Ôn tập học kì 1 hình học 11

Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.. Hỏi trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng chính giữa.. Chon ngẫ

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I MÔN TOÁN-CB LỚP 11

NĂM HỌC 2010-2011 Vấn đề 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (dùng cho trắc nghiệm)

1/ Hàm số y = sinx: Tập xác định D = R; tập giá trị T   1, 1 ; hàm lẻ, chu kỳ T 0 2

* y = sin(ax + b) có chu kỳ 0 2

T a

 

* y = sin(f(x)) xác định  f x( ) xác định

2/ Hàm số y = cosx: Tập xác định D = R; Tập giá trị T   1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T 0 2

* y = cos(ax + b) có chu kỳ 0 2

T a

 

* y = cos(f(x)) xác định  f x( ) xác định

3/ Hàm số y = tanx: Tập xác định \ ,

2

D  R  k kZ



 ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T 0 

* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0

a

 

* y = tan(f(x)) xác định  f x( ) ( )



4/ Hàm số y = cotx: Tập xác định D  R\k,kZ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T 0 

* y = cot(ax + b) có chu kỳ T0

a

 

* y = cot(f(x)) xác định  f x( )  k (kZ)

5/ Nhận xét: y = f 1 (x) có chu kỳ T1 ; y = f2 (x) có chu kỳ T2

Thì hàm số y f x1( ) f x2( ) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

Bài tập

B ài 1: Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:

sin

1

x y

x



b) y sinx c) y 2 sin x

sin 1

y

x





f) tan

6

y x 



B ài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = 2sin 1

4

x

 b) y 2 cosx  1 3 c) y sinx

d) y 4sin2x4sinx 3 e) y cos2x2sinx2 f) y sin4x2cos2x1

B ài 3: Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:

a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx

d) y = tanx + cotx e) y = sin4x f) y = sinx.cosx

B ài 4: Tìm chu kỳ của hàm số:

a) y sin2x b) cos

3

x

y  c) y sin2x d) sin2 cos

2

x

y x e) y tanxcot 3x

Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Dạng 1 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

1) sinu = a (1)

 Nếu a 1, pt (1) vô nghiệm

 Nếu a 1, pt (1) có nghiệm

đặt a = sin   = arcsina

Pt (1)  sinu = sin  u k2

   



      



Đặc biệt : * sinu = 0  u   k

* sinu = 1 u k2

2



   

* sinu = 1 u k2

2



    

2) cosu = a (2)

 Nếu a 1, pt (1) vô nghiệm

 Nếu a 1, pt (1) có nghiệm

đặt a = cos   = arccosa

Pt (2)  cosu = cos  u k2

   



    



Đặc biệt : * cosu = 0 u k

2



   

* cosu = 1  u  k2 

* cosu = 1  u    k2 

3) tanu = a (3)

Đặt a = tan   = arctana (u k

2



  )

Pt (3)  tanu = tan  u     k

Đặc biệt : * tanu = 0  u   k

* tanu = 1 u k

4



   

Dạng 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI

sinu và cosu

Là pt dạng : asinu + bcosu = c (1) (a 2 + b 2  0)

Cách giải

* Nếu a2 + b2 – c2 < 0, pt (1) vô nghiệm

* Nếu a2 + b2 - c2  0, pt (1) có nghiệm Chia 2 vế pt cho 2 2

a  b và biến đổi về dạng

Pt (1)  sin(u + ) = sin ( pt cơ bản) Với

a

cos

a b

 



,

b

sin

a b

 



,

c sin

a b

 



Dạng 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI

MỘT HSLG

Là phương trình có một trong các dạng sau :

* asin 2 x + bsinx + c = 0 (1)

* acos 2 x + bcosx + c = 0 (2)

* atan 2 x + btanx + c = 0 (3)

* acot 2x + bcotx + c = 0 (4) Cách giải:

 đặt t = sinx, t= cosx, t = tanx, t = cotx

 Giải pt bậc hai theo t

Chú ý: pt (1) và (2) có nghiệm khi t 1

Dạng 4 PHƯƠNG TRÌNH

asin 2 x + bsinx.cosx + c.cos 2 x = d

Cách giải:

Cách 1:

+) cosx = 0 x k

2



    là nghiệm của pt không ?

