Tìm hiểu về tán xạ bhabha

Quá trình đó xảy ra khi những hạt lượng tử của tia X đến va chạmvới các điện tử trong vật liệu, kết quả là một phần năng lượng của lượng tử Xđược chuyển hóa thành năng lượng của electron

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Huy Thảo, người đã tận tình hướngdẫn tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận và các thầy cô giáo, cácbạn sinh viên trong khoa Vật lý đã và sẽ đóng góp ý kiến để khóa luận này được hoànthiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2015.

Sinh viên

Nguyễn Ngọc Lan Anh

LỜI CAM ĐOAN

Được sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Huy Thảo và sự nỗ lực của bản thân,tôi đã hoàn thành khóa luận này Tôi xin cam đoan đây là công trình của riêng tôi,không trùng lặp với bất kì kết quả của tác giả nào công bố trước đây Nếu sai tôi xinhoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2015.

Sinh viên

Nguyễn Ngọc Lan Anh

Mục lục

Mở đầu

Chương 1 MA TRẬN TÁN XẠ 1

1.1 Trường spinor 1

1.2 Xây dựng phần đỉnh 5

1.2.1 Tương tác không chứa đạo hàm 6

1.2.2 Tương tác chứa đạo hàm 8

1.3 Quy tắc Feynman trong điện động học lượng tử (QED) 11

1.4 Hệ số đối xứng của giản đồ 16

1.5 Tiết diện tán xạ 17

Chương 2 TÁN XẠ BHABHA 20

2.1 Ma trận tán xạ 20

2.1.1 Bình phương ma trận: kênh s 23

2.1.2 Bình phương ma trận: kênh t 25

2.1.3 Bình phương ma trận: số hạng tiết diện tán xạ thứ nhất 27

2.1.4 Bình phương ma trận: số hạng tiết diện tán xạ thứ hai 31

2.1.5 Bình phương ma trận tán xạ toàn phần 32

2.2 Tiết diện tán xạ toàn phần 33

KẾT LUẬN 37

Tài liệu tham khảo 38

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện tượng tán xạ từ lâu đã là đề tài nghiên cứu quen thuộc của ngành vật lýhạt Tuy vậy những kết quả thu được từ thí nghiệm tán xạ luôn là những khámphá mới mẻ thôi thúc các nhà khoa học nghiên cứu, tìm hiểu

Trong cơ học lượng tử, hiệu ứng Compton là một trong những hiện tượng tán

xạ điển hình Quá trình đó xảy ra khi những hạt lượng tử của tia X đến va chạmvới các điện tử trong vật liệu, kết quả là một phần năng lượng của lượng tử Xđược chuyển hóa thành năng lượng của electron Electron dao động phát ra sóngđiện từ chuyển một phần năng lượng cho một lượng tử, vì thế lượng tử bức xạ cóbước sóng lớn hơn lượng tử ban đầu

Điện động lực học lượng tử (QED) là bước phát triển tiếp theo của cơ họclượng tử Nếu như trong cơ học lượng tử, thí nghiệm tán xạ chỉ đơn thuần là sựtương tác giữa các hạt cơ bản làm chúng bay lệch phương so với phương chuyểnđộng ban đầu thì trong điện động lực học lượng tử, hiện tượng tán xạ cho thấy

sự xuất hiện của các hạt mới kèm theo dòng photon sau va chạm

Điện động lực học lượng tử (QED) được coi như tiền đề của lý thuyết trườnglượng tử, nó áp dụng cho tất cả các hiện tượng điện từ kết hợp với các điện tích

cơ bản như electron, positron và các hiện tượng liên quan như sự sinh hủy cặpelectron - positron,

Cùng với sự phát triển của nhân loại nhu cầu khám phá thế giới vật chất củacon người ngày càng cao, đòi hỏi sự ra đời của các thiết bị, công nghệ hiện đại.Con người đã chế tạo ra máy gia tốc - một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu quátrình tán xạ Nhờ có các máy gia tốc (VEP-1, VEPP-2, RHIC ) vô số các hạt mới

được tìm ra như các quark, hadron, lepton Và mới đây nhất là chiếc máy gia tốchạt lớn LHC (Large Hadron Collider) đã xác nhận sự tồn tại của hạt Higgs.Với mong muốn mở rộng hiểu biết về các quá trình tán xạ cũng như về điệnđộng lực học lượng tử, đồng thời bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu

khoa học, tôi đã chọn đề tài "Tìm hiểu về tán xạ Bhabha" làm đề tài khóa luận tốt

nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu quá trình tán xạ Bhabha

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng phần đỉnh, tính biên độ và tiết diện tán xạ toàn phần của quá trình tán

xạ Bhabha

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán

5 Đối tượng nghiên cứu

- Bài toán tán xạ Bhabha

1 ψγ5ψbiến đổi như đại lượng giả vô hướng.

