Tich luy chuyen mon thang 5. 2011

Đối với những bài toán không phải là hình học, ta cũng có thể dùng một biểu diễnhình học để diễn tả đề toán, chẳn hạn sơ đồ đoạn thẳng.. Cảm nhận trực giác trên biểu diễnhình học này có

BàI 1: Phơng pháp giải toán (3 tiết)

I Mục tiêu:

- Cung cấp cho hs phơng pháp giải toán nói chung và giải bàn toán hình học nói riêng

- Rèn luyện kỹ năng giải toán hình học theo đúng quy trình

II Nội dung:

I) Quy trình giải một bài toán

1 Tìm hiểu đề toán:

Để giải đợc một bài toán, trớc hết phải tìm hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó

Để hiểu rõ đề toán, trớc hết phải đọc kĩ đề bài toán sao cho thấy đợc toàn bộ bài toán càng

rõ ràng, càng sáng sủa càng tốt, tránh vội vã đi vào các chi tiết Bắt đầu đi sâu nghiên cứu

đề toán; trớc hết phân tích bài toán, tách ra những yếu tố chính của bài toán, xem xét cácyếu tố chính nhiều lần, ở nhiều mặt Nếu là bài toán chứng minh thì yếu tố chính là giảthiết và kết luận Nếu là bài toán về tìm tòi thì yếu tố chính là ẩn (cái cần tìm, cái chabiết), là dự kiện (những cái đã biết) và điều kiện (mối liên quan giữa các cái cần tìm và đãcho) của bài toán

Có những bài toán liên quan tới một hình vẽ, thì phải vẽ hình Có những bài toán lạicần đa vào các kí hiệu Điều này cũng có ý nghĩa giúp ta hiểu bài toán

a) Hình vẽ:

Đối với bài toán hình học Nói chung phải vẽ hình Hình vẽ làm hiện lên các yếu tốcũng nh các chi tiết cùng mối liên hệ giữa các chi tiết đã cho trong đề bài Vì thế, thờngsau khi vẽ hình đúng, đề toán đợc hiểu rõ ràng, cụ thể hơn

Khi vẽ hình cần chú ý:

- Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trờng hợp đặc biệt vì

nh thế dễ gây nên ngộ nhận Chẳng hạn, đối với các đoạn thẳng, không nên vẽ bằngnhau Đối với các đờng thẳng, không nên vẽ vuông góc với nhau, đối với tam giác khôngnên vẽ cân hay vuông nếu nh bài toán không đòi hỏi

- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, dễ nhìn thấy những quan hệ (song song, cắtnhau, vuông góc ) và tính chất (đờng trung trực, phân giác, tam gíac cân, tam giácvuông ) mà bài toán đã cho Có những trờng hợp còn phải khéo léo lựa chọn trình tự vẽcác phần tử hình trong bài

Ngoài ra, để làm nổi bật vai trò khác nhau của các đờng, các hình, trong hình vẽ cóthể vẽ bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt, hoặc dùng màu khác nhau

Đối với những bài toán không phải là hình học, ta cũng có thể dùng một biểu diễnhình học để diễn tả đề toán, chẳn hạn sơ đồ đoạn thẳng Cảm nhận trực giác trên biểu diễnhình học này có thể giúp ta đẽ nắm bắt đợc nội dung cơ bản của đề toán nh Pôlya đã nêu:

“ Tìm một biểu diễn hình học rõ ràng, sáng sủa cho những bài toán không phải là bài toánhình có thể cho phép tiến một bớc rõ rệt tới cách giải”

b) Kí hiệu:

Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trờng hợp phải chọn kí hiệu và đa kí hiệu vào mộtcách thích hợp Dùng các kí hiệu toán học có thể ghi lại các đối tợng và mối liên quangiữa chúng trong bài toán một cách ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát Cách kí hiệu thích hợp

có thể nhanh chóng giúp ta hiểu đợc đề toán

“Thời gian dành để chọn kí hiệu sẽ đợc trả công rất hậu bởi thời gian tiết kiệm đợcnhiều tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn”(Pôlya)