+) cosx  0 x k

2



   , chia hai vế pt cho cos2x

ta có pt bậc hai theo tanx

Cách 2:

* tanu = 1 u k

4



    

4) cotu = a (4)

Đặt a = cot   = arccota (u   k )

Pt (3)  cotu = cot  u     k

Đặc biệt : * cotu = 0 u k

2



   

* cotu = 1 u k

4



   

* cotu = 1 u k

4



    

Dùng công thức hạ bậc sin2x = 1 cos 2

2

x



, sinx.cosx

= sin 2 2

x

, cos2x = 1 cos 2

2

x



biến đổi về dạng Asin2x + Bcos2x = C

Dạng 5 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC

Chú ý :

 Khi giải pt cần phải thuộc công thức lượng giác

 Tập luyện nhiều mới định hướng cho cách

giải ngắn nhất

1) sin3x = 1

3) tan(x + 60o) = - 3 4) sin3x = cos4x

5) cot 5





  =

1

7) sin2x = sin 3

4

x 



o

) = cos(x + 120o)

9) tan

4

x 



  = - cot 2x 3





2 20 3

o

x



  + 3 = 0

11) sin(2x - 10o) = 1

2 với -120

o

< x < 90o 12) cos(2x + 1) = 2

2 với -  < x < 

Bài 2 Giải các phương trình:

1) 2sin2x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin2x + 4cosx - 1 = 0

5) cot2x - 4cotx + 3 = 0 6) cos22x + sin2x + 1 = 0

7) sin22x - 2cos2x + 3

4

= 0 8) 4cos2x - 2( 3 - 1)cosx + 3 = 0 9) tan4x + 4tan2x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0

Bài 3 Giải các phương trình sau:

1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x = 2

3) 2sin

4

x 



+ sin

4

x 



= 3 2 2

3cos + 4sinx - 6

x

x

5) 2sin17x + 3cos5x + sin5x = 0 6) cos7x - sin5x = 3(cos5x - sin7x)

Bài 4 Giải các phương trình

Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0 2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0

3) cos2x - sin2x - 3sin2x = 1 4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 3 - 9)cos2x = 0 5) 4sin2x + 3 3sin2x - 2cos2x = 4 6) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3

Bài 5 Giải các phương trình:

1) sin2x + sin22x = sin23x 2) sin4x + cos4x = 1

2

3) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - 3

2 ) = 0 4) sinx + sin2x + sin3x = 0 5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 6) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

7) cos2x.cos5x = cos7x 8) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x

9) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 10) cos7x + sin22x = cos22x - cosx

Bài 6 Giải các phương trình:

1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos3x + sin3x = 1

5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3 3(sinx + cosx) + 5 = 0

7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x + 2sin(x - 45o) = 1

Vấn đề 3 ĐẠI SỐ TỔ HỢP,NHỊ THỨC NEWTON VÀ XÁC SUẤT

I/ ĐẠI SỐ TỔ HỢP, NHỊ THỨC NEWTON

LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1) Quy tắc cộng:

Có n1 cách chọn đối tượng A1

n2 cách chọn đối tượng A2

A1  A2 = 

 Có n 1 + n 2 cách chọn một trong các đối tượng

A1, A2

2) Quy tắc nhân:

Có n1 cách chọn đối tượng A1.Ứng với mỗi

cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2

 Có n 1 n 2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2

3) Hoán vị:

 Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán

vị của n phần tử

 Số hoán vị: P n = n!

4) Chỉnh hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k 

n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp

chập k của n phần tử

 Số các chỉnh hợp: Akn n!

(n k)!





5) Tổ hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0  k  n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

 Số các tổ hợp: Ckn n!

k!(n k)!



  Hai tính chất Ckn  Cn kn

Ck 1n 1  Ckn 1  Ckn

6) Nhị thức Newton

n

n

k 0

C a C a b C a b C b







 Số các số hạng của khai triển bằng n + 1  Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

 Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau

 Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1):

Tk 1 C akn n k bk

 Đặc biệt: (1 x) n C0nxC1n x C2 2n  x C n nn

 C n0C1n C n n2n (1 x) n C0nxC1nx C2 2n ( 1) x C  n n nn

 C n0C1n ( 1)  n C n n 0

Bài 1 Với các chữ số 0,1,2,3,4,5, có thể lập được bào nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?

Bài 2 Dùng 5 chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm 5 chữ số khác nhau Hỏi:

a Bắt dầu bởi chữ số 2

b Bắt đầu bởi chữ số 36

c Bắt đầu bởi chữ số 482

Bài 3 Dùng 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thành số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau Hỏi:

a Có bao nhiêu số như vậy

b Có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 1

Bài 4 Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó

nhất thiết phải có mặt chữ số 4

Bài 5 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất cả các số có 9 chữ số khác nhau Hỏi trong các số

thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng chính giữa

Bài 6 Cho A = {0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 4 chữ số khác nhau

Bài 7

a Từ các chữ số 4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt

b Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?

Bài 8 Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết

cho 5?

Bài 9 Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người

Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ?

Bài 10 Một nhóm học sinh gồm 10 người, trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10

hoc sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau?

Bài 11 Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng Chon ngẫu nhiên 4 viên bi lấy từ

hộp đó.Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số viên bi lấy ra không đủ 3 màu?