2 ψγ5γ µ ψbiến đổi như đại lượng giả vector

Chính vì điều này mà trong Lagrangian ta phải chèn γ5 vào giữa khi xây dựng

tương tác với hạt giả vô hướng π meson.

Để cho cụ thể ta chọn biểu diễn của các ma trận Dirac trong đó γ0là chéo

Ta sẽ sử dụng kí hiệu sau /k≡k µ γ µ.Khi đó

trong đó u, v là các spinor Dirac thỏa mãn phương trình:

u(k,±s)(/k −m) =0,(/k−m)u(k,±s) =0,

v(k,±s)(/k +m) =0,(/k+m)v(k,±s) =0

Toán tử a+(k, s)và a(k, s)tương ứng là toán tử sinh và hủy hạt với xung lượng k và

phân cực s Còn b+(k, s)và b(k, s)tương ứng là toán tử sinh và hủy phản hạt với xung

lượng k và phân cực s Các toán tử trên thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán sau:

Từ (1.15) suy ra ψ(x) mô tả sự hủy hạt hoặc sinh phản hạt tại điểm x, còn ψ(x) mô tả

sự sinh hạt hoặc hủy phản hạt

Hình 1.1: Hàm sóng của trường spinor và sự hủy hạt

trong đó là các số hạng không chứa ˙ψ(x) Nếu coi ψ(x)như tọa độ tổng quát thì xunglượng tương ứng là

e iω(p,s) = −e iω(−p,s), ρ2=

−→σ 0

0 −→σ

!

1.2 Xây dựng phần đỉnh

Để xác định được ma trận tán xạ trước hết chúng ta phải xác định được tương

tác giữa các trường, tức là Lint(x) Hơn nữa để xác định biên độ tán xạ, bên cạnh grangian tương tác, ta phải xác định các hàm đỉnh Lagrangian của một hệ gồm 2 phần:Lagrangian tự do chứa các số hạng bậc hai theo toán tử trường, Lagrangian tương tácchứa các số hạng từ bậc ba trở lên theo toán tử trường Tuy nhiên điều kiện tái chuẩn

La-hóa trong không thời gian bốn chiều không cho phép các số hạng có bậc lớn hơn bậcbốn theo toán tử trường Trong phần này chúng ta sẽ làm quen với phương pháp "bócvỏ" (skin peeling) giúp ta thu được phần đỉnh (vertex) từ Lagrangian tương tác.

1.2.1 Tương tác không chứa đạo hàm

Xét trường hợp điện động lực học với Lagrangian tương tác

LQED int =eψ(x)γ µ ψ(x)A µ(x) =eψ(x)η(γ ν)λ η ψ λ(x)A ν(x) (1.25)

Vì trong Lagrangian tương tác chứa ba toán tử trường, nên ta phải bóc vỏ (lấy đạohàm) ba lần theo các toán tử trường Mỗi lần lấy đạo hàm ta sẽ có thêm một đườngtương ứng trong phần đỉnh (như việc bóc ô giấy đoán trang) Cụ thể, để có đường

vào với chỉ số β.

Ta lấy đạo hàm tiếp theo

∂2LQED int

∂ψ β ∂ψ α =e(γ ν)λ α δ β λ A ν(x) = e(γ ν)β α δA ν(x) (1.27)

Để có thêm đường photon với chỉ số µ

Ta lấy tiếp đạo hàm

∂3LQED int

∂A µ ψ β ∂ψ α =e(γ ν)β α δ ν µ =e(γ µ)β α (1.28)Tóm lại: Tương tác photon - spinor(ψ)- spinor(ψ)ứng với yếu tố sau của giản đồ:

Trong đó thừa số i được đưa thêm vào, do ma trận tán xạ S∼exp[iR L int d4x]

Chú ý ta phải lấy đạo hàm (bóc vỏ) đến tận nhân (kernel) tức là khi không còn toán

tử trường

1.2.2 Tương tác chứa đạo hàm

Đạo hàm ∂ µ ứng với −ik µ trong không gian xung lượng Do đó trong trường hợptương tác chứa đạo hàm, ta nên chuyển sang không gian xung lượng Khi đó biến đổiFourier của các toán tử trường

Ta quy ước rằng, đối với ϕ(x), exponent với(−ikx)và xung lượng đi vào, còn ϕ∗(x)

ứng với(ikx) và xung lượng đi ra

Ta xét trường hợp cụ thể: tương tác của trường vô hướng phức có điện tích e với

photon có tác dụng như sau

S SQED int (x) = ieN2ϕ N A

Để có đường vô hướng với xung lượng p′, (p′ 6= p2)đi ra:

Để có đường photon với xung lượng k đi vào hoặc đi ra

Ta lấy đạo hàm theo A µ(k)

Tóm lại: tương tác photon - vô hướng ứng với phần đỉnh

trong đó ta ngầm hiểu hàm delta của xung lượng 4 chiều ở mỗi đỉnh, còn i như đã nói

ở trên xuất hiện từ biểu thức có S ma trận.

