Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Tìm m để đường thẳng d :y= −x 2mcắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh đi làm n
Trang 1MA TRẬN ĐỀ THI KSCL LẦN 2 MÔN: TOÁN – KHỐI 12 Mức độ
Vận dụng thấp
Vận dụng cao
Tổng điểm
Hàm số và các bài
toán sau kshs
Câu 1.a 1,0
Câu 1.b 1,0
2 2,0 Tìm GTLN,GTNN
Và bất đẳng thức
Câu 2 1,0
Câu 9 1,0
2 2,0 Giải phương trình
lượng giác
Câu 3 1,0
1 1,0
1,0
1 1,0
Tổ hợp và sác xuất Câu 5
1,0
1 1,0
1,0
1 1,0 Phương pháp tọa độ
trong mặtphẳng
Câu 7 1,0
1 1,0
1,0
1 1,0
Tổng
(%)
3
30%
3
30%
3
30% 1
10%
10 10
100%
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
Trang 2
Câu 1(2,0 điểm) Cho hàm số 3
1
x y x
−
= + (1)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1)
b Tìm m để đường thẳng d :y= −x 2mcắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Câu 2(1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2cos cos 3cos
Câu 3(1,0 điểm) Giải phương trình: cos3x−cosx =2sin cos 2x x
2log x+ +3 log (x−1) =log 4x
Câu 5(1,0 điểm) Tổ một có 3 học sinh nam và 4 học sinh nữ.Tổ hai có 5 học sinh nam và 2 học
sinh nữ Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh đi làm nhiệm vụ Tính xác suất sao cho chọn được hai học sinh có cả nam và nữ
Câu 6(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ·ABC =600,
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC =2a Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCDvà khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
Câu 7(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M (0;2) và hai đường thẳng
: 2 0
d x+ y = ∆: 4x+3y=0 Viết phương trình của đường tròn đi qua điểm M, có tâm thuộc
đường thẳng d và cắt đường thẳng ∆tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn AB bằng
4 3 Biết tâm đường tròn có tung độ dương
Câu 8(1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2 3
x y R
Câu 9(1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S 3 4 5
b c a a c b a b c
Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c+ =b abc
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……… : Số báo danh………
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KSCL LẦN II – KHỐI 12
Môn: TOÁN
Trang 3Câu Đáp án Điểm
1
(2,0 điểm) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1) 1,0 • Tập xác định: D=¡ \{ }−1 • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 2 4 ' ' 0, 1 ( 1) y y x x = ⇒ > ∀ ≠ − + - Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (− +∞1; ) 0,25 - Cực trị: hàm số không có cực trị - Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực, tiệm cận: lim 1 x y →±∞ = , 1 1 lim , lim x y x y − + →− = +∞ →− = −∞ Đường thẳng x =−1 là tiêm cận đứng, đường thẳngy =1 là tiệm cận ngang 0,25 Bảng biến thiên: x −∞ -1 +∞
y ’ + +
y +∞ 1
1 −∞
0,25
Đồ thị: cắt trục tung tai điểm (0;-3), cắt trục hoành tại điểm (3;0) Đồ thị nhận
giao điểm (-1;1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng 0,25
b Tìm m để đường thẳng d :y = −x 2mcắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ dương
1,0
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là: 0,25
Trang 42 1
x
1
x
≠ −