Bài 12 Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội

nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người có ít nhất một cán bộ lớp?

Bài 13 Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5

người sao cho:

1 Có đúng 2 người nam trong 5 người đó

2 Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó

Bài 14 Một lớp học có 40 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chia:

1 Thành 4 tổ mỗi tổ có 10 học sinh

2 Thành 4 tổ mỗi tổ có 10 học sinh và có một tổ trưởng

Bài 15 Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ Giáo viên muốn chọn 3 học sinh xếp vào bàn ghế của lớp,

trong đó có ít nhất 1 nam Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài 16 Giải các phương trình sau :

Bài tập

a C n3  5C n1 b 2C1n2C n22C n3 7n c A n6 A n5 A n4 d 2 2

2

2A x  78  A x

e 2 7n 7n 1 7n 1

C C  C 

2

2A x  78 A x g 3C n21nP2 4A n2 h. 2 1 79

n C A

Bài 17 Cho biết trong khai triển

n x

x

3 2

1



tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba

bằng 11 Tìm hệ số của x2

Bài 18 Cho biết trong khai triển 2 1

,

n x

x



  tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là

46 Tìm hạng tử không chứa x

Bài 19 Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển 2 2

3

n x



  là 97 Tìm hạng tử

của khai triển chứa x4

Bài 20 Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển

n x x

7 4

1



, biết rằng:

C12n1C22n1 C2n n1220 1

Bài 21 Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (2x)n, biết rằng:

30C n03n1 1C n3n2C n2 ( 1)  n C n n2048

LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1 Biến cố

 Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử

 Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A A  

 Biến cố không:   Biến cố chắc chắn: 

 Biến cố đối của A: A \A

 Hợp hai biến cố: A  B  Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B)

 Hai biến cố xung khắc: A  B = 

 Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia

2 Xác suất

 Xác suất của biến cố: P(A) = ( )

( )

n A

n 

 0  P(A)  1; P() = 1; P() = 0

 Qui tắc cộng: Nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B)

Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

 P( A ) = 1 – P(A)

 Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A) P(B)

Bài tập

II XÁC SUẤT

B ài 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất của biến cố:

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8

b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ

c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn

B ài 2: Một lớp học có 25 học sinh, trong đó gồm có 15 em học khá môn Toán, 17 em học khá môn Văn

a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn

b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn

B ài 3: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất của biến cố:

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7

b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau

B ài 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu Lấy ngẫu nhiên một viên

bi, rồi lấy tiếp một viên nữa Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh

B ài 5: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh

B ài 6: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 3

5, của người thứ hai là

1

2 Tính xác suất để con thú bị bắn trúng

B ài 7: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất của biến cố:

a) Cả 4 đồng xu đều ngửa

b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa

c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa

B ài 8: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác suất để lấy được:

a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nhất 1 bóng tốt

B ài 9: Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen Lấy ngẫu

nhiên 3 quả Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen

B ài 10: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ Tính xác suất để 2 em đó khác phái

B ài 11: Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội Tính xác suất để :

a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi

c) Không có học sinh trung bình

B ài 12: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X Tính xác suất để:

a) Số đó là số lẻ

b) Số đó chia hết cho 5

c) Số đó chia hết cho 9

Vấn đề 4 DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ CỘNG (Dùng cho trắc nghiệm)

LÝ THUYẾT CƠ BẢN

I/ Dãy số

1 Dãy số

( )

u

n u n



 Dạng khai triển: (u n ) = u 1 , u 2 , …, u n , …

2 Dãy số tăng, dãy số giảm

 (u n ) là dãy số tăng  u n+1 > u n với  n  N*

 u n+1 – u n > 0 với  n  N*  n 1 1

n

u u

  với n  N* ( u n > 0)

 (u n ) là dãy số giảm  u n+1 < u n với n  N*

 u n+1 – u n < 0 với  n  N*  n 1 1

n

u u

  với n  N* (u n > 0)

3 Dãy số bị chặn

 (u n ) là dãy số bị chặn trên M  R: u n M, n  N*

 (u n ) là dãy số bị chặn dưới m  R: u n m, n  N*

 (u n ) là dãy số bị chặn m, M  R: m  u n M, n  N*

II Cấp số cộng

1 Định nghĩa: (u n ) là cấp số cộng  u n+1 = u n + d, n  N* (d: công sai)

2 Số hạng tổng quát: u n u1(n1)d với n  2

2

k

u     với k  2

2

n

n u u

S u u  u   = 2 1 ( 1)

2

n u  n d

Bài tập (luyện tập để chọn đáp án đúng trong câu trắc nghiệm)

B ài 1: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

a)

2

2

1

n

n

u

n







n n

n u

n

 