• Khi chọn các kí hiệu cần chú ý:

- Một kí hiệu phải có nội dung và dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nớc đôi

- Thứ tự các kí hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên tởng đến thứ tự và quan

a) Sử dụng các bài toán đã giải:

Việc tìm ra con đờng đi đúng trong việc giải một bài toán nhiều khi quá thuận lợinếu ta nhớ lại đợc là ta đã từng tìm ra con đờng đi đến cách giải một bài toán tơng tự hoặcgần giống với bài toán cần giải Thực tế cho thấy ngời ra đề khó mà đặt ra một bài toánhoàn toàn mới, không giống hay liên quan một chút nào với các bài toán đã có Mặt kháccũng có thể có rất nhiều bài toán liên quan đến bài toán đang phải giải Cần phải chọn lựa

đợc một hay một số bài trong đó mà thực sự có lợi: Hãy xét cho kĩ cái cha biết và thờngnghĩ tới một bài toán quen thuộc cũng cha cái biết đó hay một cái cha biết tơng tự Hãynhớ lại một bài toán đã đợc giải gần giống với bài toán đang xét Cần phải lợi dụng bàitoán đã giải này về phơng pháp giải, về kết quả, về kinh nghiệm

b) Biến đổi bài toán:

Để đi đến cách giải một bài toán cần phải huy động và tổ chức những kiến thức học

từ trớc Cần phải nhớ lại và vận dụng hàng loạt những yếu tố cần thiết cho việc giải toán.Việc biến đổi bài toán tạo ra những liên hệ mới, những khả năng mới gợi lại trong trí nhớnhững gì liên quan đến bài toán đang xét

Chẳng hạn, phải chứng minh m3- m chia hết cho 6 với mọi số nguyên m Ta thửbiến đổi bài toán bằng cách phân tích biểu thức thành nhân tử:

m3- m = m(m2- 1) = m(m-1)(m+1)

Đến đây, trên kí hiệu ta nhớ lại rằng m-1, m và m+1 chính là 3 số nguyên liên tiếp.Với ba số nguyên liên tiếp ta lại nhớ lại rằng: cứ 3 số nguyên liên tiếp có một số chẵn,(tức là chia hết cho 2) và một số chia hết cho 3 Từ đó việc chứng minh không còn gì khónữa

c) Phân tích bài toán thành những bài toán đơn giản hơn:

Một bài toán, đặc biệt là bài toán khó thờng tạo ra từ sự kết hợp những bài toán đơngiản hơn Ngời giải toán có kinh nghiệm thờng phải biết phân tích bài toán đang xét thànhnhững bài toán nhỏ để giải, sau đó lại kết hợp chúng để có đợc lời giải của bài toán ban

đầu Ví dụ, để giải bài toán: Chứng minh p4 - 1 chia hết cho 240 với p là số nguyên tố lớnhơn 5 Từ nhận xét 240 = 3.5.16, với ba thừa số này thì đôi một nguyên tố cùng nhau, ta

có thể đa bài toán về 3 bài toán đơn giản hơn: Chứng minh p4 - 1 chia hết cho 3,Chứngminh p4 - 1 chia hết cho 5 và Chứng minh p4 - 1 chia hết cho 16 với p là số nguyên tố lớnhơn 5

d) Mò mẫm, dự đoán bằng cách thử một số trờng hợp có thể xảy ra:

Trờng hợp đặc biệt, trờng hợp tổng quát Hãy xem một số trờng hợp riêng, kết quảcủa nó đôi khi khá đơn giản, sẽ là những gợi ý quý báu để đi đến lời giải bài toán

Chẳng hạn, cho bài toán: “Qua điểm M trên cạnh BC của tam giác ABC, hãy dựngmột đờng thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau”

Trớc hết ta sẽ xét một số tròng hợp đặc biệt:

- Nếu M là trung điểm của BC thì đờng thẳng cần dựng là trung tuyến AM

- Nếu M trùng với B hoặc C thì đờng thẳng phải dựng là trung tuyến BI

Trong trờng hợp tổng quát, nếu ta đa bài toán về một trong hai trờng hợp đặc biệt trênthì xem nh đã tìm ra lời giải

Chẳng hạn đa về trờng hợp thứ hai: Giả sử BM < CM Ta phải dựng một tam giác có

đỉnh là M và có diện tích bằng diện tích tam giác ABC bằng cách kẻ BD//AM thì

SMCD=SABC Khi đó trung tuyến MI của tam giác MCD chính là đờng thẳng cần dựng

e) Một số gợi ý khi xây dựng chơng trình giải:

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào cha ? Hay đã gặp bài toán này ở dạng khác ?

- Bạn có biết bài toán nào có liên quan không ? Một định lí có thể dùng đợc không ?

- Xét kĩ cái cha biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn

t-ơng tự

- Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng đợc không ? Cóthể sử dụng kết quả của nó không ? Hay sử dụng phơng pháp ? có cần phải đa thêm một

số yếu tố phụ thì mới sử dụng đợc nó không ?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ? Một cách khác nữa? Quay về các địnhnghĩa

- Nếu bạn cha giải đợc bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên quan mà dễhơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một trờng hợp riêng ? Một bài toán tơng tự ?Bạn có thể giải một phần bài toán đợc không ? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ quaphần kia Khi đó, ẩn đợc xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi nh thế nào ?Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không ? Bạn có thể nghĩ ra những dự

kiện khác có thể giúp bạn xác định đợc ẩn không ? Có thể thay chủ đôỉ ẩn, hay dữ kiệnhay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các giữ kiện mới đợc gần nhau hơn

- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện cha ? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện cha ? Đã để ý hết mọikhái niệm chủ yếu trong bài toán cha ?

3 Thực hiện chơng trình giải:

Sau khi tìm đợc cách giải rồi thì tiến hành thực hiện chơng trình giải Việc tiến hànhthực hiện này là công việc chủ yếu, là kết quả đánh giá hoạt động giải toán Khi đã tìmthấy cách giải rồi thì việc thực hiện giải không có gì khó khăn nữa, nhng tính chất côngviệc có khác nhau

Khi đang tìm kiếm lời giải thì có thể tự do mò mẫm, dự đoán và không ngại gì màkhông dùng một cách lập luận tạm thời Nhng khi thực hiện giải thì phải thay đổi quanniệm đó và chỉ thừa nhận những lí lẽ chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết Một

điều quan trọng trong việc trình bày lời giải là trình tự các chi tiết, nhất là đối với các bàitoán phức tạp Phải trình bày sao cho tờng minh sự liên hệ giữa mỗi chi tiết, cũng nh sựliên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải ấy Trình tự

mà ta trình bày trong lời giải có thể rất khác với trình tự mà ta đã theo để tìm kiếm lời giải

ấy Trình tự trình bày các chi tiết trong lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa

4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:

Đây là một bớc cần thiết và bổ ích mà trên thực tế ít ngời giải toán thực hiện nó Trongkhi thực hiện chơng trình giải, rất có thể ta đã mắc phải thiếu sót, lầm lẫn ở chỗ nào đó.Việc kiểm tra lại lời giải sẽ giúp chúng ta sửa chữa sai sót đáng tiết đó Mỗi sai lầm đềucho ta một kinh nghiệm quý báu trong giải toán Mặc khác việc nhìn nhận, xem xét, phântích lại con đờng đã đi cùng phơng pháp tiến hành còn có thể giúp ta tìm thấy một cáchgiải khác tốt hơn hoặc phát hiện ra những sự kiện mới bổ ích giúp ta khai thác hoặc sángtạo ra những bài toán mới Khai thác một bài toán sau khi giải thòng đợc tiến hành theocác hớng: Thay đổi một phần hoặc tất cả giả thiết hoặc kết luận Phải kiên nhẫn và chịukhó nghiên cứu lời giải tìm đợc để có thể hoàn thiện cách giải và bao giờ cũng giúp tahiểu cách giải sâu sắc hơn Chính điều đó sẽ làm phong phú thêm kinh nghiệm giải toán,củng cố và phát triển năng lực giải toán

