Toán tin chương 2 quan hệ

... (1, 2) , (1, 3), (1, 4), (2, 2) , (2, 4), (3, 3), (4,4)} 4 Định nghĩa Quan hệ R A gọi phản xạ nếu: (a, a)  R với a  A Ví dụ Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ:  R1 = {(1,1), (1 ,2) , (2, 1), (2, 2) ,... 3)  R1  R2 = {(1,1), (1 ,2) , (1,4), (2, 2) , (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ (1,1), (2, 2) , (3, 3), (4, 4)  R2  Quan hệ  Z phản xạ a  a với a Z  Quan hệ > Z không phản xạ > Quan hệ R A gọi... nghĩa Quan hệ R A có tính bắc cầu a  A b  A c  A (a R b)  (b R c)  (a R c) Ví dụ Quan hệ R = {(1,1), (1 ,2) , (2, 1), (2, 2) , (1, 3), (2, 3)} tập A = {1, 2, 3, 4} có tính bắc cầu Quan hệ 

1 Định nghĩa và tính chất

2 Biểu diễn quan hệ

3 Quan hệ tương đương Đồng dư

4 Quan hệ thứ tự

2

Một quan hệ hai ngôi từ tập A đến tập B là tập con của tích Descartes R  A x B

Chúng ta sẽ viết a R b thay cho (a, b)  R

Quan hệ từ A đến chính nó được gọi là quan hệ trên A

3

R = { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) }

A = tập sinh viên; B = các lớp học

R = {(a, b) | sinh viên a học lớp b}

4

Định nghĩa Quan hệ R trên A được gọi là phản xạ nếu:

(a, a)  R với mọi a  A

7

 Quan hệ  trên Z phản xạ vì a  a với mọi a Z

 Quan hệ > trên Z không phản xạ vì 1 > 1

Quan hệ R trên A được gọi là đối xứng nếu:

Định nghĩa Quan hệ R trên A có tính bắc cầu nếu

9

1 Ma trận

2 Biểu diễn Quan hệ

10

Cho R là quan hệ từ A = {1,2,3,4} đến B = {u,v,w}:

Định nghĩa Cho R là quan hệ từ A = {a1, a2, …, a m} đến B = {b1,

b2, …, b n} Ma trận biểu diễn của R là ma trận cấp m × n MR =

1

01

10

1

00

01

 Cho R là quan hệ trên tập A, khi đó M R là ma trận vuông

 R là phản xạ nếu tất cả các phần tử trên đường chéo của

MR đều bằng1: mii = 1 với mọi i

R là đối xứng nếu MR là đối xứng

1 Giới thiệu

2 Quan hệ tương đương

3 Biểu diễn số nguyên

4 Lớp tương đương

17

Định nghĩa Quan hệ R trên tập A được gọi là tương

đương nếu nó có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc

Ví dụ Cho R là quan hệ trên R sao cho aRb nếu a – b

nguyên Khi đó R là quan hệ tương đương

Ví dụ Cho m là số nguyên dương và R quan hệ trên Z

sao cho aRb nếu a – b chia hết m, khi đó R là quan hệ

tương đương

 Rõ ràng quan hệ này có tính phản xạ và đối xứng

 Cho a, b, c sao cho a – b và b – c chia hết cho m, khi đó

a – c = a – b + b – c cũng chia hết cho m Suy ra R có tính

Cho a và b là hai số nguyên A được gọi là ước của b hay

20

21

Định nghĩa Cho R là quan hệ tương đương trên A và

Ví dụ Tìm các lớp tương đương modulo 8 chứa 0 và 1?

Giải Lớp tương đương modulo 8 chứa 0 gồm tất cả các

số nguyên a chia hết cho 8 Do đó

Chú ý Trong ví dụ cuối, các lớp tương đương [0]8 và [1]8 là rời nhau

Tổng quát, chúng ta có

23

Định lý Cho R là quan hệ tương đương trên tập A và a,

b  A, Khi đó

(i) a R b nếu [a] R = [b] R

(ii) [a] R  [b] R nếu [a]R  [b] R = 

Chú ý Các lớp tương đương theo một quan hệ tương

đương trên A tạo nên một phân họach trên A, nghĩa là

chúng chia tập A thành các tập con rời nhau

Định nghĩa Quan hệ R trên tập A là quan hệ thứ tự (thứ

tự) nếu nó có tính chất phản xạ, phản xứng và bắc cầu

Người ta thường ký hiệu quan hệ thứ tự bởi 

 Giả sử A1, A2,…,An là n tập hợp Quan hệ ngôi xác định trên các tập A1, A2,…An là một tập con của tích Descartes A1xA2xA3x An

n-Hay R  A1 x A2 x A3 x x An

 Ví dụ : A=A1=A2=A3={1, 2, 3, 4} và quan hệ (a,

b, c)  R  A1x A2x A3 sao cho a<b<c thì

 R={(1,2,3), (1,3,4),(2,3,4)} và (3,1,2)

Company Logo