đề thi 10

Trong bài viết này, tôi đề cập đến một dạng toán tìm giá trị lớn nhất GTLN và giá trị nhỏ nhất GTNN của một biểu thức nhiều ẩn, trong đó các ẩn là nghiệm của những phương trình hoặc bất

định lí py - ta - go mang đến nhiều bài toán thú vị

Khi hỏi một bạn học sinh lớp 8 năm học 2003-2004 : “Nếu một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 thì cạnh huyền bằng bao nhiêu ?”, chắc bạn đó sẽ lúng túng Điều đó cũng dễ hiểu vì trong chương trình môn toán thì năm học 2003-2004 trở về trước, học sinh lớp 8 chưa học căn bậc hai

Nhưng nếu đặt câu hỏi đó cho một học sinh lớp 7 vào cuối

học kì I của năm học 2003-2004 thì bạn đó sẽ trả lời :

- Quá dễ ! 12 + 12 = 2, đáp số là chứ gì !

Định lí Py-ta-go và căn bậc hai trong sách giáo khoa Toán 7

mới giúp ta có thêm nhiều khả năng tiếp cận những bài toán

thú vị

1 Bài toán tính độ dài đoạn thẳng

Ví dụ 1 : Tính các độ dài x, y trên hình 1

Lời giải : áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông AHC, AHB ta có :

x2 = 162 + AH2 ; y2 = 92 + AH2 Do đó : x2 - y2 = (162+ AH2) - (92 + AH2) = 175 (1)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông BAC : x2 + y2 = (9 + 16)2 = 625 (2)

Từ (1) và (2) suy ra x2 = 400 ; y2 = 225

Do đó : x = 20 ; y = 15

Ví dụ 2 : Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 3 và 8, góc xen giữa bằng 60o Tính độ dài cạnh còn lại

Lời giải : (hình 2) Xét tam giác ABC có AB = 8 ; AC

= 3 Kẻ đường cao AH

Tam giác vuông AHB có A = 60o nên AH = AB : 2 =

8 : 2 = 4

Do AC = 3 nên C nằm giữa A và H và CH = AH - AC

= 4 - 3 = 1

Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông CHB, AHB ta có : BC2 = BH2 + CH2 = (AB2 - AH2 ) +

CH2 = 82 - 42 + 12 = 49

Vậy BC = 7

Ví dụ 3 : Tính chu vi của đường gấp khúc

ABCDEA trên hình 3

Hướng dẫn : Hãy kéo dài AB và ED cho cắt

nhau tại I Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AIE, ta tính được AE = 5, do đó chu vi đường gấp khúc ABCDEA bằng 12

2 Bài toán tính diện tích tam giác

Ví dụ 4 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1dm Số nào trong các số sau cho giá trị

sát nhất với diện tích tam giác ABC : 0,4 dm2 ; 0,5 dm2 ; 0,6 dm2 ?

Lời giải : (hình 4) Kẻ đường cao AH Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AHC

ta có : AH2 = AC2 - HC2 = 12 - 0,52 = 0,75

Giá trị sát nhất với diện tích tam giác ABC là 0,4 dm2

Hướng dẫn : Chú ý rằng 10 = 32 + 12 ; 20 = 22 + 42 ; 50 = (3 + 2)2 + (1 + 4)2

Lời giải : Vẽ thêm các điểm D, H, E như trên hình 5 Ta tính được SADB = 1,5 ; SBHC = 4 ; SBDEH = 2 ; SAEC = 12,5 Do đó : SABC = 12,5 - 1,5 - 4 - 2 = 5

Mời các bạn tự giải các bài tập sau : Bài 1 : Một tam giác vuông cân có cạnh

góc vuông bằng 2 Cạnh huyền của tam giác có giá trị sát nhất với số nào trong các số sau : 2,6 ; 2,7 ; 2,8 ; 3

Bài 2 : Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 7 và 5, góc xen

giữa bằng 60o Tính độ dài cạnh thứ ba

Bài 3 : Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 5 và 6, góc xen

giữa bằng 120o Tính độ dài cạnh thứ ba

Bài 4 (bài toán của Xem Lôi-đơ) : ở một hội chợ, người ta

quảng cáo bán một cái hồ hình tam giác và ba miếng đất hình

vuông dựng trên ba cạnh đó (hình 6) Diện tích ba miếng đất

đó bằng 74 acrơ ; 116 acrơ ; 370 acrơ (1acrơ = 4047m2)

