3 ñiểm Cho hình chóp S.ABC, có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh bằng a, ñường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA=a 3.. Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng SBC.. Dành cho học s
Trang 1SỞ GD- ĐT BẮC GIANG
(ĐỀ CHÍNH THỨC)
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài : 90 phút (không kể thời gian phát ñề)
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (8 ñiểm)
Câu I (3 ñiểm)
1 Tính các giới hạn sau:
2
n n 1 a) lim
(n 1)(1 3n)
− + + − ; x 2
b) lim
x 2
→−
+
2 Xét tính liên tục của hàm số sau tại x=2:
2
2x 4
f (x)
5 2
khi x 2 khi x=2
=
f (x)= −(x 2) x + +1 cos2xtại x=0
Câu III (3 ñiểm)
Cho hình chóp S.ABC, có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh bằng a, ñường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA=a 3
1 Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC Chứng minh BC⊥(SAM)
2 Tính tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
3 Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (SBC)
Câu IV(1 ñiểm)
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a 3b 6c + + = 0 Chứng minh rằng phương trình 2
ax + bx + c = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1)
B PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (2 ñiểm)
Học sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần I hoặc phần II)
I Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn:
Câu Va (1 ñiểm)
Cho cấp số nhân (a )n thỏa mãn 7 4
5 4
a a 216
a a 72
− = −
− = −
Tìm số hạng ñầu a1 và công bội q
y=x −3x +1 có ñồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm I(1; 1)−
II Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao:
Câu Vb (1 ñiểm) Cho cấp số cộng (a )n thỏa mãn a3+ =a5 14 và tổng của 13 số hạng ñầu của cấp số cộng bằng 129 Tìm số hạng ñầu a1 và công sai d
Câu VIb (1 ñiểm) Cho hàm số
2
y
x 1
+ +
=
− có ñồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến
của ñồ thị (C) tại giao ñiểm của (C) với trục tung
- Hết -
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN, LỚP 11
Chú ý : Dưới ñây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho ñiểm từng phần của mỗi bài
Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết ,lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác ñúng thì chấm và cho ñiểm từng phần tương ứng
1)
a)
1
1 1
n n
− +
0,5
1
3
b)
0,25
2
x 2
lim
4
→−
−
0,5
2)
TXĐ: f (2) 5
2
, =
ℝ
0,25
Ta có
2
2x 3x 2 (x 2)(2x 1) 5
I
(3ñ)
Suy ra
x 2 lim f (x) f (2)
→ = Do ñó hàm số liên tục tại ñiểm x=2
0,5
2
x(x 2)
−
0,5
II
(1ñ)
III
(3ñ)
H
M A
C
B S
Trang 3Do tam giác ABC ñều, M là trung ñiểm của ñoạn BC nên BC⊥AM (2) 0,25 Lại có SA và AM cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (SAM) (3) 0,25
2) Do (SBC)∩(ABC)=BC
+ Do SM, AM lần lượt vuông góc với giao tuyến BC nên góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC) bằng góc giữa hai ñường thẳng AM và SM và bằng góc SMA (vì
90 )
0,25
2
Trong tam giác vuông SAM, vuông tại A Ta có tan() 3 2
3 2
SA a SMA
AM a
3) Gọi H là hình chiếu của A trên SM Do ñó AH ⊥SM , BC⊥AH 0,25 Lại có hai ñường thẳng SM, BC cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (SBC) Dẫn
Trong tam giác vuông SAM, ñường cao AH ta có
5
0,25
Đặt f(x)= ax2+bx c+ ⇒ f x( ) liên tục trên R
f 2 4a 2b c 1(4a 6b 12 )c
+ Nếu c=0 thì f 2 0
3
=
⇒ PT ñã cho có nghiệm x=
2 (0;1)
3∈
0,25
IV
(1ñ)
2 2
= − <
⇒ PT ñã cho có nghiệm x= 0;2 (0;1)
3
α∈ ⊂
Giả thiết bài toán tương ñương với
3
1
a q q
− = −
Va
(1ñ)
1
1 3
1
1
1 ( ) 1
2
3 2
3
q
vn q
q
a q
a q q
a
=
= −
= −
0,5
Ta có y x'( )=3x2−6x
+ Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ñiểm I(1;-1) có hệ số góc là y'(1)=-3 0,5
VIa
(1ñ)
+ Phương trình tiếp tuyến của ñths tại I(1;-1) là y= −3(x− − = − +1) 1 3x 2 0,5
Vb Ta có a5+ =a3 14⇔ +a1 3d =7 (1)
Trang 4(1ñ) 1
2
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ
1 1
1
53
39
a
a d
d
=
⇔
0,5
0,5
+ Ta có
2 2
( 1)
x
− −
VIb
(1ñ)
+ Phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm A(0;-1) là: y= − −2x 1
0,5