1 1

n

n u n





 d) u nncos2n

B ài 2: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

1

3

u  u   u  b) u115,u2 9,u n2u nu n1 c) 1 1

2

2 0,

1

n n

u





B ài 3: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un), dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng qui nạp:

a) u11,u n12u n3 b) u13,u n1 1u n2 c) u13,u n12u n

B ài 4: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi:

n

n u

n





n

u  



2

n n

u n





 d)

2

n

n u

n





B ài 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (un) cho bởi:

2

n

n

u

n





1 ( 1)

n

u

n n



2 4

n

u n  d)

2

2

2 1

n

u

n n





 

B ài 6: Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu

và công sai của nó:

a) un = 3n – 7 b) 3 2

5

n

n

u   c) u nn2 d) u  n 3n

B ài 7: Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:

a) 1 5 3

1 6

10 17

u u u

u u





b) 2 5 3

4 6

10 26

u u





c) 3

14

15 18

u u







B ài 8: a) Ba gĩc của một tam giác vuơng lập thành một cấp số cộng Tìm số đo các gĩc đĩ b) Số đo các gĩc của một đa giác lồi cĩ 9 cạnh lập thành một cấp số cộng cĩ cơng sai d = 30 Tìm

số đo của các gĩc đĩ

c) Số đo các gĩc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và gĩc lớn nhất gấp 5 lần gĩc nhỏ nhất Tìm số đo các gĩc đĩ

B ài 9: Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với:

a) a10 3 ; x b2x23;c 7 4x b) ax1;b3x2; cx2 1

B ài 10: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất cĩ 1 cây, hàng thứ hai cĩ 2 cây, hàng thứ ba cĩ 3 cây, … Hỏi cĩ bao nhiêu hàng?

Vấn đề 5 PHÉP BIẾN HÌNH (Dùng cho tự luận và trắc nghiệm)

LÝ THUYẾT CƠ BẢN

I Phép tịnh tiến

 T v: M  M  MM'v

 

 T v(M) = M, T v(N) = N  M N' 'MN

 

 T v: M(x; y)  M(x; y) Khi đó: '

'

  



 



II Phép đối xứng trục

 Đd: M  M  M M0 ' M M0

 

(M0 là hình chiếu của M trên d)

 Đd(M) = M  Đd(M) = M

 Đd(M) = M, Đd(N) = N  MN = MN

 ĐOx: M(x; y)  M(x; y) Khi đó: '

'

 



 



ĐOy: M(x; y)  M(x; y) Khi đó: '

'

  







III Phép đối xứng tâm

 ĐI: M  M  IM' IM

 

 ĐI(M) = M  ĐI(M) = M

 ĐI(M) = M, ĐI(N) = N  M N' ' MN

 

 Cho I(a; b) ĐI: M(x; y)  M(x; y) Khi đó: ' 2

' 2



 Đặc biệt: ĐO: M(x; y)  M(x; y) Khi đó: '

'

  



 



'

  



 



IV Phép quay

 Q(I,): M  M  '

( ; ')

IM IM



 



 Q(I,)(M) = M, Q(I,)(N) = N  MN = MN

 Q(I,)(d) = d Khi đó:  , ' 0 2

2

nế u

d d

nế u



 





 Q(O,900): M(x; y)  M(x; y) Khi đó: '

'

  







Q(O,–900): M(x; y)  M(x; y) Khi đó: '

'

 



 



V Phép vị tự

 V(I,k): M  M  IM'k IM

 

(k  0)

 V(I,k)(M) = M, V(I,k)(N) = N  M N' 'k MN

 

 Cho I(a; b) V(I,k): M(x; y)  M(x; y) Khi đó: ' (1 )





Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến ABC thành ABC thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của

ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ABC



b/ Phép đối xứng qua trục Ox ; trục d: 2x-y=0 c/Phép đối xứng tâm O d/ Phép đối xứng tâm I(2;3)

e/Phép quay tâm O, gĩc quay 900 f/ Phép quay tâm O, gĩc quay

2





g/Phép vị tự tâm O, tỉ số -3 h/ Phép vị tự tâm I(-3;1), tỉ số ½

i /Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng tâm O và phép đối xứng trục Oy

k/Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đxứng trục Ox và phép ttiến theo u    ( 2; 1)

l Phép đồng dạng bằng cách t.hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;0), tỉ số 2 và phép quay tâm O gĩcquay

900

Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): -2x +5y -4 = 0

Viết phương trình đường thẳng (d’) là ảnh của đường thẳng (d) qua phép biến hình sau:

a/ Phép tịnh tiến theo vectơ    ( 3;1)

u b/ Phép đối xứng qua trục Ox c/ Phép đối xứng tâm O d/ Phép đối xứng tâm I(-1;2)

Bài tập

phép biến hình sau:

a/Phép tịnh tiến theo vectơ u  (2; 1)