Do lý thuyết định xứ ta có sự bảo toàn năng xung lượng tại mỗi đỉnh

1 Để có hệ số 1 cho hằng số λ, đối với trường vô hướng thực tương tác sẽ là λ

4!ϕ4,trong khi đó đối với trường vô hướng phức λ

4(ϕ∗ϕ)2

2 Để lý thuyết là tái chuẩn hóa trong không thời gian D =4, tương tác chứa nhiềunhất là một đạo hàm theo một trong các toán tử trường

3 Nếu gặp quy tắc trong đó tất cả xung lượng đều cùng đi vào hoặc cùng đi ra Quy

tắc này dựa trên cơ sở sau: Ta lấy dấu của exponent e ikxtrong biến đổi Fourier chotất cả các trường đều cùng một dấu

Ví dụ

ψ(x) = N ψ

Z

d4ke±ikx ψ(k),

ψ(x) = N ψ d4ke±ikx ψ(k),

W±µ(x) = N W

Z

d4ke±ikx W±µ(k).Quy tắc Feynman cho phép ta biểu thị trực tiếp các tích phân Feynman (biểu thứctoán học) một các trực quan và tiện lợi

1.3 Quy tắc Feynman trong điện động học lượng tử (QED)

Quy tắc Feynman cho điện động lực học lượng tử (spinor và vô hướng) được xâydựng trên Lagrangian toàn phần sau:

LtQED = −1

4F µν(x)F µν(x) − 1

2ξ(∂ µ A µ)2+iψ(x)γ µ ∂ µ ψ(x) −Mψ(x)ψ(x)+∂ µ ϕ∗(x)∂ µ ϕ(x) −m2ϕ∗(x)ϕ(x)

Các đường ngoài - hạt thật

• Trường vô hướng (spin 0): 1 - cho các hạt ở trạng thái đầu và cuối

• Trường spin 1

2:

- Hạt ở trạng thái đầu:

- Phản hạt ở trạng thái đầu:

- Hạt ở trạng thái cuối:

- Phản hạt ở trạng thái cuối:

- Trường ngoài:

Đối với phản hạt spinor ngoài, hướng của các đường spinor khác với hướng củaxung lượng Hướng của xung lượng quyết định hạt ở trạng thái nào: đầu hay cuối.Các hạt ở trạng thái đầu là các hạt bị hủy, xung lượng sẽ đi vào, còn các hạt ở trạngthái cuối, xung lượng sẽ đi ra

• Trường vector (spin 1):

- Trường vector mang điện ở trạng thái đầu:

- Trường vector mang điện ở trạng thái cuối:

Chú ý: đối với photon, vector phân cực là thực Khi đã "quen", ta có thể bỏ qua chỉ

số Dirac α, độ xoắn s hoặc vector phân cực λ, nhưng phải "ngầm" hiểu điều này

như ở các quy tắc trên

- Trường vector khối lượng m:

Đỉnh tương tác

Các quy tắc:

• Mỗi đường trong - hạt ảo phải lấy tích phân theo xung lượngR d4p

(2π)4 Xung lượngđường trong không bị giới hạn bởi định luật bảo toàn năng lượng xung lượng, cónghĩa là nó có thể tiến tới vô cùng

• Mỗi vòng fermion khép kín nhân với (−1), trường hợp có l vòng ta nhân với

1.4 Hệ số đối xứng của giản đồ

Ta xét mô hình φ4 Ta hãy phân tích hàm G(4)2 (x1,x, ,x4)

Ta sẽ gọi các điểm x1,x2, ,x4là các điểm ngoài - điểm cố định Các điểm y1,y2 là

các điểm trong Từ x1 ta có 4 kết cặp tới các điểm y1 thậm chí tới y2 Giả sử ta lấy kết

cặp với y1 Tiếp theo ta có 3 kết cặp từ x2với y1, vv Bây giờ ta tính xem hệ số của giản

đồ trên là bao nhiêu:

1

2 (bậc của lý thuyết nhiễu loạn)× 1

4!

