Phần chung cho cả hai ban.. Xác định m để hàm số liên tục trên R.. Viết phương trình tiếp tuyến của C: a Tại điểm có tung độ bằng 3.. 3 Tính góc giữa AB và mặt phẳng AOI.. 4 Tính góc giữ
Trang 1ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ II - Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 2
I Phần chung cho cả hai ban.
Bài 1 Tìm các giới hạn sau:
1)
x
x
lim
2 7
→−∞
− − + + 2) x x x
3
lim ( 2 5 1)
x
x x
5
2 11 lim
5
+
→
−
− 4) x
x
3 2 0
1 1 lim
→
+ − + .
Bài 2
1) Cho hàm số f(x) = x khi x
−
= −
Xác định m để hàm số liên tục trên R.
2) Chứng minh rằng phương trình: (1−m x2) 5−3x− =1 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3
1) Tìm đạo hàm của các hàm số:
a) y x x
x
2 2
2 2
1
− +
=
− b) y= 1 2tan+ x
2) Cho hàm số y x= 4−x2+3 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có tung độ bằng 3
b) Vuông góc với d: x+2y− =3 0.
Bài 4 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC
1) Chứng minh rằng: (OAI) ⊥ (ABC)
2) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI)
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI)
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB
II Phần tự chọn
1 Theo chương trình chuẩn
−
Bài 6a Cho y=sin 2x−2 cosx Giải phương trình y/= 0
2 Theo chương trình nâng cao
Bài 5b Cho y= 2x x− 2 Chứng minh rằng: y y3 //+ =1 0
Bài 6b Cho f( x ) = f x x
x
x3
64 60 ( )= − −3 +16 Giải phương trình f x′( ) 0=
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2Bài 1:
1)
x
2
1 1
1 3
− − − +
5 1 lim 2 5 1 lim 2
− − + = − − + ÷= −∞
3)
x
x x
5
2 11
lim
5
+
→
−
−
Ta có:
x
x
x x
x
5
lim 5 0
2 11 lim 2 11 1 0 lim
5
+
→
> ⇔ − <
4)
2
1 1
Bài 2:
1) • Khi x 1≠ ta có f x x x x
x
3
2
1
1
−
− ⇒ f(x) liên tục x 1∀ ≠ .
• Khi x = 1, ta có:
(1) 2 1
lim ( ) lim( 1) 3
= + + = ⇒ f(x) liên tục tại x = 1 ⇔ f x f x m m
1
(1) lim ( ) 2 1 3 1
→
Vậy: f(x) liên tục trên R khi m = 1.
2) Xét hàm số f x( ) (1= −m x2) 5−3x−1 ⇒ f(x) liên tục trên R.
Ta có: f( 1)− =m2+ > ∀1 0, m f; (0)= − < ∀ ⇒1 0, m f(0) (1) 0,f < ∀m
⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm c (0;1)∈ , m∀
Bài 3:
1) a) y x x y x x
x
x
2
1 tan
1 2tan '
1 2 tan
+
+
2) (C): y x= 4−x2+3 ⇒ y′ =4x3−2x
a) Với
x
x
1
=
= ⇔ − + = ⇔ =
= −
• Với x= ⇒ =0 k y′(0) 0= ⇒PTTT y: =3
• Với x= − ⇒ =1 k y′( 1)− = − ⇒2 PTTT y: = −2(x+ + ⇔ = − +1) 3 y 2x 1
• Với x= ⇒ =1 k y′(1) 2= ⇒PTTT y: =2(x− + ⇔ =1) 3 y 2x+1
b) d: x+2y− =3 0 có hệ số góc k d 1
2
= − ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k 2=
Gọi x y ( ; ) là toạ độ của tiếp điểm Ta có: y x0 0 ′( ) 20 = ⇔ 4x30−2x0 =2 ⇔ x0=1 ( y0 =3)
⇒ PTTT: y=2(x− + ⇔ =1) 3 y 2x+1
Bài 4:
Trang 31) • OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (1)
•∆OBC cân tại O, I là trung điểm của BC ⇒ OI ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (OAI) ⇒ (ABC) ⊥ (OAI) 2) Từ câu 1) ⇒ BC ⊥ (OAI)
3) • BC ⊥ (OAI) ⇒ ·(AB AOI,( )) =· BAI
• BI BC a 2
= =
•∆ABC đều ⇒ AI BC 3 a 2 3 a 6
•∆ABI vuông tại I ⇒ · BAI AI · BAI
3
2
= = ⇒ = ⇒ ·(AB AOI,( )) =300 4) Gọi K là trung điểm của OC ⇒ IK // OB ⇒ ·(AI OB, ) =(· AI IK, ) =· AIK
•∆AOK vuông tại O ⇒ AK2 OA2 OK2 5a2
4
• AI2 6a2
4
= • IK2 a2
4
= •∆AIK vuông tại K ⇒ cos· AIK IK AI 1
6
= =
lim lim (1 2 3 ( 1))
n
2
1 1 ( 1) 1 ( 1)
2
−
Bài 6a: y=sin 2x−2 cosx⇒ =y′ 2 cos2x+2sinx
PT y' 0= ⇔2 cos2x+2sinx= ⇔0 2sin2x−sinx− =1 0
x x
sin 1
1 sin
2
=
⇔
= −
2 2 2 6
6
= +
⇔ = − +
= +
x
x3
64 60 ( )= − −3 +16 ⇒ f x
x4 x2
192 60
′ = − + −
x x
0
− + = = ±
′ = ⇔ − + − = ⇔ ≠ ⇔ = ±
=====================
A
B
C O
I
K