Bảng quảng cáo không nói rõ diện tích của cái hồ làm nhiều người thắc mắc không rõ diện tích đó lớn hay nhỏ Bạn hãy tìm diện tích của hồ

Hướng dẫn : 74 = 72 + 52 ; 116 = 102 + 42

một hằng đẳng thức thú vị

Với mọi số thực a, b, c, ta có :

(a + b)(a + c) = a2 + (ab + bc + ca)

= a(a + b + c) + bc (*)

Với tôi, (*) là hằng đẳng thức rất thú vị Trước hết, từ (*) ta có ngay :

Hệ quả 1 : Nếu ab + bc + ca = 1 thì

a2 + 1 = (a + b)(a + c)

Hệ quả 2 : Nếu a + b + c = 1 thì

a + bc = (a + b)(a + c)

Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của (*) và hai hệ quả trên

Bài toán 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Hãy tính giá trị của

biểu thức :

Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có

a2 + 1 = a2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ;

b2 + 1 = b2 + (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ;

c2 + 1 = c2 + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b) Suy ra

Vì vậy A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)

= 2(ab + bc + ca) = 2

Vấn đề sẽ khó hơn khi ta hướng tới việc đánh giá các biểu thức

Bài toán 2 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn (a +b)(a +c) = 1 Chứng minh rằng :

Lời giải : a) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a(a + b + c) ; bc :

1 = (a + b)( a + c) = a(a + b + c) + bc ≥

b) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a2 ;

(ab + bc + ca)/2 ; (ab + bc + ca)/2

1 = (a + b)( a + c) = a2 + (ab + bc + ca) =

Bài toán 3 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng :

Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho

hai số dương a2 + ab ; a2 + ac :

Tương tự ta có

Từ các kết quả trên ta suy ra :

Bài toán sau đây nguyên là đề thi Châu á - Thái Bình Dương năm 2002 đã được viết lại cho đơn giản hơn (thay (1/x ; 1/y ; 1/z) bởi (a ; b ; c))

Bài toán 4 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

Lời giải : Theo hệ quả 2 và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có

Tương tự ta có

Từ các kết quả trên ta suy ra :

Để kết thúc, xin các bạn làm thêm một số bài tập :

Bài tập 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Hãy tính giá trị của biểu

thức :

Bài tập 2 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng :

Bài tập 3 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

(a + bc)(b + ca)(c + ab) ≥ 64/81(ab + bc + ca)2

một phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất và giấ trị lớn nhất

Trong bài viết này, tôi đề cập đến một dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá

trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nhiều ẩn, trong đó các ẩn là nghiệm của

những phương trình hoặc bất phương trình cho trước

Đối với dạng toán này, ta cần xác định và giải một bất phương trình một ẩn mà ẩn

đó là biểu thức cần tìm GTLN, GTNN

Bài toán 1 : Tìm GTLN và GTNN của xy biết x và y là nghiệm của phương trình

x4 + y4 - 3 = xy(1 - 2xy)

Lời giải : Ta có x4 + y4 - 3 = xy(1 - 2xy)

<=> xy + 3 = x4 + y4 + 2x2y2

<=> xy + 3 = (x2 + y2)2 (1)

Do (x2 - y2)2 ≥ 0 với mọi x, y, dễ dàng suy ra (x2 + y2)2 ≥ 4(xy)2 với mọi x, y (2)

Từ (1) và (2) ta có :

xy + 3 ≥ 4(xy)2 <=> 4t2 - t - 3 ≤ 0 (với t = xy)

<=> (t - 1)(4t + 3) ≤ 0

Vậy : t = xy đạt GTLN bằng 1

<=> x = y = ±1 ; t = xy đạt GTNN bằng

Bài toán 2 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz ≥ x + y + z + 2 Tìm GTNN

của x + y + z

Lời giải : áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương x, y, z ta có :

Vậy t = x + y + z đạt GTNN bằng 6 khi và chỉ khi x = y = z = 2

Bài toán 3 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = 9 Tìm GTLN và GTNN của A = xyz

Lời giải :

x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = 9

<=> (x2 + y2z2) + 2(y2 + x2z2) + 3x2y2z2 = 9 (1)

áp dụng bất đẳng thức m2 + n2 ≥ 2|mn| với mọi m, n ta có :

x2 + y2z2 ≥ 2|xyz| ; y2 + x2z2 ≥ 2|xyz| (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

2|xyz| + 4|xyz| + 3(xyz)2 ≤ 9

<=> 3A2 + 6|A| - 9 ≤ 0 <=> A2 + 2|A| - 3 ≤ 0

<=> (|A| - 1)(|A| + 3) ≤ 0 <=> |A| ≤ 1

<=> -1 ≤ A ≤ 1

Vậy : A đạt GTLN bằng 1

A đạt GTNN bằng -1

Bài toán 4 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2(1 - x2)

Tìm GTLN và GTNN của x2 + y2

Lời giải : Ta có x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2(1 - x2)

<=> (x2 + y2)2 - 2(x2 + y2) - 3 = -3x2 ≤ 0

=> t2 - 2t - 3 ≤ 0 (với t = x2 + y2 ≥ 0)

=> (t + 1)(t - 3) ≤ 0 => t ≤ 3

Vậy t = x2 + y2 đạt GTLN bằng 3 khi và chỉ khi x = 0 ;

Ta lại có x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2(1 - x2)

<=> (x2 + y2)2 + x2 + y2 - 3 = 3y2 ≥ 0

=> t2 + t - 3 ≥ 0 (với t = x2 + y2 ≥ 0)

Vậy t = x2 + y2 đạt GTNN bằng

khi và chỉ khi y = 0 ;

Bài tập tương tự

1) Cho x, y, z thỏa mãn :

2xyz + xy + yz + zx ≤ 1 Tìm GTLN của xyz

Đáp số : 1/8(x = y = z = 1/2)

2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn :

(x + y + z)3 + x2 + y2 + z2 + 4 = 29xyz Tìm GTNN của xyz

Đáp số : 8 (x = y = z = 2)

3) Tìm GTLN và GTNN của S = x2 + y2 biết x và y là nghiệm của phương trình : 5x2 + 8xy + 5y2 = 36

4) Cho x và y là các số thực thỏa mãn :

Tìm GTLN của x2 + y2

Đáp số : 1 (x = -1 ; y = 0)

5) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn : x2 + 4y2 + z2 = 4xy + 5x - 10y +2z - 5

Tìm GTLN và GTNN của x - 2y

Đáp số : GTLN là 4 (x =2y+4;y&1028R;z=1);GTNN là 1(x=2y+1; y&1028 R;z =1) 6) Tìm các số nguyên không âm x, y, z, t để M = x2 + y2 + 2z2 + t2 đạt GTNN, biết

rằng :

Đáp số : x = 5 ; y = 2 ; z = 4 ; t = 0 Khi đó M đạt giá trị nhỏ nhất là 61

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Sau bài “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên” của cô giáo Nguyễn Thị Lệ Huyền (TTT2 số 14), rất nhiều bạn đã bổ sung thêm các phương pháp khác hoặc minh họa

bằng nhiều bài toán khá thú vị Kì này, tòa soạn tổng hợp giới thiệu tiếp một số phương pháp từ

các bài gửi về của nhóm giáo viên Toán, trường THCS Phan Bội Châu, Hải Dương, nhà giáo

Minh Trân, phòng giáo dục Hương Thuỷ, Thừa Thiên, Huế ; Phan Tuấn Dũng, 9A, THCS Phong

Bắc, Kì Anh ; Dương Ngọc Tuyền, 9B, THCS Hoàng Xuân Hàn, Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Dương

Mạnh Linh, 9A2, THCS Lê Quý Đôn, ý Yên, Nam Định để bạn đọc cùng tham khảo

Phương pháp 5 : Đưa về dạng tổng

Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương

Thí dụ 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 - x - y = 8 (8)

Lời giải : (8) <=>Û 4x2 + 4y2 - 4x - 4y = 32

<=>Û (4x2 - 4x + 1) + (4y2 - 4y + 1) = 34

<=>Û |2x - 1|2 + |2y - 1|2 = 32 + 52

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất một dạng phân tích thành tổng của hai số chính phương 32 và 52

Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng :

Giải các hệ trên => phương trình (8) có bốn nghiệm nguyên là (x ; y) Є {2 ; 3) ; (3 ; 2) ; (-1

; -2) ; (-2 ; -1)}

Phương pháp 6 : lùi vô hạn

Thí dụ 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - 5y2 = 0 (9)

Lời giải :

Giả sử (x0 ; y0) là nghiệm của (9) thì : x0 - 5y0 = 0 => x0 chia hết cho 5, đặt x0 = 5x1 ; (x1 Є Z), ta có : 25x1 - 5y0 = 0 Û <=> 5x1 - y0 = 0

=> y0 chia hết cho 5, đặt y0 = 5y1 ; (y1 Є Z)