14!(hệ số của hằng số tương tác)

trong đó T f i là ma trận chuyển dời được định nghĩa như sau:

Xác suất cho một chuyển dời từ trạng thái i đến trạng thái f (i 6= f)là

Mở rộng, xác suất để s hạt với xung lượng q1,q2, ,q s ở trạng thái đầu thành r hạt

có xung lượng trong khoảng dp1,dp2, ,dp r ở trạng thái cuối trên một đơn vị thời gian

α!, l α là số hạt giống nhau ở trạng thái cuối Hệ

số S xuất hiện do thừa số chuẩn hóa trạng thái cuối với n hạt giống nhau Trong M f i

2

ta đã lấy tổng theo các trạng thái spin của các hạt ở trạng thái cuối và trung bình cộngtheo trạng thái spin của các hạt ở trạng thái đầu

trong đó: s = (p1+p2)2,dΩ =dϕd cos θ với θ là góc giữa p và p’.

- Trong hệ phòng thí nghiệm (laboratory frame): quy ước hạt thứ hai đứng yên:

p2 = (m2, 0, 0, 0), biểu thức tương ứng của tiết diện tán xạ vi phân là:

trong đó: E1 =qp2+m21,E3 =qp’2+m23 Hệ phòng thí nghiệm thường áp dụng cho

tán xạ của một hạt không khối lượng với một hạt có khối lượng Góc tán xạ θ lab là góc

giữa vector xung lượng của electron đi vào p và electron đi ra p’.

Chương 2

TÁN XẠ BHABHA

Xét tán xạ của một electron và một positron:

Tán xạ Bhabha là sự hủy của một cặp electron - positron để cho các hạt ở trạng tháicuối cũng là một cặp electron - positron Bên cạnh đó, các hạt ở trạng thái đầu có thểtrao đổi một photon mà không bị hủy

Gọi xung lượng của electron ở trạng thái đầu và electron ở trạng thái cuối lần lượt

là p và p′, tương ứng với xung lượng của positron ở trạng thái đầu và positron ở trạng

thái cuối lần lượt là k và k′ Gọi góc giữa electron ở trạng thái đầu và electron ở trạng

thái cuối là θ.

Việc tính toán tiết diện tán xạ trong sự hủy cặp electron - positron nói chung là phứctạp, để đơn giản ta chỉ chú ý đến trường hợp siêu tương đối tính Khi đó ta coi gần đúngelectron và positron là không khối lượng Điều này nghĩa là chúng ta có thể bỏ qua các

Feynman cho đóng góp:

Hình 2.1: Giản đồ Feynman cho tán xạ e+e− −→e+e−

Do đó phần tử của ma trận là tổng:

trong đó, s và t liên quan đến kênh photon.

Đầu tiên, giản đồ kênh s, giản đồ mô tả sự sinh hủy cặp Phần tử ma trận giống như

chúng ta dùng cho bài toán "muon", ngoại trừ khối lượng các hạt là như nhau Ở đây

chúng ta gọi p, k là xung lượng vào và p′, k′là xung lượng ra Khi đó ta có

trong đó p, p′lần lượt là xung lượng electron vào và xung lượng electron ra, k, k′là xunglượng positron vào và xung lượng positron ra.

Tương tự ta có q = p−p′ =k′−k là xung lượng bốn chiều kênh t, ξ cho phép một

lựa chọn chuẩn, số hạng chuẩn không triệt tiêu ngay trong trường hợp này

trong đó, đặt q2 =t Chúng ta nên lấy kết quả tương tự ở bất kì chuẩn nào, vì vậy ta có

thể đặt ξ =1và triệt tiêu các số hạng chứa m2 Ta được:

M t f i = ie

2

t g αβ u(p′)γ α u(p)v(k)γ β v(k′) (2.7)Kết quả phần tử ma trận bằng:

2

(2.9)Chúng ta sẽ làm việc với từng số hạng thành phần của phần tử ma trận

Cụ thể

1 =γ01+γ0 =1,

γ µ =γ0γ µ+γ0 =γ µ,γ5= −γ5,/q1/q2 /q n =/q n/q n−1 /q1,γ µ γ5 =γ µ γ5.Khi không quan tâm đến độ xoắn của các hạt ở trạng thái cuối, ta sử dụng côngthức sau

1

spins

M

s

f i

4 xuất hiện do ta lấy trung bình theo trạng thái spin của hai hạt ởtrạng thái đầu và hệ số (−1)14 là do có 14 vòng fermion khép kín (tuân theo quy tắcFeynman) Các vết đưa đến:

1

spins

... class="page_container" data-page="26">

Chương 2

TÁN XẠ BHABHA< /b>

Xét tán xạ electron positron:

Tán xạ Bhabha hủy cặp electron - positron hạt trạng tháicuối cặp electron... =qp’2+m23 Hệ phịng thí nghiệm thường áp dụng cho

tán xạ hạt không khối lượng với hạt có khối lượng Góc tán xạ θ lab góc

giữa vector xung lượng electron... data-page="33">

2.1.3 Bình phương ma trận: số hạng tiết diện tán xạ thứ nhất

Xét số hạng tiết diện tán xạ thứ nhất, lấy trung bình lấy tổng theo tất trạngthái spin ta có: