Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ các giáo viên trong trờng, thông qua các kỳ thi chất lợng và kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện bản thân tôi nhận thấy các em học sinh cha có kỹ năng t
Trang 1III Mục đớch yờu cầu:
Năm học 2010 - 2011 tôi đợc nhà trờng phân công giảng bộ môn toán lớp 8 Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ các giáo viên trong trờng, thông qua các kỳ thi chất lợng và kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện bản thân tôi nhận thấy các em học sinh cha có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập nh: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phơng trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý do để giải đợc các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử
Nếu nh các em học sinh lớp 8 không có thủ thuật và kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thì việc nắm bắt các phơng pháp để giải các dạng toán và kiến thức mới trong quá trình học toán là một vấn đề khó khăn
Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính t duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi
ra kiến thức mới, ra phơng pháp làm toán ở dạng cơ bản nh các phơng pháp thông thờng mà còn phải dùng một số phơng pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó
Ngời thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải đợc các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lợng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi vì thế tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các phơng pháp
phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phơng pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau
IV Những giải phỏp chớnh
"Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử" 1) Nội dung thứ nhất.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản nh các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ
Trang 22) Nội dung thứ hai.
Giáo viên dạy "Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử"
Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích của nhiều đơn thức và đa thức khác
Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1)
2.1) Các phơng pháp thông thờng.
+ Đặt nhân tử chung
+ Dùng hằng đẳng thức
+ Nhóm nhiều hạng tử
Trong thực hành giải toán thờng phải phối hợp cả ba phơng pháp kể trên để có thể phân tích đa thớc thành nhân tử
Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử
M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử)
= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử
M2 = a2 - b2 - 2a + 2b
= (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhóm các hạng tử)
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phơng pháp trên để phân tích đa thức thành nhân
tử cần chú ý các bớc sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức
+ Xét xem đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?
Trang 3+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2
Ta thấy M3 không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân
tử chung, vậy làm gì để phân tích đợc Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì vậy ta dùng phơng pháp nhóm các hạng tử đầu tiên:
M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2
Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất để làm xuất hiện hằng
đẳng thức:
M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2
Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a + b):
M3 = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)2
M3 đã có nhân tử chung là: (a + b) Ta tiếp tục đặt nhân tử chung
M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]
M3 = (a + b)(8a – 2b)
Nh vậy M3 đã đợc phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a
- 2b)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy
Trớc hết hãy xác định xem dùng phơng pháp nào trớc ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy
+ Đặt nhân tử chung
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?
Trang 4+ Nhóm hạng tử: M4 = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)]
+ Dùng hằng đẳng thức: M4 = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xét hai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng ta có:
M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Vậy: M4 đã đợc phân tích các đa thức thành nhân tử
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học
để các bớc phân tích đợc rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích đợc nữa)
2.2 Một số phơng pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trớc hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phơng pháp phân tích thành nhân tử thông thờng (đã học trong SGK) và kết hợp các phơng pháp sau để làm các bài toán khó
+ Phơng pháp tách hạng tử
+ Phơng pháp thêm, bớt cùng một hạng tử
+ Phơng pháp đặt ẩn phụ
+ Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức
+ Phơng pháp dùng hệ số bất định
+ Phơng pháp xét giá trị riêng
Cụ thể:
2.2.1: Phơng pháp tách hạng tử.
Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
N = a2 - 6a + 8
Cách 1: a2 - 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)
= (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung)
Trang 5Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại
Cách 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)
= (a2 - 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức)
= (a - 3)2 - 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)
= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC) Cách 3:
N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a)
= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử)
= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử)
Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách sau là thông dụng nhất;
Phơng pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới đợc đa về hiệu hai bình phơng (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng
đẳng thức và có nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách 3)
Phơng pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1)
Ví dụ 6: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử
Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1 b2 = a.c
Trong thực hành ta làm nh sau;
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Trang 6Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng
tử bậc nhất) (nh cách 3)
2.2.2) Phơng pháp thêm bớt hạng tử.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức P1 = x4 + 4 thành nhân tử
P1 = x4 + 4
= x4 + 4x2 + 4 - 4x2 (thêm 4x2, bớt 4x2)
= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhóm hạng tử)
= (x2 + 2)2 - (2x)2 (dùng hằng đẳng thức)
= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2)
= (a2 + 8)2 - (4a)2
= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)
Nh vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng
đẳng thức nào? bình phơng của 1 tổng hay hiệu hai bình phơng thì mới phân tích triệt để đợc
ở ví dụ 6, P1 đã có bình phơng hạng tử (x2) và bình phơng hạng tử (2) Vậy muốn là hằng đẳng thức thì còn thiếu 2 lần tích của 2 hạng tử đó Do đó
ta thêm 2.x2.2 = 4x2 thì đồng thời phải bớt 4x2
2.2.3) Phơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm – làm xuất hiện nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt
y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến) Khi đó ta có:
D1 = y2 + 4y - 12
Trang 7Ta có thể dùng phơng pháp tách hoặc thêm bớt
D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y)
D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung)
D1 = (y – 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các ph
-ơng pháp đã nêu ở trên Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp
đợc nh :
x2 + x + 6 = (x +
2
1 )2 + 5 4
3 Do vậy không phân tích tiếp đợc nữa Còn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2)
2.2.4) Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo
định lý Bơ du ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi
đó dùng phép chia đa thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp đợc dựa vào các phơng pháp nêu ở trên
Các phơng pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1
⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d
đa thức có x = -1
⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét đợc tổng các hệ số nh trên thì ta xét các ớc của hệ số
tự do d (hệ số không đổi) Nếu ớc nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng
0 thì ớc đó là nghiệm của đa thức
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 ⇒ x1 = 1
Trang 8E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) ) Sau đó dùng các phơng pháp đã học để phân tích tiếp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E2 = x3 - 3x + 2
Ta thấy tổng và hiệu các hệ số của E2 ≠ 0 do đó loại x = ± 1
Xét các Ư(2) = ± 2 có x = -2 là nghiệm của E2
⇒ E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2))
E2 = (x + 2) (x -1)2
Các ví dụ trên đây là một số phơng pháp để phối kết hợp với các phơng pháp thông thờng giúp học sinh phân tích đợc các bài toán khó thành nhân tử giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng nh giải phơng trình
3) Một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1a) x2 - 4x + 3 bằng 4 cách (phơng pháp tách)
Gợi ý 4 cách làm
C1: Tách - 4x = - 3x + (-x)
C2: Tách 3 = 4 - 1
C3: Tách 3 = 12 - 9
C4: Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung
1b 81a4 + 4 (thêm bớt hạng tử) Gợi ý:Thêm 2 lần tích của 9a2 và 2 → Hằng đẳng thức Cụ thể: 36x2
1c: (x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phơng pháp đổi biến)
Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y
Trang 91d: x3 - 2x2 - x + 2 (phơng pháp tìm nghiệm).
Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0
Ngoài ra có thể sử dụng các phơng pháp khác để phân tích các bài tập trên thành nhân tử
Bài tập 2 : Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
M =
8 14 7
4 4
3
2 3
− +
−
+
−
−
a a
a
a a
Gợi ý:
+ Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ 4 bằng phơng pháp nhóm hằng đẳng thức đa tử thành nhân tử
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức,
đặt nhân tử chung, tách hạng tử
+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức
+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn
Bài tập 3: Giải các phơng trình sau:
3.a) y2 - 5y + 4 = 0
Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử ⇒ phơng trình trở về phơng trình tích
3b: y3 - 2y2 - 9y + 18 = 0
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa phơng trình đã cho thành phơng trình tích ⇒ giải phơng trình tích
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
4a) A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24
Với a là một số tự nhiên
Gợi ý:
Trang 10+ Trớc hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình
ph-ơng)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phơng pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên liên tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A Μ 3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên mộc trong hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽ chia hết cho 4 Vậy A Μ 8
+ Nhng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24
4b: B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24
Với n là số nguyên dơng tuỳ ý
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12 Gợi ý:
+ Trớc hết sử dụng các phơng pháp của phân tích đa thức thành nhân
tử để phân tích A
A = x2 - 4x + 4 + y2 +2y + 1 + 7 (tách 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + 7 (nhóm hạng tử)
A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + 7
* Lập luận
Trang 11Vì (x - 2)2 ≥ o và (y + 1)2 ≥ 0, dấu " = "xảy ra khi a = 2 và y = - 1 nên
A = (x - 2)2 + (y + 1)2 + 7 ≥ 7
Vậy AMin= 7 khi x = 2; y = -1
V Kết quả đạt đợc:
áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy ở lớp 83 trờng THCS Hương Toàn trong năm học 2010 - 2011 đã thu đợc các kết quả khả quan
Kết quả học tập của học sinh đợc nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỹ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt 98% các em học sinh đã biết sử dụng các phơng pháp phân tích thông thờng một cách thành thạo, 90% các em học sinh có kỹ năng nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào các phơng pháp phân tích đã đợc nêu trong sáng kiến kinh nghiệm Bên cạnh đó các phơng pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó
và các kiến thức mới cũng nh việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán
VI: Kết luận.
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây
có kết quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán Rất nhiều học sinh chủ
động tìm tòi và định hớng phơng pháp làm bài khi cha có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các
ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Vì lẽ đó mỗi giáo viên và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tợng học sinh để từ đó đa ra những bài tập và phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc các bài tập, gây hứng thú
Trang 12học tập, say sa giải toán, yêu thích học toán Từ đó dần dần nâng cao từ dễ
đến khó, có đợc nh vậy thì ngời thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phơng pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hớng dẫn học sinh làm, đa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng nh cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phơng pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải: Một vài phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở trên đây giúp học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức thức thành nhân tử Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn rất nhiều hạn chế Mong tổ chuyên môn trong tr-ờng, đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm thực hiện tốt chơng trình mới THCS
Ngày 25 tháng 4 năm 2011
Ngời thực hiện
Lờ Thị Hồng Liờn