Để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì (1)
phải có hai nghiệm dương phân biệt khác -1
' 0 0 0 ( 1) 0
S P g
∆ >
>
− ≠
0,25
4 0
m m
≠
0,25
3 1
0 1 3 / 2
3 / 2
m m
m
< −
>
⇔ > ⇔ < <
<
Vậy với 1 < < m 3 / 2 thì đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương
0,25
2
(1,0
điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2cos cos 3cos
1,0
Tập xác định: D=¡
Đặt t =cos ,x t∈ −[ 1;1]
ta được hàm số:
3 9 2 1
g t = t − t + + t liên tục và xác định trên [ − 1;1 ]
0,25
1
2
t
t
=
=
0,25
( 1) 9, ( ) , (1) 1
1 9
2 8
0,25
Max y= ⇔ = ± +x π k π Min y = − ⇔ = +x π k π k∈
cos 3x−cosx =2sin cos 2x x⇔ 2sin 2 sinx x+2 sin cos 2x x =0 0,25 sin (sin2x x cos 2 )x 0
sin 2 os2 0
sin 0
k
k x
x k
π
−
=
0,25
Trang 5(1,0
điểm)
8 2
k
4
(1,0
điểm)
Giải phương trình: 2log2 x + + 3 log (4 x − 1)2 = log 42 x 1 ,0
2log x+ +3 log (x−1) =log 4x⇔log [(x+3) x−1 ] log 4= x 0,25
1:(*) : 2 3 0
3 ( )
= −
> − − = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = − + 3 2 3, x = 3 0,25
5
(1,0
điểm)
Tính xác suất để chọn được hai học sinh có cả nam và nữ ? 1,0 Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh có C C71 71 =49 cách ⇒ Ω = n ( ) 49 0,25
Gọi A là biến cố : “ Chọn được 2 học sinh có cả nam và nữ” Có các trường hợp
+ TH1: Chọn học 1 sinh nữ ở tổ một, 1 học sinh nam ở tổ hai Có 4.5 20 = cách
+ TH2: Chọn học 1 sinh nam ở tổ một, 1 học sinh nữ ở tổ hai Có 3.2 = 6 cách
0,25
( ) 26 ( )
( ) 49
n A
n
Ω
0,25
6
(1,0
điểm)
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCDvà khoảng cách từ điểm B đến mặt
SA là đường cao của hình chóp S.ABCD
ABC
∆ cân có ·ABC = 60 0
ABC
2 3
4
a
2 3
2
ABCD
a
0,25
+ Trong tam giác vuông SAC: 2 2
3
SA= SC −AC =a
3
1
S ABCD ABCD
a
0,25
Trang 6( , ( )) ( , ( ))
Gọi M là trung điểm của CD Trong (SAM) kẻ AH ⊥ SM tại H
SAM SCD
AH SCD d A SCD AH SAM SCD SM
⊥
Ta có
( ,( ))
0,25
7
(1,0
điểm)
Viết phương trình đường tròn đi qua M(0;2), có tâm thuộc d, cắt ∆tại hai điểm A, B: AB = 4 3 ( biết tâm đường tròn có tung độ dương)
1,0
Gọi I ( 2 ; ) − t t ∈ d là tâm đường tròn (t >0)
2 4 2 (2 )2
+ d I ( , ) ∆ = t
+ Gọi H là trung điểm đoạn AB
Ta có: IH2 + AH2 = IA2 ⇔ IH2 +AH2 = IM2
0,25
2 0
1 ( )
=
t = ⇒ −I , bán kính đường tròn R =IM =4
⇒ Phương trình đường tròn: ( x + 4)2 + ( y − 2)2 = 16
0,25
8
(1,0
điểm) Giải hệ phương trình
2 3
( , )
8 5 2 (2)
x y R
+ + + = +
+ = −
1,0
Điều kiện :x2 +8y3 ≥0
Xét phương trình (1):
3 12 2 2 8 3 8 3 1 (2 1)3 (2 1) 1
x + y + + =x y + y⇔ x + + =x y− + y− + 0,25
(2y x 1)[(2y 1) (2y 1)x x 1] 0 2y x 1
Vì: (2y−1)2 +(2y−1)x+x2 + >1 0, ∀x y,
0,25
Thế 2 y = + x 1 vào phương trình (2) ta được :
2 ( 1)3 5 ( 1) 3 4 2 3 1 4 1
Trang 73 2
1
4
9
(1,0
điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 4 5
S
đó a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c+b = abc
1,0
Áp dụng BĐT :
( ,x y 0)
x + ≥y x y >
0,25
2 4 6
S
b c a a c b b c a a b c a c b a b c
c b a
≥ + +
0,25
Từ gt ta có 2 1
a
2( ) 2( a ) 4 3
Vậy S ≥4 3⇒ Min S=4 3⇔ = = =a b c 3
0,25
Chú ý:
- Nếu thí sinh làm theo cách khác mà vẫn đúng thì GK căn cứ đáp án cho điểm tối đa.
- Câu 6 HS không vẽ hoặc vẽ hình sai thì không chấm.
- Điểm toàn bài để đến 0,25 và không làm tròn.