II) Các phơng pháp suy luận thờng gặp trong giải toán:

1 Phân tích và tổng hợp:

Theo tâm lí học, phân tích và tổng hợp những hai thao tác t duy cơ bản Vì vậy, để pháttriển trí tuệ cho học sinh cần coi trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực phân tích vàtổng hợp

Phân tích là dùng trí óc để chia tách cái toàn thể ra từng phần, hoặc tách từng thuộctính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó Ngợc lại, tổng hợp là dùng trí óchợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhaunằm trong cái toàn thể Tuy là những thao tác trái ngợc nhau nhng phân tích và tổng hợpliên hệ chặt chẽ với nhau, là hai mặt của một quá trình thống nhất

Trong hoạt động giải toán, tiên phải nhìn nhận bao quát đề toán một cách tổng hợp,xem bài toán đó thuộc loại gì, phân tích bài toán thành cái đã cho và cái phải tìm, tìm ramối liên hệ giữa chúng Việc giải bài toán đòi hoải học sinh phải biết phân tích bài toán

thành nhiều bài toán khác đơn giản hơn, chia ra các trờng hợp khác nhau, giải chúng rồitổng hợp lại.

Để tìm kiếm lời giải cho một bài toán, ta cũng có những phơng pháp suy nghĩ theo haihớng ngợc nhau là phân tích và tổng hợp Có thể nói phân tích là đi từ cái cha biết, cáiphải tìm đến cái đã cho, cái đã biết Ngợc lại, phuơng pháp tổng hợp là đi từ cái đã biết,cái đã cho đến cái phải tìm, cái cha biết

Ngời ta thờng kết hợp cả hai phơng pháp này trong giải toán: Dùng phơng pháp phântích để tìm lời giải, sau đó trình bày lời giải theo phơng pháp tổng hợp

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x2-x-1 >0, với mọi x

Quy nạp là quy nạp mà kết luận chung đợc khẳng định từ một số trờng hợp cụ thể Do

đó kết luận có thể không chính xác hoặc có thể sai lầm Vì vậy kết luận trong trờng hợpnày có thể xem là một dự đoán, một giả thuyết Tuy nhiên, những kết luận nh thể cũng có

ý nghĩa to lớn trong sự phát triển toán học qua việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ mộtgiả thuyết

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: m3-m 3, với ∀m∈Z

Chẳng hạn, hai đối tợng X, Y cùng có tính chất a, và X có tính chất b thì ta kết luận Ycũng có tính chất b.

Nh vậy, cũng nh quy nạp không hoàn toàn, kết luận của suy luận tơng tự chỉ là một dự

đoán, giả thuyết góp phần thúc đẩy toán học phát triển Trong giải toán, phơng pháp nàygiúp ta liên hệ giữa bài toán cần giải với bài toán đã giải có thể giúp ta nhanh chóng tìm

ra lời giải

Ví dụ 3: Tơng tự bài toán chia một tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau

(Kẻ đờng trung tuyến) Ta giải đợc bài toán chia một tam giác thành ba tam giác có diệntích bằng nhau

Ví dụ 4: Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm M bất kì nằm trong tam giác

đều cho trớc (M có thể nằm trên cạnh của tam giác) đến ba cạnh của tam giác luônkhông dổi