Từ đó ta có : 5x1 - 25y1 = 0 <=> Û x1 - 5y1 = 0

Vậy nếu (x0 ; y0) là nghiệm nguyên của (9) thì (x0/5 ; y0/5) cũng là nghiệm nguyên của (9) Tiếp tục lập luận tương tự, ta có với k nguyên dương bất kì, cũng là nghiệm nguyên của (9) hay x0 và y0 đều chia hết cho 5k với mọi k là số nguyên dương tùy ý Điều này chỉ xảy

ra khi x0 = y0 = 0

Vậy phương trình (9) có nghiệm duy nhất là x = y = 0

Phương pháp 7 : xét chữ số tận cùng

Thí dụ 10 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 1! + 2! + + x! = y2 (10)

Lời giải : Cho x lần lượt bằng 1 ; 2 ; 3 ; 4, ta có ngay 2 nghiệm nguyên dương (x ; y) của

phương trình (10) là (1 ; 1) và (3 ; 3)

Nếu x > 4 thì dễ thấy k! với k > 4 đều có chữ số tận cùng bằng 0 ị 1! + 2! + 3 ! + 4! + 5! + + x! = 33 + 5! + + x! có chữ số tận cùng bằng 3

Mặt khác vế phải là số chính phương nên không thể có chữ số tận cùng là 3

Vậy phương trình (10) chỉ có hai nghiệm nguyên dương (x ; y) Є {(1 ; 1) ; (3 ; 3)}

Thí dụ 11 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình :

x2 + x - 1 = 32y + 1 (11)

Lời giải : Cho x các giá trị từ 0 đến 9, dễ dàng xác định được chữ số tận cùng của x2 + x

- 1 chỉ nhận các giá trị 1 ; 5 ; 9 Mặt khác, ta thấy 32y + 1 là lũy thừa bậc lẻ của 3 nên chữ

số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác với 1 ; 5 ; 9

Vậy (11) không thể xảy ra Nói cách khác, phương trình (11) không có nghiệm nguyên

dương

Bài toán này cũng có thể giải bằng phương pháp sử dụng tính chất chia hết

Phương pháp 8 : Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc hai

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai của ẩn, coi các ẩn khác là tham số,

sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của các tham

số

Thí dụ 12 :

Giải phương trình nghiệm nguyên :

3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (12)

Lời giải :

(12) Û y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 = 0

Ta thấy nếu phương trình có nghiệm thì y nguyên => - 4x - 2 nguyên, mà x nguyên nên nguyên

=> ∆'y = x2 - 4 = n2 với n Є Z, dùng phương pháp 1 (đưa về dạng tích) => (x + n)(x - n) =

4, ta xác định được x = 2 và x = -2

Vậy phương trình (12) có hai nghiệm nguyên (x ; y) Є {(2 ;-5); (-2 ; 3)}

Thí dụ 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - (y + 5)x + 5y + 2 = 0 (13)

Lời giải : Giả sử phương trình ẩn x có nghiệm nguyên x1, x2 thì theo định lí Vi-ét ta có :

=> (x1 - 5)(x2 - 5) = 2 = 1.2 = (-1)(-2)

=> x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7

=> y = 8 hoặc y = 2, thay vào (13), phương trình này có 4 nghiệm : (x ; y) Є {(7 ; 8) ; (6 ; 8) ; (4 ; 2) ; (3 ; 2)}

Chú ý : Một số phương pháp mà các bạn gọi là phương pháp giải phương trình nghiệm

nguyên nhưng chúng tôi thấy không phải là đặc trưng cho phương trình nghiệm nguyên nên không giới thiệu Chẳng hạn có bạn nêu phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất với thí dụ giải phương trình nghiệm nguyên 2x + 5x = 7x Có bạn viết phương trình về dạng phương trình bậc 2 ẩn x rồi đặt điều kiện ∆x ≥³ 0 để có miền giá trị của y, phương pháp này thực ra đã được trình bày ở thí dụ 7, tuy không viết biệt thức ∆’x Các bạn có thể làm thêm một số bài tập :

Bài 1 : Tìm x, y nguyên thỏa mãn các phương trình :

a) 5x2 - 4xy + y2 = 169

b) 3x = 4y + 1

Bài 2 : Tìm nghiệm nguyên của các phương trình :

a) 5x + 12x = 13x

b) y4 = x6 + 3x3 + 1

Bài 3 : Chứng minh rằng phương trình 25t = 2t5 + 1997 không có nghiệm nguyên

< 4>Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 - 3y3 - 9z3 = 0

Bài 5 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2 + 2y2 - 2xy + x + y - 10 = 0