đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 10 tỉnh hà tĩnh

Đáp án đề thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2010-2011

Câu 1: GiảI phương trình:

2 (x-6 = 3 x-5 - x+3 ) ( )*

Giải:

Điều kiện:





x-5≥0

Đặt: x-5 = t ( t ≥ 0 )

⇔ t2 = x- 5 ⇒ x= t2 +5 thay vào ( )* ta được:

2 (t2-1 = 3t - t) 2+8 ⇔ t2+8 = -2t2 +3t +2

⇔





-2t2+3t+2≥0

t2+8=(-2t2+3t+2)2 ⇔





-1

2≤t≤2 4t4+12t3-12t+4=0

⇔





-1

2≤t≤2

4( )t-1 2(t2-3t+1) ⇔









t=1 t=3+ 52 (loại )

t=3- 52

⇒







t=1 t=3- 52 Với t=1 ⇔ x-5=1 ⇒ x=6 (nhận)

t= 3- 52 ⇔ x= 17-3 52 (nhận)

Vởy pt đã cho có hai nghiệm:







x=6 x=17-3 52

b Cho ba số thực a,b,c thõa mãn a+2b+5c =0 CMR phương trình

Giải:

Xét a = 0 phương trình đã cho trở thành: bx +c = 0

⇒ x= -cb ( )* mặt khác 2b + 5c = 0 ⇒ b = -5c

2 thay vào ( )* ta

được: x = -5c-c

2

có: ∆= b2 -4ac (1)

Mặt khác: từ giả thiết ta có: a = -2b-5c thay vào (1) ta được:

∆ = b2 -4c(-2b-5c ⇔ ∆ = b) 2 +8cb+20c2 ⇔ ∆ = (b+4c)2 +4c2 ≥ 0 ∀ a,b,c tháa m·n a+2b+5c= 0 C©u 2: Gi¶I hÖ ph−¬ng tr×nh:





x2-4xy+x+2y=0( )1

x4-8x2y+3x2+4y2=0( )2 Gi¶I:

Tõ ( )1 ta cã : y= x4x-2 thay vµo 2+x ( )2 ta ®−îc:

x4 -8x2 x2+x

4x-2 +3x2 +4 













x2+x 4x-2 2 =0 ⇔ x4 (4x-2)2 -8x2 (4x-2) (x2+x +3x) 2 (4x-2)2 +4 (x2+x)2=0 ⇔ 16x6 -16x5 +4x4 -32x5 -16x4+16x3+48x4 -48x3 +12x2 +4x4 +8x3 +4x2 =0

⇔ 16x6 -48x5 +40x4 -24x3 +16x2 =0 ⇔ x2 (16x4-48x3+40x2-24x+16 =0 )

⇔ x2 (x-1) (x-2) (16x2+8 =0 ⇔ )







x=0 x-1=0 x-2=0 16x2+8=0(VN)

⇔







x=0 x=1 x=2 Víi x=0 ⇒ y=0

x=1 ⇒ y=1

x=2 ⇒ y=1







(0;0 ) (1;1 ) (2;1)

C©u 3: Cho tam gi¸c ABC cã: cotA +cotC = αcotB

b T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña gãc B khi α = 2

Bµi gi¶I:

a Thay α = 12 vµo gi¶ thiÕt ta ®−îc: cotA+ cotB = 12cotB

MÆt kh¸c: cotA= cosAsinA ⇔ cotA =

b2+c2-a2

2bc a 2R

2+c2-a2

2+b2-c2

4S ; cotB =

a2+c2-b2

⇒ cotA + cotC = 12 cotB ⇔ 2b

2

4S =

a2+c2-b2

2 ( )*

G C1

C A

Ta thÊy (AA1;CC1) = C1GA1 = AGC 

Ta cã: cos(AA1;CC1) = cos AGC =  









 2 3ma 2+23mc2-b2

2.23ma23mc

⇔ cos(AA1;CC1) =

8b2+8c2-4a2+8a2+8b2-4c2-36b2

36 8.ma.mc 9

⇔ cos(AA1;CC1) =

4(a2+c2)

-20b2

36 8.ma.mc 9

⇔ cos(AA1;CC1) =

4(5b2)

-20b2

36 8.ma.mc 9

⇔ cos (AA1;CC1) =0

⇔ (AA1;CC1) = 900

b Thay α =2 vµo gi¶ thiÕt ta ®−îc: cotA + cotC = 2cotB

2+c2-a2

a2+b2-c2

2+c2-b2

2

2S =

a2+c2-b2

2S ⇔ a2 +c2 = 2b2

Mặt khác :

cosB = a

2+c2-b2

b2

2ac

2

a2+c2 ⇔ cosB ≥ b

2

2b2 = 12 ⇒ cosB ≥ 12 ⇒ B ≤ 600

Câu 4: Cho hệ tọa độ Oxy có A(1;3); B(-5;-3) Xác định điểm

→ MA+

→

MB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài giải:

Gọi điểm M(2a-1;a) ∈ d

⇒ MA = → (2-2a;3-a ⇒ 2) MA = (4-4a; 6-2a) →

MB = (-2a-4;-3-a) →

⇒

→

2MA +

→

MB = (-6a; 3-3a) ⇔ 

→

2MA+MB→  = (-6a)2+(3-3a)2 ⇔

→ 2MA+MB→  = 45a2-18a+9 ⇔ 

→

2MA+MB→  = 3 5a2-2a+1 ⇔ 

→ 2MA+MB→ = 3

















5 2+

4

5 ≥ 3.

2

5

⇒ Min



2MA+→ →

MB = 6

1

5

Vậy với M















 -3

5;

1

5 thì 

→ 2MA+MB→  đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 5: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a12 + b12 + c12 =1

Tìm GTLN của biểu thức:

T = 1

5c2+2ac+2a2