Ta xét một số trờng hợp đặc biệt:

(a) (b) (c)

(a) M trùng một đỉnh của tam giác, khi đó tổng khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tamgiác bằng chiều cao của tam giác đều

(b) M nằm trên một cạnh của tam giác, bằng cách kẻ đờng phụ ta cũng chứng minh

đ-ợc tổng khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác bằng chiều cao của tam giác đều(c) Từ những trờng hợp đặc biệt trên thì việc tìm lời giải đã đợc định hớng rõ rệt: Tổngkhoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác bằng chiều cao của tam giác đều (không

Ví dụ 5: Từ ví dụ 4 ta có thể tổng quát thành bài toán: Chứng minh rằng tổng khoảng

cách từ một điểm M bất kì nằm trong đa giác giác đều cho trớc (M có thể nằm trên cạnhcủa đa giác) đến tất cả các cạnh của đa giác luôn không dổi Việc tìm lời giải cho ví dụnày tơng tự ví dụ 4 bằng cách xét các trờng hợp đặc biệt

III) ví dụ áp dụng Bài 1:

a)Tìm đa thức bậc ba sao cho:

=(ax 3 +bx 2 +cx+d)-[a(x-1) 3 +b(x-1) 2 +c(x-1) +d]

= x 2Phơng pháp hệ số bất định

3ax2 + (2b - 3a) x + (a-b+c) = x2

3a=1; 2b-3a=0; a-b+c=0Suy ra: a=

T= 12 + 22 + + n2

= f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+…+f(n)-f(n-1) =f(n)-f(0)

1 (n+ n+

n

Bớc 2: Trình bày lời giải:

Hoạt động giáo viên Hoạt động của học sinh

Cho học sinh trình bày

lời giải

a) Đa thức cần tìm có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx +dTheo bài ra ta có:

f(x)-f(x-1)=(ax3+bx2+cx+d)-[a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d] = x2

⇔3ax2 + (2b - 3a) x + (a-b+c) = x2

Do đó 3a=1 a=

3 1

2b-3a=0 ⇔ b=

2 1

a-b+c=0 c=

6 1

1 (n+ n+

n

Bớc 3 Khai thác bài toán:

Hoạt động giáo viên Hoạt động của học sinh

Bằng phơng pháp tơng

tự ta có thể sáng tạo

các bài toán mới từ bài

toán đã cho hay không

Phơng pháp giải bài toán chứng minh hình học

1 Chứng minh hai đoạn thăng bằng nhau:

1 Một số gợi ý để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

- Hai đoạn thẳng có cùng số đo

- Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba

- Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân của hai đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một

- Dựa vào t/c của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông

- Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau

- T/c trung điểmđoạn thẳng, trung tuyến tam giác, trung trực, phân giác

- T/c hình bình hành, chữ nhật,thoi, vuông

- T/c đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 300 của tam giác vuông

- Tính chất ba đờng phân giác, ba đờng trung trực của tam giác

- Đờng trung bình của tam giác, hình thang

- Mối quan hệ giữa cung, dây cung

- Tính chất của tỉ sô bằng nhau

- Một số định lý: Pitago, Talet

- Tính chất đoạn chắn

- T/c phép đối xứng, tịnh tiến, quay

2 Một số ví dụ minh hoạ:

Bài 1: Trong ∆ABC lấy điểm P sao cho ∠PAC = ∠PBC Từ P dựng PM⊥BC; PK⊥CA Gọi D là trung điểm của AB Chứng minh: DK = DM

a) Lời giải:

(0,25 đ)

Gọi E, F lần lợt là trung điểm của PA và PB

Ta có: EPFD là hình bình hành (EP//DF; ED//PF)

Nên: DF = EP

DE = FP

Mà: KE= EP (KE là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông APK)

MF=FP(MF là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông BPM)

Suy ra: DF=KE (1)

