b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y= − + 5x 22... I là trung điểm của BK.. Người ra đề và làm đáp án: Bùi Trí Tuấn.
Trang 1TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12(lần 3)
Năm học: 2014-2015 Thời gian: 180 phút
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
2
x y x
+
=
− a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y= − + 5x 22.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Cho góc α thỏa mãn : 3
2
π
π α < < và cos 4
5
α = − Tính tan
4
A= α−π
b) Cho số phức zthỏa mãn hệ thức 2(z− 1 2) ( − = +i) (3 i z) ( + 2i) Tìm môđun của số phức z
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân 2
0
(1 sin2 ) cos
π
=∫ +
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình 2 ( ) 2
9 log x x 9 log x 0
x
+
b) Một tổ có 7 học sinh (trong đó có 3 học sinh nữ và 4 học sinh nam) Xếp ngẫu nhiên 7 học sinh đó theo một hàng ngang Tính xác suất để 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho I(7; 4;6) và mặt phẳng
( ) :P x+ 2y− 2z+ = 3 0 Lập phương trình của mặt cầu ( )S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P Tìm tọa độ tiếp điểm của ( )P và ( )S
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a
, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SBvà mặt đáy bằng
60 o Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của các đoạn AD CD, Tính thể tích khối chóp
.
S BMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM SN, theo a
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABCcân tại A
có M( )3; 2 là trung điểm của cạnh BC Biết chân đường cao của tam giác ABCkẻ từ
Blà 6 13;
5 5
K−
và trung điểm của cạnh ABnằm trên đường thẳng ∆ − + =:x y 2 0 Tìm tọa độ các đỉnh A B C, ,
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
,
Câu 9 (1,0 điểm) Cho a b, là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
7 4 4
Trang 2
-Hết -TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐÁP ÁN TOÁN 12, lần 3, năm 2015
1) a) • Tập xác định: ¡ { }1
• Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên: ( )2
5
2
x
=- < " ¹
– Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ; 2) và (2; +¥ )
– Giới hạn và tiệm cận:
– xlim®- ¥ y=xlim®+¥ y= : tiệm cận ngang : 2 y= 2
xlim®2+y=+¥ ; limx®2- y=- ¥ Þ tiệm cận đứng x= 2 0.25 – Bảng biến thiên:
x −∞ 2 +∞
'
y − −
y 2 +∞
−∞ 2
0.25
+ Đồ thị:
– Đồ thị cắt Oy tại 0; 1
2
Oæ ö÷
ç - ÷
çè ø – Đồ thị cắt Ox tại
1
;0 2
Oæ ö÷ ç- ÷
çè ø – Tâm đối xứng là điểm I(2; 2).
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
f x ( ) = 2⋅ x+1
x-2
0.25
Trang 31 b)
Hệ số góc k=-5 ( )2
3 5
5
1 2
x x x
=
−
Pt tiếp tuyến tại M(3;7): y=-5x+22 (loại)
Pt tiếp tuyến tại N(1;-3): y=-5x+2
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y=-5x+2
0,50
2
4 1 tan
α
−
+
0,25
2
sin 1 cos 1
5 25
α = − α = − − ÷ =
(2)
Vì ;3
2
π
α ∈π ÷ nên sin α < 0 Do đó từ (2) suy ra:
α
α
= − ⇒ = = (3).Thế (3) vào (1) ta được 1
7
A= −
0,25
b) Đặt z a bi a b= + ,( , ∈ ¡ ); khi đó z a bi= − ; Kí hiệu (*) là hệ thức
trong đề bài, ta có (*)
2 a bi 1 2 i 3 i a bi 2i a b 2 3a 7b 4 i 0
0,25
2 2
1 1 2
(1 sin2 ) cos cos sin 2 cos
0,25
cos ; sin 2 cos
0
cos sin 1
π
π
sin 2 cos 2sin cos 2 cos cos 2.
x
π
Vậy 1 2
2 5 1
3 3
I = + = + =I I
0,50
4 a) Điều kiện x x( + > ⇔ < − 9) 0 x 9 hoặc x> 0
Với đk trên, phương trình đã cho tương đương với:
9 log x x 9 x 0 log x 9 0
x
+
0,25
( )2
⇔ + = ⇔ = − ∨ = − Đối chiếu với đk, ta loại x= − 8
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x= − 10
0,25
b) Gọi A là biến cố: “3 học sinh nữ đứng cạnh nhau”
+) Số biến cố đồng khả năng: Xếp 7 học sinh ngẫu nhiên, có số hoán
vị là 7!
+) Số cách xếp 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau: Coi 3 học sinh nữ là 1
phần tử, kết hợp với 4 học sinh nam suy ra có 5 phần tử, có 5! Cách
sắp xếp Với mỗi cách sắp xếp đó lại có 3! Cách hoán vị 3 học sinh
nữ Vậy có 5!.3! cách sắp xếp
0,25
Trang 4Xác suất của biến cố A là ( ) 5!3! 1
7! 7
0,25
Pt mặt cầu (S): ( ) (2 ) (2 )2
Pt đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P):
7
4 2
6 2
= +
= +
= −
Tiếp điểm M(7+t; 4+2t; 6-2t) thuộc (P)
0,25
K
M D
I
N
Từ giả thiết suy ra
=
8
3 4 4 8
2 2 2 2
3
1
8
3
3
a
0,50
SN d(MB,SN) = IK
2
5
10
2
a
0,25
SN
IN SA
IK
85
3 3
.
a SN
IN SA
8
3
3
85
3
3a
0,25
Trang 57 Gọi N là trung điểm của đoạn AB N∈∆ − + = ⇒ :x y 2 0 N n n( ; + 2) .
Tam giác ABM vuông tại M có N là trung điểm của AB
Tam giác AKB vuông tại K có N là trung điểm của AB
Suy ra MN=KN ( )2 2 6 2 3 2
Vậy N(1;3). 0,50 Gọi I là giao của BK và MN BK có pt 2x-y+5=0 MN có pt
x+2y-7=0 Suy ra 3 19;
5 5
I−
I là trung điểm của BK Suy ra ( ) (0;5 ; 6; 1)
8 Đặt u= x y v+ ; = y u( ≥ 0;v≥ 0) (x u= 2 −v2).
Pt đầu của hệ trở thành:
(1 −v u u2) + − + 2 v2 2v2 = + 2 (u2 − 1)v⇔(u− 1) (v− 1) (u v+ + = 2) 0 0,25
TH 1 : u=1⇒ + = ⇒ = −x y 1 x 1 y Thế vào pt thứ hai của hệ ta được:
y + − y+ y − y = ⇔ y − y+ y − y − =
2
3
2
2
3
2 8
y y
TH 2: v=1 Suy ra y=1; x=2
TH 3: u+v+2=0: Vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (x y; ) (= − 1; 2 , 2;1) ( ) 0,25
9 Ta có 7a+ 4b+ 4 ab= 7a+ 4b+ 2 a b.4 ≤ 7a+ 4b a+ + 4b= 8(a b+ )
(theo bđt Côsi).
1
t
a b
=
( )
2
1
t
Lập bảng biến thiên của f t với t>0 ta có minP=f(1)=1( )
4
5
a
a b
b
=
+ =
=
Thạch Thành, ngày 3 tháng 4 năm 2015 Người ra đề và làm đáp án: Bùi Trí Tuấn