

x a

) ( 0

* Đa ra chú ý : a) Số − a<0, số đối của CBHSH acủa a (a>0) đợc gọi là căn bậc hai âm của a Nh vậy mỗi số thực a> 0 có 2 căn bậc hai là hai số đối nhau :

0

>

a gọi là CBHSH hay còn gọi là căn bậc hai dơng của a

0

<

− a gọi là căn bậc hai âm của a

2.4 Cách trình bày căn bậc hai ở lớp 9 (SGK mới) :

a) Đa ra kiến thức đã biết ở lớp 7 :

- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2=a

- Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : số dơng kí hiệu là a và số âm

kí hiệu là - a

- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0= 0

b) Đa ra định nghĩa : Với số dơng a, số ađợc gọi là căn bậc hai số học của a Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0

c) Đa ra chú ý : Với a≥ 0, ta có :

Nếu x= a thì x ≥ 0 và x2 =a;

Nếu x ≥ 0 và x2 =a thì x= a Ta viết :





=

≥

⇔

=

.

, 0

2 a x

x a x

d) Đa ra nội dung về phép khai phơng : Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không

âm gọi là phép khai phơng

e) Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định đợc các căn bậc hai bậc hai của nó

a Kiến thức :

Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phơng (phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai

* Nội dung của phép khai phơng gồm :

- Giới thiệu phép khai phơng (thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số không âm)

- Liên hệ của phép khai phơng với phép bình phơng (với a≥0, có ( )a 2 =a; với a bất

kỳ có a2 =|a|)

- Liên hệ phép khai phơng với quan hệ thứ tự (SGK thể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ⇔ a < b”)

- Liên hệ phép khai phơng với phép nhân và phép chia (thể hiện bởi : định lý “ Với a ≥

0, b ≥ 0, ta có : ab = a b” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có :

b

a b

a = ”)

* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các công thức sau: Với các biểu thức A,B,C ta có:

2

A = | A|

B A

AB = ( với A ≥ 0, B ≥ 0)

B

A

B

A = ( với A ≥ 0, B > 0)

B A B

A2 = | | ( với B ≥ 0 )

AB B

B

A = 1 ( với AB ≥ 0, B ≠ 0 )

B

B A

B

A = ( với và B > 0)

2

) (

B A

B A C B

A

C

−

=

±

 (với A≥ 0, A ≠ B2)

B A

B A C B

A

C

−

=

±

) (  ( với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )

* Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau và chủ yếu việc giới thiệu các phép biến đổi này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu thức (một

số phép biến đổi chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ Một số phép biến đổi gắn với trình bày tính chất phép tính khai phơng)

b Kỹ năng :

Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức

* Có thể kể các kỹ năng về tính toán nh :

- Phép khai phơng của một số (số đó có thể là số chính phơng trong khoảng từ 1 đến

400 hoặc là tích hay thơng của chúng, đặc biệt là tích hoặc thơng của số đó với số 100)

- Phối hợp kỹ năng khai phơng với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số (tính theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai phơng)

* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức nh :

- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tơng ứng với các công thức nêu ở phần trên (với công thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B thành A) Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn thức bậc hai có thể coi là vận dụng công thức AB = A B theo chiều từ phải qua trái

- Phối hợp các kỹ năng đó (và cả những kỹ năng có trong những lớp trớc) để có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai Chẳng hạn kỹ năng trục căn thức ở mẫu

Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mục đích của các phép biến đổi Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức Các ứng dụng này còn nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng (để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều kiện nào đó.)

Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng đợc hình thành và củng cố trong phần này nh :

- Giải toán so sánh số

- Giải toán tìm x

- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho

- Một số lập luận trong giải toán so sánh số (củng cố tính chất bất đẳng thức nêu ở toán 8)

- Một số kỹ năng giải toán tìm x (kể cả việc giải phơng trình tích)

- Kỹ năng tra bảng số và sử dụng máy tính

Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của phần kiến thức này (ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ năng tơng ứng và nhiều khi, chẳng hạn nh giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình thành kỹ năng)

II CÁC BIậ́N PHÁP TIấ́N HÀNH Đấ̉ GIẢI QUYấ́T VẤN Đấ

1 Phân tích những điểm khó và mới trong kiến thức về căn bậc hai :

So với chơng trình cũ thì chơng I - Đại số 9 trong chơng trình mới này có những điểm mới và khó chủ yếu sau :

a Điểm mới :

- Khái niệm số thực và căn bậc hai đã đợc giới thiệu ở lớp 7 và tiếp tục sử dụng qua một số bài tập ở lớp 8 Do đó, SGK này chỉ tập trung vào giới thiệu căn bậc hai số học và phép khai phơng