Suy ra: ∠KEP=∠MFP (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: ∆KED=∆DFM (c.g.c)

Do đó: DK=DM

b) Khai thác bài toán:

- Thay đổi kết kuận: Gọi N là trung điểm của KM, chứng minh KM⊥DN

Bài 2: Cho tam giác ABC đều, AP là phân giác.Trên mp bờ BC chứa A, vẽ tia Px sao cho

góc CPx bằng góc BAC, tia này cắt AC tại E c/m PB=PE

a) Cách giải:

b) Khai thác:

2.1 Thay tam giác đều ABC bởi tam giác cân

2.2 Thay tam giác cân ABC bởi tam bất kỳ

Do đó ∆PKB=∆PHE

Nên: PB=PE

Bài 3 Cho tam giác ABC có ∠B<900 và ∠B=2∠C, vẽ đờng cao AH Trên tia đối của tia

BA lấy điểm E sao cho BE=BH đờng thẳng qua EH cắt AC ở D Chứng minh DA=DC, AE=HC

Khai thác:

- Trên HC lấy K sao cho KC=AB Chứng minh AHKD nội tiếp

- Chứng minh KD⊥AC

Bài 4: Cho đờng tròn (O’) tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy của góc xOy tại A và B Từ A

vẽ tia // với OB cắt (O’) tại C Đoạn OC cắt đờng tròn (O’) tại E, Hai đờng thẳng AE

và OB cắt nhau tại K Chứng minh K là trung điểm của OB

Gợi ý:

∆OEK đồng dạng với ∆AOK

∆BEK đồng dạng với ∆ABK

Khai thác: a) C/m ∠AOK=∠AEC

Bài 5 Cho hình thang ABCD (AD//CB), AD > BC có các đờng chéo AC và BD vuông góc

với nhau tại O Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM =

Gọi EF là đờng trung bình của hình thang ABCD

Từ C kẻ đờng thẳng song song với BD cắt AD tại N

Suy ra: AD+DN = 2AM

Hay M là trung điểm của AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

CM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông ACN nên CM=

2

Vậy ∆MAC cân tại M

Bài 6 Cho tứ giác lồi ABCD có A+C=1800, AB<AD AC là phân giác của góc BAD Chúng minh BC=DC

Gợi ý: Lấy E thuộc AD sao cho AE=AB

Bài 7 Cho (O;AB/2) C thuộc cung AB (khác A và B) Vẽ CH vuông góc với AB (H thuộc

AB) Vẽ (C,CH) cắt (O) tại D và E, DE cắt Ch tại M C/m MH=MC

Phơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau

I Mục tiêu:

- Cung cấp cho hs phơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau

- Rèn luyện kỹ năng giải toán hình học

II Nội dung:

1 Một số gợi ý để chứng minh hai góc bằng nhau:

1 Hai đoạn thẳng có cùng số đo

2 Hai góc cùng bằng góc thứ ba

3 Cùng bằng tổng, hiệu, của hai góc bằng nhau từng đôi một

4 Dựa vào t/c của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông

5 Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng

6 T/c hình bình hành, chữ nhật,thoi, vuông

7 Tính chất ba đờng phân giác,

8 Mối quan hệ giữa góc nội tiếp, góc ở tâm,

9 Tam giác, tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp10.Hai góc có cạnh tơng ứng song song, tơng ứng vuông góc11.Các hàm số lợng giác: sin, cos

12.T/c phép đối xứng, tịnh tiến, quay

2 Ví dụ:

Bài 1: Cho tam giác ABC, trên AB lấy điểm D, trên AC lấy E sao cho: BD=CE Gọi N, M

là trung điểm của DE, BC, đờng thẳng MN cắt AB, AC ở P và Q Chứng minh góc MPB bằng góc MQC

Gợi ý:

C1 Gọi F là trung điểm DC

C2 Lấy F đối xứng với C qua N (hoặc đối xứng với B qua N)