CMR phơng trình sau luôn có nghiệm: ax +bx c+ =.. Khi a= 0 phơng trình trở thành.. Khi a≠ 0 phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai ẩn x... Tính giá trị của góc tạo bởi hai đờng trung
Trang 1Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2010-2011.
Câu 1: Giải phơng trình:
2 x− = 6 3 x− − 5 x+ 3(*)
Giải: ĐK: 5 0 5
3 0
x
x x
− ≥
+ ≥
Đặt: x− = ⇔ = + 5 t x t2 5
Phơng trình đã cho trở thành:
2 t − = − 1 3t t + ⇔ 8 t + = − 8 2t + + 3t 2
2
2
2 2
1
2
1
2 2
2
3 5
( ạ )
2
3 5 2
t
t t
t
t
t
+ = − + +
− ≤ ≤
+
=
Với t=1 ⇔ x− = ⇔ = 5 1 x 6 (nhận)
3 5 5 3 5 17 3 5
t= − ⇔ x− = − ⇔ =x − (nhận)
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm
6
17 3 5 2
x x
=
−
=
b Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn a+ 2b+ 5c= 0 CMR phơng trình sau luôn có
nghiệm:
ax +bx c+ =
GiảI: Xét pt ax2 +bx c+ = 0
Khi a= 0 phơng trình trở thành
b
− + = ⇔ = (*)
Mặt khác : khi a= 0 ta có : 2 5 0 5
2
c
b+ c= ⇔ =b − thay vào (*) ta đợc:
2
5
x= Vậy phơng trình có nghiệm
Khi a≠ 0 phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai ẩn x
pt ax2 +bx c+ = 0 có ∆ =b2 − 4ac (1)
từ giả thiết ta có : a= − − 2b 5c thay vào (1) ta đợc:
Vậy phơng trình ax2 +bx c+ = 0luôn có nghiệm với mọi a,b,c thỏa mãn a+ 2b+ 5c= 0 Câu 2: Giải hệ phơng trình:
Trang 2Giải:
Từ pt (1) ta có : 2
4 2
y x
+
=
− thay vào (2) ta đợc:
2
0
1
2
x
x
x
=
⇔ =
=
Với
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm: ( ) ( ) ( )
( )
0;0
2;1
x y
=
Câu 3: Cho hệ tọa độ Oxy có A(1;3); B(-5;-3) Xác định M : x-2y+ 1=0 ∈ ∆ sao cho
2MA MBuuur uuur+ đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi M(2a-1;a) ∈∆
(2 2 ;3 ) 2 (4 4 ;6 2 )
( 2 4; 3 )
MB= − − − −a a
uuur
⇒ 2uuur uuurMA MB+ = −( 6 ;3 3a − a)
2
5
2
5 5
MA MB
Min uuuur uuuur+ = ⇔ =a
Vậy với 3 1;
5 5
uuur uuur
đạt GTNN
Câu 4: Cho tam giác ABC có: CotA+ CotC = CotB α (1)
a Tính giá trị của góc tạo bởi hai đờng trung tuyến khi α =
b Tính GTLN của góc B khi α = 2
Giải:
a Thay α = vào (1) ta đợc:
CotA+ CotC = 1
2CotB
Ta lại có:
2
4
CotA
a
+ −
+ −
Trang 3Tơng tự ta có: 2 2 2
4
CotB
S
+ −
4
CotC
S
+ −
=
⇒ CotA+ CotC = CotB ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2
5
+ −
B
C1
A1
C A
Mặt khác ta có: ( )
2
;
8 9
+ −
=
2
;
8 9
Cos AA CC
m m
⇒ Cos AA CC( 1 ; 1) = 0 ⇒ = 90
b Thayα = 2 vào (1) ta đợc: CotA+ CotC = 2CotB
Theo câu a ta có: 2 2 2
4
CotA
S
+ −
4
CotB
S
+ −
4
CotC
S
+ −
⇒ CotA+ CotC = 2CotB 2 2 2 2 2 2 2. 2 2 2 2 2 2 2
Mặt khác ta có: 2 2 2 2 .
CosB
+ −
= = (vì a2 + =c2 2b2)
o
+
Vậy: 60o
B
Max = khi và chỉ khi a b c= = hay tam giác ABC là tam giác đều Câu 5: Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: 12 12 12 1
a +b +c = Tìm GTLN của biểu thức:
T
Giải:
Ta có:
Trang 42 2 2 2 2 2
1
2
+ + +
T¬ng tù ta cã:
5b 2bc 2c b b c
5c 2ac 2a c c a
⇒ 2 2 2
T
3
T
Max = khi vµ chØ khi a b c= = = 3