- Phép tính khai phơng và căn bậc hai số học đợc giới thiệu gọn, liên hệ giữa thứ tự và phép khai phơng đợc mô tả rõ hơn sách cũ (nhng vẫn chỉ là bổ sung phần đã nêu ở lớp 7)

- Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai trình bày nhẹ hơn (nhẹ căn cứ lý thuyết, nhẹ mức độ phức tạp của các bài tập)

- Cách trình bày phép tính khai phơng và phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai đợc phân biệt rạch ròi hơn (tên gọi các mục Đ3 và Đ4 và các chuyển ý khi giới thiệu các phép biến đổi sau khi nêu tính chất phép khai phơng thể hiện điều đó)

- Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ năng đợc SGK chú ý để HS có thể tham gia chủ động nhiều hơn thông qua hệ thống câu hỏi (? )có ngay trong phần bài học mỗi bài

b Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh :

- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chơng với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích (nh biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phơng pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn )

- Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái niệm (chẳng hạn nh căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phơng, biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức)

2.Tìm những sai lầm thờng gặp khi giải toán về căn bậc hai :

2.1/ Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học :

a) Định nghĩa về căn bậc hai :

* ở lớp 7 : - Đa ra nhận xét 32 =9; (-3)2 =9 Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9

- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 =a

- Số dơng a có đúng hai căn bậc hai, một số dơng ký hiệu là a và một số âm ký hiệu là- a

* ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đa ra định nghĩa căn bậc hai số học

b) Định nghĩa căn bậc hai số học :

Với số dơng a, số ađợc gọi là căn bậc hai số học của a

Sau đó đa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có :

Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 =a;

Nếu x ≥ 0 và x2 =a thì x = a Ta viết

x= a x2 0

x a

≥





Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phơng (gọi tắt là khai phơng)

- Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “ căn bậc hai” và"căn bậc hai số học”

Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 16

Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra đợc số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là

4 và - 4

Ví dụ 2 : Tính 16

Học sinh đến đây sẽ giải sai nh sau :

16 = 4 và - 4 có nghĩa là 16= ±4

Nh vậy học sinh đã tính ra đợc số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là :

16 =4 và 16 = -4

Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau

Lời giải đúng : 16 = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 42 = 16)

Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích

c) So sánh các căn bậc hai số học :

Với hai số a và b không âm, ta có a < b ⇔ a < b

Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4

có hai căn bậc hai là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đ a ra lời giải sai nh sau :

4 < 15 (vì cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn 15)

Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa

Lời giải đúng : 16 > 15 nên 16> 15 Vậy 4 = 16 > 15

ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học!

d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học :

với a ≥ 0, ta có :

Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 =a;

Nếu x ≥ 0 và x2 =a thì x = a

Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai nh sau :

Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 =a; vì phơng trình x2 = a có 2 nghiệm là x = a và x

=- a học sinh đã đợc giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên nh sau :

x = 15 <=> x2 = 152 => x = 225 hoặc x = -225

Vậy tìm đợc hai nghiệm là x1 =225 và x2 =-225

Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 152 Vậy x =225.

e) Sai trong thuật ngữ khai phơng :

- Học sinh hiểu ngay đợc rằng phép toán khai phơng chính là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ - 25 là một căn bậc hai âm của số

d-ơng 25, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai nh sau :

- 25= 5 và - 5

g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = | A|

∙ Căn thức bậc hai :

Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A đợc gọi

là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn

A xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm

∙ Hằng đẳng thức : A2 = | A|

Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phơng và phép bình phơng

Ví dụ 6 : Hãy bình phơng số -8 rồi khai phơng kết quả vừa tìm đợc.

Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai) :

(-8)2 = 64 , nên khai phơng số 64 lại bằng -8

Lời giải đúng : (-8)2 = 64 và 64= 8

Mối liên hệ a2 = | a| cho thấy “ Bình phơng một số, rồi khai phơng kết quả đó, cha chắc sẽ đợc số ban đầu”

Cụ thể ta có (-5)2 = 25 nhng 25= 5; rất nhiều ví dụ tơng tự đã khảng định đợc kết quả nh ở trên

2.2/ Sai lầm trong các kỹ năng tính toán :

a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :

Ví dụ 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của :

A = x + x

* Lời giải sai : A= x + x = (x+ x+

4

1) -

4

1 = ( x+

2

1 )2 ≥

-4 1

Vậy min A =

-4

1

* Phân tích sai lầm :

Sau khi chứng minh f(x) ≥

-4

1

, cha chỉ ra trờng hợp xảy ra f(x) =

-4

1

Xảy ra khi và chỉ khi x=

-2

1(vô lý)

* Lời giải đúng :