Bài 2. Chứng minh rằng Bài 2. Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có: a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3; b) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9; c) n3 + 11n chia hết cho 6. Hướng dẫn giải: a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3 Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) 3 Ta phải chứng minh rằng Sk+1 3 Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5 = k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9 hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3) Theo giả thiết quy nạp thì Sk 3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) 3 nên Sk+1 3. Vậy (n3 + 3n2 + 5n) 3 với mọi n ε N* . b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1 Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 9 Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9. Ta phải chứng minh Sk+1 9. Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1 = 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2) Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S1 9, mặt khác 9(5k - 2) 9, nên Sk+1 9 Vậy (4n + 15n - 1) 9 với mọi n ε N* c) Đặt Sn = n3 + 11n Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 6 Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k 6 Ta phải chứng minh Sk+1 6 Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11 = ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4) THeo giả thiết quy nạp thì Sk 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4) 6, do đó Sk+1 6 Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* .
Trang 1Bài 2 Chứng minh rằng
Bài 2 Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có:
a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;
b) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9;
c) n3 + 11n chia hết cho 6
Hướng dẫn giải:
a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) 3
Ta phải chứng minh rằng Sk+1 3
Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) 3 nên Sk+1
3
Vậy (n3 + 3n2 + 5n) 3 với mọi n ε N*
b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1
Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 9
Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9
Ta phải chứng minh Sk+1 9
Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1
Trang 2= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S1 9, mặt khác 9(5k - 2) 9,
Vậy (4n + 15n - 1) 9 với mọi n ε N*
c) Đặt Sn = n3 + 11n
Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 6
Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k 6
Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11
= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)
THeo giả thiết quy nạp thì Sk 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k +
Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N*